文|王靈勇

一、習(xí)題展示

●習(xí)題一

1.習(xí)題內(nèi)容

下圖的長(zhǎng)方體中擺了6 個(gè)1立方厘米的小正方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是（）平方厘米。

2.能力指向

史寧中教授在《基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題》一書中指出，面積是對(duì)二維空間圖形的度量。本題注重引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用空間想象能力，通過數(shù)學(xué)想象和推理，在頭腦中建構(gòu)完整的立體圖形的過程，強(qiáng)化學(xué)生獲得部分?jǐn)?shù)學(xué)信息時(shí)對(duì)它進(jìn)行深度加工，溝通一維、二維與三維空間之間的聯(lián)系，讓學(xué)生明白計(jì)算長(zhǎng)方體的表面積需要度量出它的長(zhǎng)、寬、高。本題注重考查學(xué)生的空間想象、幾何推理和應(yīng)用意識(shí)。

3.學(xué)情分析

測(cè)查了城區(qū)學(xué)校2 個(gè)班92名學(xué)生，鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校3 個(gè)班144 名學(xué)生，測(cè)評(píng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示大約67.8%的學(xué)生能正確完成。分析學(xué)生的解題過程，并對(duì)錯(cuò)誤的學(xué)生進(jìn)行訪談，學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤主要有以下原因：（1）空間觀念薄弱，沒理解題意，不能通過正方體度量出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，尤其是寬，部分學(xué)生認(rèn)為寬是3 厘米或2 厘米；（2）對(duì)長(zhǎng)方體表面積本質(zhì)概念沒有理解，計(jì)算能力薄弱，表面積計(jì)算錯(cuò)誤。

●習(xí)題二

1.習(xí)題內(nèi)容

人工智能時(shí)代已經(jīng)來臨，越來越多的人工智能走進(jìn)了我們的生活?！皰叩貦C(jī)器人”就是其中之一。根據(jù)統(tǒng)計(jì)，全球個(gè)人及家用服務(wù)機(jī)器人2020年銷售額約65億美元。2020年～2023年全球服務(wù)機(jī)器人銷售總額將達(dá)到345 億美元，其中個(gè)人及家用服務(wù)機(jī)器人銷售總額為274 億美元。

請(qǐng)為某品牌“掃地機(jī)器人”設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方體包裝盒，至少要用多少紙板？（粘貼處忽略不計(jì)）

某品牌掃地機(jī)器人技術(shù)參數(shù)

2.能力指向

哈爾莫斯指出，“數(shù)學(xué)是一種別具匠心的藝術(shù)”。通過本題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用能力、長(zhǎng)方體的表面積計(jì)算知識(shí)。某品牌掃地機(jī)器人的參數(shù)信息標(biāo)注的眾多數(shù)據(jù)形成了數(shù)據(jù)干擾，學(xué)生應(yīng)根據(jù)需要尋找有價(jià)值的數(shù)學(xué)信息，從而解決問題；其次為圓柱體設(shè)計(jì)長(zhǎng)方體包裝盒，需要借助一定的空間想象能力，學(xué)生在解決問題的過程中頭腦經(jīng)歷了從二維平面空間向三維立體空間的轉(zhuǎn)化，真正讓學(xué)生在想象操作中培養(yǎng)空間觀念。

3.學(xué)情分析

抽樣測(cè)查了城區(qū)、鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校的學(xué)生，測(cè)評(píng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示大約65.8%的學(xué)生能提取有價(jià)值的數(shù)學(xué)信息，借助掃地機(jī)器人的直徑和高度數(shù)據(jù)，通過空間想象構(gòu)建出長(zhǎng)方體包裝盒，并進(jìn)行正確計(jì)算。大約25.5%的學(xué)生不能從商品信息中提取出有效的數(shù)據(jù)并進(jìn)行分析整理，嘗試解決。另有大約8.7%的學(xué)生計(jì)算過程出現(xiàn)了錯(cuò)誤。

●習(xí)題三

1.習(xí)題內(nèi)容

學(xué)?？茖W(xué)創(chuàng)作小組的同學(xué)設(shè)計(jì)了一款機(jī)器零件中的電池，用棱長(zhǎng)為1 厘米的小正方體電池拼成一個(gè)長(zhǎng)方體電池（如下圖），后來小設(shè)計(jì)師們發(fā)現(xiàn)，如果去掉1、2、3、4、5 中的幾個(gè)小正方體電池，不僅不影響電池使用效果，還能節(jié)省資源，增大電池的接觸面（即表面積比原來增加了）可以增強(qiáng)電池性能。如果你是設(shè)計(jì)師，你覺得可以去掉哪幾個(gè)小正方形，具體有哪幾種可能？哪種表面積增加最大？可以畫一畫或者說一說你的理由。

2.能力指向

此題具有一定的開放性，學(xué)生能正確理解長(zhǎng)方體、正方體表面積的概念，目的在于發(fā)展學(xué)生空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用能力。探索正方體個(gè)數(shù)與表面積兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系。小正方體個(gè)數(shù)減少，表面積可能增加、也可能不變，學(xué)生能根據(jù)題意，提取有效的信息進(jìn)行分析，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行有序思考，規(guī)范答題的習(xí)慣，發(fā)展幾何直觀和推理能力。

3.學(xué)情分析

根據(jù)學(xué)生解決問題的具體表現(xiàn)，劃分為四個(gè)水平層次，如表1。

表1

測(cè)評(píng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：測(cè)試學(xué)生的水平大多集中于水平0、水平1、水平2。大約52.4%的學(xué)生能夠簡(jiǎn)單闡述或直觀說明自己的結(jié)論，但是思考的過程比較零散，缺少整體性。大約15%的學(xué)生只作答了其中的一個(gè)問題。只有大約5%的學(xué)生能進(jìn)行有序思考，通過數(shù)形結(jié)合對(duì)比每一種方法，具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕鉀Q問題思路。

二、教學(xué)建議

1.加強(qiáng)操作想象，豐富活動(dòng)體驗(yàn)，培養(yǎng)空間觀念

空間觀念對(duì)于學(xué)生來說比較抽象，要形成豐富的操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還需依賴于表象。如習(xí)題1，教師在教學(xué)中需要加強(qiáng)操作體驗(yàn)活動(dòng)，精心準(zhǔn)備教具、學(xué)具供學(xué)生動(dòng)手操作，同時(shí)可以借助多媒體———如幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示給予學(xué)生更直觀的觀察和認(rèn)識(shí)。同時(shí)教師應(yīng)注重想象和推理活動(dòng)的設(shè)計(jì)，如：擺一擺小正方體活動(dòng)，提供部分小正方體擺一擺（出現(xiàn)長(zhǎng)、寬、高），為學(xué)生搭建完整的長(zhǎng)方體架構(gòu)提供幫助。也可以設(shè)計(jì)拆一拆活動(dòng)，讓學(xué)生想一想長(zhǎng)方體中最多拆掉幾個(gè)小正方體仍然能想象出長(zhǎng)方體原來的模樣（留下長(zhǎng)、寬、高）。在操作體驗(yàn)、觀察想象中，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生觀察長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和小正方體之間的關(guān)系，說說自己是怎么想的，尤其是長(zhǎng)和寬如何得到的。幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)圖形內(nèi)在關(guān)系的認(rèn)知，建立正確的圖形表象，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

2.注重生活應(yīng)用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

教學(xué)中需要讓學(xué)生嘗試解決一些創(chuàng)新性的習(xí)題，學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，經(jīng)歷綜合運(yùn)用與想象推理的過程，特別是綜合運(yùn)用信息讀取能力、空間想象推理能力等多種能力。如習(xí)題2，教學(xué)中需加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀，培養(yǎng)學(xué)生信息提取能力，綜合運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)信息解決問題的能力。針對(duì)每個(gè)專題的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，教師向?qū)W生推薦適合本學(xué)段學(xué)生年齡特點(diǎn)的數(shù)學(xué)百科課外知識(shí)，搭建展示交流的平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成邊閱讀邊思考的好習(xí)慣。復(fù)習(xí)中，注重?cái)?shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。針對(duì)某品牌“掃地機(jī)器人”設(shè)計(jì)長(zhǎng)方體包裝盒，至少要用多少紙板的問題，讓學(xué)生想象包裝好以后的形狀，需要用到哪些數(shù)據(jù)。有效選擇相關(guān)的數(shù)據(jù)信息，根據(jù)數(shù)據(jù)信息想象出長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高。學(xué)生通過想象與說理，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。

3.設(shè)計(jì)開放習(xí)題，滲透有序思維，培養(yǎng)推理能力

教學(xué)中要有意識(shí)地設(shè)計(jì)有一定思維含量的練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)思維的有序性與想象推理的作用。如習(xí)題3，此題是一個(gè)開放題，是長(zhǎng)方體表面積知識(shí)的拓展運(yùn)用，探索小正方體數(shù)量與長(zhǎng)方體表面積之間的關(guān)系。首先，用幾個(gè)規(guī)格相同的小正方體拼一拼、看一看、說一說，拼的過程中仔細(xì)觀察，小正方體個(gè)數(shù)和表面積是怎么變化的。其次，從大長(zhǎng)方體中去掉1、2、3、4、5 中的一個(gè)小正方體，發(fā)現(xiàn)表面積和個(gè)數(shù)是怎么變化的。如：去掉第1 個(gè)時(shí)，由于在頂點(diǎn)處，減少3 個(gè)面，同時(shí)也增加3 個(gè)面，其實(shí)就是表面積不變，第5 個(gè)和第1 個(gè)同理，表面積不增加的一個(gè)個(gè)逐一排除，表面積增加的一個(gè)個(gè)羅列出來。隨后繼續(xù)探討去掉2 個(gè)、3 個(gè)、4 個(gè)、5 個(gè)的情況，過程中引導(dǎo)學(xué)生想象去掉1個(gè)正方體的方法策略，反思去掉哪幾種可以增加表面積，對(duì)之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移運(yùn)用。通過開放性練習(xí)，滲透有序思維，培養(yǎng)推理能力。