盧恩良

江西省九江市第三中學(xué) (332000)

1 試題呈現(xiàn)

已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線y=x-2與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).

(1)求△FAB的面積；

(2)過拋物線C上一點(diǎn)P作圓M：(x-3)2+y2=4的兩條斜率都存在的切線分別與拋物線C交于異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)D，E.證明：直線DE與圓M相切.

本題是典型的拋物線多動(dòng)點(diǎn)問題，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行考查，對(duì)學(xué)生邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有較高的要求.直線與圓錐曲線綜合問題，常規(guī)方法是聯(lián)立直線與曲線方程，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，將幾何條件代數(shù)化進(jìn)行求解，但往往求解復(fù)雜，運(yùn)算繁瑣.

因拋物線方程的特點(diǎn)，對(duì)于拋物線多動(dòng)點(diǎn)問題，我們常采用設(shè)點(diǎn)法，利用拋物線的兩點(diǎn)弦方程簡(jiǎn)化計(jì)算.本文主要對(duì)試題第(2)問進(jìn)行解答.

2 試題解答

思路分析：雖然P，D，E三點(diǎn)都在拋物線上運(yùn)動(dòng)，但點(diǎn)D和E的運(yùn)動(dòng)都是由點(diǎn)P引起的.因此，只要確定好了點(diǎn)P，點(diǎn)D和E相應(yīng)也會(huì)確定，切線PD和PE也能確定下來(lái).如此看來(lái)，我們應(yīng)該想辦法借助于點(diǎn)P來(lái)表示直線DE方程，然后計(jì)算圓心M(3,0)到直線DE的距離等于半徑即可證得此題.

拋物線上兩點(diǎn)弦方程：已知拋物線y2=2px(p>0)上不同兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則直線AB方程為2px-(y1+y2)y+y1y2=0.

一般地，我們稱此方程為拋物線上兩點(diǎn)弦方程，證明過程略.

特別地，當(dāng)A，B兩點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)拋物線上兩點(diǎn)弦方程變?yōu)閽佄锞€的切線方程.

評(píng)析:試題要證明直線DE與圓M相切，因此我們關(guān)鍵在于寫出直線DE的方程.因?yàn)辄c(diǎn)P，D，E三個(gè)點(diǎn)均在拋物線上運(yùn)動(dòng)，于是聯(lián)想到拋物線上兩點(diǎn)弦方程，然后根據(jù)直線與圓相切建立代數(shù)關(guān)系.在解答過程中，由PD方程得到PE方程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的類比代換思想，直線DE方程的得到更是借助于同構(gòu)式的特點(diǎn)，值得學(xué)習(xí)與借鑒.

3 試題推廣

通過對(duì)試題的解答，我們知道拋物線y2=4x上三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成的三角形，如果其中兩條邊與圓M相切，則第三條邊也與圓M相切.這個(gè)性質(zhì)僅針對(duì)圓M成立嗎？還有沒有其他符合該性質(zhì)的圓？對(duì)于一般的拋物線y2=2px(p>0)是否也存在這樣的圓？帶著這樣的疑問，筆者展開了研究，并得到了以下兩個(gè)結(jié)論.

結(jié)論1 設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)，圓M：(x-4p)2+y2=4p2.點(diǎn)A1，A2，A3是C上的三個(gè)不同點(diǎn)，若直線A1A2，A1A3與圓M相切，則直線A2A3與圓M相切.

由結(jié)論1，我們可以嘗試對(duì)原試題進(jìn)行改編.

改編試題1 過拋物線C：y2=4x上一點(diǎn)P作圓M：(x-8)2+y2=16的兩條斜率都存在的切線分別與拋物線交于異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)D，E.請(qǐng)判斷直線DE與圓M的位置關(guān)系，并說明理由.

由結(jié)論2，我們可以得到改編試題2.

改編試題2 已知拋物線C:y2=4x，圓M：(x-t)2+y2=1(t>0).過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P作兩條斜率都存在的切線分別與拋物線交于異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)D，E.是否存在實(shí)數(shù)t，使得直線DE與圓M相切？如果存在，請(qǐng)求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.