周裕燕　柯躍海

表征是信息在頭腦中的呈現(xiàn)方式，是信息記載或表達的方式，是指可以指代某種東西的符號或信號，即某一事物缺席時，它代表該事物.數(shù)學多元表征是指將同一個數(shù)學學習對象用“數(shù)”（言語表征）和“形”（視覺表征）兩種不同方式進行多形式的表征，即以語言、圖形、符號、情境、操作等反映數(shù)學學習對象的外在形式和存在于個體頭腦里而無法直接觀察的心理活動的表征，其中圖形表征主要體現(xiàn)為形象表達概念與關系、展示事實與定理、描述證明思路、研究對象的視覺形式、思維結(jié)構(gòu)的外在呈現(xiàn)以及跨語言的表現(xiàn)力等方面的重要作用.理解這些作用，有助于在教學與研究中更加重視并充分發(fā)揮圖形的表征功能，

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱為“課標”）指出，在必修課程與選擇性必修課程中，突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學知識之間的關聯(lián)，加強對數(shù)學整體性的理解.在解決平面向量問題時，可以采取代數(shù)計算或幾何構(gòu)造的方式得到結(jié)果，共同為研究平面向量問題提供有效手段.對學生而言，更習慣于將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，但是代數(shù)方法解決向量問題有時計算繁瑣，甚至無法解決，實際上，很多向量問題有著豐富的幾何背景和幾何意義，借助圖形表征為解決向量問題提供了一種很好的途徑.圖形表征主要通過理解向量概念、判斷向量關系、表達向量運算、分析運動變化、構(gòu)造輔助線和推得定性結(jié)論等方面，為研究平面向量問題提供重要的定性支持.

1課標指引下的圖形表征的表達

課標指出，向量既是幾何研究對象，也是代數(shù)研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，向量具有明確的幾何背景，向量的運算具有明顯的幾何意義.在課標的指引下，教材特別注重用圖形表征表達平面向量的概念、關系、運算等，為向量問題的解決奠定基礎.

1.1圖形表征表達向量概念

向量的概念是以位移、速度、力等物理量為背景抽象出向量的概念.圖形表征既可表達向量的方向，又可描述向量的大小，即借助有向線段建立向量的直觀形象，首先，用有向線段的箭頭直觀地表示向量的方向，這是理解向量概念的基礎，圖形表征通過視覺化的方式呈現(xiàn)向量指向，這種直觀表達方式符合人類的認知習慣，有助于生成初步的形象理解，其次，用有向線段的長度表示向量的大小或數(shù)量.比較向量長度的大小不應僅停留在抽象的數(shù)字比較上，可通過比較不同有向線段的長度判斷向量數(shù)量的相對大小關系，這種通過視覺判斷向量大小的方法，有助于在直觀上理解向量的數(shù)量概念.因此，借助圖形表征直觀描述向量的方向和大小的方式易于理解，有助于在直觀上理解向量可以“自由移動”，有助于進一步精確理解向量的概念和運算.

1.2圖形表征表達向量關系

圖形表征對判斷向量之間的各種關系發(fā)揮著重要作用，首先，判斷向量的平行或垂直，可以通過觀察兩個向量的方向判斷它們是否平行或垂直，直觀理解平行（共線）向量具有相同或相反的方向，垂直向量具有互相垂直的方向，這種通過觀察向量方向判斷平行或垂直的視覺方法，可以擴展運用于判斷任意兩個向量之間的方向關系，它有助于理解向量在表示平面或空間方向上的作用，這是學習向量概念和運用的基礎，其次，判斷相等向量、相反向量.可以通過直觀理解相等（相反）向量具有完全相同（相反）的方向和相等的大小，這種判斷方法為理解相等（相反）向量概念、“向量是自由的”和向量加法、減法運算的幾何意義提供了重要的視覺依據(jù).再次，判斷角度關系，即可以通過直觀理解不同角度下向量的方向關系.這種通過觀察向量方向判斷向量之間角度關系的視覺方法，不僅有助于理解角度的概念，也將向量的方向要素與幾何圖形的角度要素聯(lián)系起來，這為獲得對空間關系的整體理解提供了有效途徑，因此，借助圖形表征直觀判斷向量的方向關系，不僅有助于理解相關概念，而且為學習向量知識和獲得對空間關系的整體理解提供了重要的視覺方法和依據(jù).

1.3圖形表征表達向量運算

因為向量集大小與方向這兩個最基本的幾何要素于一身，所以向量運算及其運算律也必然反映了最基本的幾何性質(zhì)，首先，圖形表征表達向量線性運算.對于向量的加法，通過利用位移的合成、力的合成引入向量的加法法則，利用了圖形，從而認識向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；對向量的減法，減去一個向量等于加上這個向量的相反向量，按此定義作出一個向量與另一個向量的相反向量的和，由平行四邊形的判斷與性質(zhì)得到向量減法的平行四邊形法則，即向量減法的幾何意義；對數(shù)乘運算，通過借助幾何直觀探究相等向量的和的長度和方向.其次，圖形表征表達向量數(shù)量積運算，教材由力對物體做功（物理背景）為情景，借助向量的幾何表示給出向量的夾角的概念，然后給出向量垂直、向量的數(shù)量積的概念.結(jié)合定義可以直接發(fā)現(xiàn)，向量數(shù)量積的幾何意義表現(xiàn)在向量的長度和夾角兩個方面，這在直觀上為理解數(shù)量積概念提供了依據(jù).這些借助圖形表征向量運算及其運算律的方法，生動形象地描述了向量運算的過程和結(jié)果，在直觀上解釋了向量運算及其運算律的幾何意義，為理解向量運算概念和記憶運算規(guī)律提供了重要的視覺支撐.

2圖形表征在解決平面向量問題中應用

2.1借助線性運算的圖形表征解決平面向量問題

在解決平面向量問題時，借助其線性運算（加法、減法、數(shù)乘）的圖形表征（三角形法則、平行四邊形法則、向量的方向及圖形的伸縮）是學習和推理平面向量知識的一種行之有效的方法.通過形象的圖形將抽象的數(shù)學概念表達出來，將復雜的運算過程幾何化，使學習者能直觀理解相關知識，在培養(yǎng)學習者的空間想象能力和數(shù)學直覺等方面發(fā)揮著重要作用.