鄧興揚(yáng)

(貴州省思南縣第八中學(xué))

最近幾年,高考評價(jià)體系突出強(qiáng)調(diào)以學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向,而高考數(shù)學(xué)對學(xué)科素養(yǎng)的考查目標(biāo)之一就是數(shù)學(xué)文化,具體表現(xiàn)為古今中外的數(shù)學(xué)文化.基于此,學(xué)生應(yīng)充分關(guān)注數(shù)學(xué)文化與復(fù)數(shù)知識的交會.處理此類問題時,學(xué)生需要認(rèn)真讀題,在了解有關(guān)數(shù)學(xué)文化的同時,挖掘題設(shè)給出的關(guān)鍵信息(概念、結(jié)論、公式、定理等),而求解具體的數(shù)學(xué)問題時,需要將題設(shè)關(guān)鍵信息以及有關(guān)復(fù)數(shù)知識加以靈活、綜合運(yùn)用,方可順利破解目標(biāo)問題.

1 關(guān)注歐拉公式與復(fù)數(shù)的交會

A.復(fù)數(shù)e2i對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限

綜上,選BCD.

2 關(guān)注費(fèi)馬點(diǎn)與復(fù)數(shù)的交會

于是,本題即求|QM|＋|QN|＋|QP|的最小值.注意到點(diǎn)M(2,0),N(－2,0),P(0,－2),且易知△PMN是等腰三角形,符合三個內(nèi)角均小于120°,根據(jù)題設(shè)可知:滿足∠MQN＝∠NQP＝∠PQM＝120°的點(diǎn)Q,可保證|QM|＋|QN|＋|QP|取得最小值.又由圖1分析易知:當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)重合時,滿足∠MQN＝∠NQP＝∠PQM＝120°.于是,可得

圖1

故|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|的最小值為2 3＋2.

3 考查棣莫佛定理與復(fù)數(shù)的交會

z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].

根據(jù)棣莫佛定理,我們可推導(dǎo)獲得復(fù)數(shù)的乘方公式:

[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(n∈N*).

若復(fù)數(shù)ω是6次單位根,則根據(jù)題意知ω6＝1,進(jìn)而知|ω|＝1,于是,可設(shè)復(fù)數(shù)ω＝cosθ＋isinθ,再利用復(fù)數(shù)的乘方公式可得ω6＝cos6θ＋isin6θ＝1,從而必有cos6θ＝1,且sin6θ＝0,因此,6θ＝2kπ(k∈Z),即又因?yàn)棣?R,所以取k＝1,即得到一個滿足條件的

第二空設(shè)計(jì)較好,屬于“結(jié)論開放型”數(shù)學(xué)問題,答案不唯一,還可以取k＝2得到一個滿足條件的ω＝;取k＝4得到一個滿足條件的;取k＝5得到一個滿足條件的.實(shí)際上,進(jìn)行一般分析可知滿足條件的ω的取值一共有四個,它們分別是

總之,舉例解析可知:關(guān)注數(shù)學(xué)文化與復(fù)數(shù)的交會,不僅有利于幫助同學(xué)們親身體驗(yàn)試題是如何交會的(往往先敘述一個相對陌生的數(shù)學(xué)文化知識,再靈活設(shè)置相關(guān)而又具體的數(shù)學(xué)問題),而且也有利于幫助同學(xué)們理解和掌握常用解題方法.

(完)