朱敏，王菲，宋小飛

一類水污染點源模型的分析與模擬

朱敏1，王菲1，宋小飛2

（1. 安徽師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 蕪湖 241002；2. 宿州市靈璧中學，安徽 宿州 234000）

根據(jù)濃度變化和水流縱向流速等因素，建立河流污染源的泄漏擴散模型．利用偏微分方程基本理論，得到了模型級數(shù)形式的解．為體現(xiàn)相關理論結(jié)果，進行了數(shù)值模擬，探討了參數(shù)對解的長期行為的影響，從數(shù)學角度揭示了污染源擴散對河流的影響規(guī)律．

水污染模型；偏微分方程；擴散；數(shù)值模擬

1　模型建立

水是生命之源，而我國是一個干旱缺水嚴重的國家，人均水資源量只有2 300 m3，僅為世界平均水平的四分之一，是全球人均水資源最貧乏的國家之一．然而，我國又是世界上用水量最多的國家．近年來，人類生產(chǎn)生活不斷向前發(fā)展，隨著工業(yè)化程度的不斷提高，經(jīng)濟社會的快速發(fā)展，加上缺乏對水資源的保護意識，我國水資源環(huán)境遭到了嚴重的破壞，正面臨著嚴峻的挑戰(zhàn)．我國水環(huán)境面臨著水體污染、水資源短缺和洪澇災害等多方面的壓力，水體污染加劇了水資源短缺，水生態(tài)環(huán)境破壞促使洪澇災害頻發(fā)．雖然水污染總量在不斷減少，但是排放的污水量卻急劇增加，部分水體富營養(yǎng)化不斷發(fā)展，主要河流受到一定程度的污染．水污染不僅影響了農(nóng)業(yè)和工業(yè)，甚至影響著人們的正常生活．因此，應該預防和保護好水資源，合理利用水資源．

2　模型求解

分３種情況討論模型的解．

（8）

相應地

式中

綜上可知，系統(tǒng)（1）的形式解為

3 數(shù)值模擬

圖1　不同的擴散系數(shù)和對流系數(shù)下污染物的變化趨勢

4　結(jié)語

本文通過建立具擴散項和對流項的偏微分方程系統(tǒng)（1）來描述一般污染物在河流中的變化情況，并利用變量分離法和特征根法探討了系統(tǒng)（1）的形式解，從理論上說明了只要有擴散，污染物必將在河流中長期存在．同時，借助于數(shù)值模擬，進一步觀察出擴散系數(shù)的增加有利于污染物濃度最終穩(wěn)定值的降低，這一點通過形式解式（11）也能得到證實．同時若改變對流系數(shù)，即水流方向產(chǎn)生變化，會使污染物適當改變漂流方向，也會對污染物濃度最終穩(wěn)定值產(chǎn)生有利影響．因此，河流污染的治理既要考慮到污染物本身的特征，也要考慮河流與環(huán)境等因素．

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Analysis and simulation of a type of water pollution point source model

ZHU Min1，WANG Fei1，SONG Xiaofei2

（1. School of Mathematics and Statistics，Anhui Normal University，Wuhu 241002，China；2. Suzhou City Lingbi Middle School，Suzhou 234000，China）

The leakage and diffusion model of river pollution source was established according to the concentration change and the longitudinal velocity of water flow．Using the basic theory of partial differential equation，the solution of the model in series form is obtained．In order to reflect the relevant theoretical results，numerical simulation is carried out to discuss the influence of parameters on the long-term behavior of the solution，and the influence law of pollution source diffusion on the river is revealed from the mathematical point of view.

water pollution model；partial differential equation；diffusion；numerical simulation

1007-9831（2023）01-0006-04

O175.2

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.01.002

2022-04-25

安徽省教育廳教學研究項目（2020jyxm1979）；安徽師范大學大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目（202010370093）

朱敏（1979-），女，安徽淮南人，教授，博士，從事應用數(shù)學研究．E-mail：min_zhuly@163.com