李 倩 劉成龍 楊坤林

四川省南充高級中學(xué) (637000) 內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100)

余弦定理是高中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容，是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具.具體來講，余弦定理形式優(yōu)美，內(nèi)涵豐富，不僅是勾股定理的推廣，同時也是正弦定理的深化，在解三角形中發(fā)揮著不可替代的重要.因此，余弦定理引起一線教師們的廣泛關(guān)注，尤其在如何開展余弦定理的教學(xué)上.比如，張躍紅基于學(xué)生為主體這一理念對余弦定理進行了教學(xué)設(shè)計[1]，鐘進均根據(jù)高中學(xué)生的心理特點、不同學(xué)習(xí)水平、不同學(xué)習(xí)興趣學(xué)生的需要，運用多種教學(xué)方法和手段對余弦定理的教學(xué)設(shè)計進行了深入探究[2]，王思儉基于一堂余弦定理觀摩課實錄進行探究性教學(xué)研究[3]，秦瑾在教育數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，形成一種新穎的相對獨立、不依賴舊知識、不需要技巧性的余弦定理教學(xué)新方式[4].對已有研究成果進一步分析，可以發(fā)現(xiàn)研究者們在教學(xué)設(shè)計中更多的是關(guān)注知識與技能的獲取，而對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展關(guān)注較少.因此，本文基于發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)展開余弦定理的教學(xué)設(shè)計.

一、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的頒布，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)正式拉開帷幕[5].數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成的能夠反映數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)本質(zhì)，能夠適應(yīng)自身發(fā)展和社會發(fā)展需要的、與數(shù)學(xué)有關(guān)的具有綜合性、整體性和持久性能力和思維品質(zhì).

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是傳授數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，更是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，其最終目的是促進人的發(fā)展.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)教學(xué)二者是相互依存，互相促進的關(guān)系：數(shù)學(xué)教學(xué)為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供載體，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中逐步發(fā)展核心素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既是數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)指引和歸宿.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為根據(jù)展開頂層設(shè)計，為數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計提供方向保障，努力將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的每個環(huán)節(jié).同時，在教學(xué)中將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展作為基本任務(wù)，不斷為學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展創(chuàng)造條件.

二、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的余弦定理教學(xué)設(shè)計

(一)教材分析

本節(jié)課內(nèi)容包含余弦定理的概念、公式、推論以及應(yīng)用.在此之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)全等三角形、三角函數(shù)、平面幾何、平面向量、解析幾何、正弦定理等與本節(jié)課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，為余弦定理的發(fā)現(xiàn)提供了基礎(chǔ)，為余弦定理的多視角證明提供了可能[6].

(二)學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理的概念、公式、推論以及應(yīng)用等基本知識，并能解決簡單的三角形問題，具備一定的數(shù)學(xué)運算能力，數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)抽象能力等.

(三)教學(xué)過程

基于核心素養(yǎng)發(fā)展，將余弦定理教學(xué)設(shè)計為五個環(huán)節(jié)，基本流程是：創(chuàng)設(shè)情境——建構(gòu)模型——合作探究——學(xué)以致用——拓展延伸.下文對每個環(huán)節(jié)進行詳細的介紹.

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

情境1 一列火車從甲地駛往乙地，兩地相距800km.但由于途中鐵軌故障正在維修，火車需繞行.于是，這列火車在甲地先沿與原方向成60°的方向行駛了600km，再改變方向，沿直線行駛到達乙地.這次行駛路程比原來的800km增加了多少呢？

圖1

問題1 能否將上述問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題？

預(yù)設(shè)：學(xué)生對情景水平數(shù)學(xué)化，得到數(shù)學(xué)問題(如圖1)：在△ABC中，已知AB=600，AC=800，∠A=60°，求BC.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生體驗由現(xiàn)實情境抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.構(gòu)建模型，解決問題

問題2 能否將上述數(shù)學(xué)問題抽象成更一般的數(shù)學(xué)問題？

預(yù)設(shè)：在△ABC中，已知b、c和∠A，求a.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷垂直數(shù)學(xué)化過程，進一步發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

問題3 你能用正弦定理解答上述問題嗎？

預(yù)設(shè)：用正弦定理解答該問題較難，為進一步學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)必要，同時引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突.

問題4 正弦定理的證明方法能否遷移到上述問題的解決嗎？

預(yù)設(shè)：通過作高，將一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形.在教師引導(dǎo)下，對數(shù)學(xué)問題進行探究：

(1)如圖2，當(dāng)∠A為銳角時，過B點作AC的垂線，垂足為D.在Rt△ABD中，BD=csinA，AD=ccosA；所以DC=b-ccosA，于是a2=(csinA)2+(b-cosA)2=c2sin2A+b2-2bccosA+c2cos2A=c2+b2-2bccosA.故a2=c2+b2-2bccosA.

圖2

圖3

(2)如圖3，當(dāng)∠A為直角時，a2=b2+c2，有a2=c2+b2-2bccosA.

圖4

(3)如圖4，當(dāng)∠A為鈍角時，過B點作CA延長線的垂線，垂足為D.BD=csin(π-∠CAB)=csin∠CAB，AD=

ccos(π-∠CAB)=

-ccos∠CAB，CD=b-ccos∠CAB，所以a2=(b-ccos∠CAB)2+c2sin2∠CAB=b2+c2cos2∠CAB-2bccos∠CAB+c2sin2∠CAB，得a2=c2+b2-2bccosA.綜上可知a2=c2+b2-2bccosA.

問題5 能用a、c和∠B表示b嗎？能用a、b和∠C表示c嗎？

預(yù)設(shè)：同理可得b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.

問題6 通過分類討論得到了邊與角余弦的關(guān)系，能用文字語言描述這一關(guān)系嗎？

預(yù)設(shè)：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.

教師：上述結(jié)論稱為余弦定理.

設(shè)計意圖：在問題解決的過程中，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

3.合作探究，強化理解

問題7 還能用其它方法證明余弦定理嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生陷入思考，證明思路不清楚.

問題8 由余弦定理中所包含的兩邊及其夾角余弦值的乘積你能想到什么？

預(yù)設(shè)：向量數(shù)量積中含有兩線段及其夾角余弦值的乘積.

問題9 能否從向量的視角證明余弦定理呢？

教師：由余弦定理可以得到它的推論：

設(shè)計意圖：在把握定理的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生原型認(rèn)知能力，在問題解決中，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng)[7].

4.學(xué)以致用，鞏固內(nèi)化

例1 (情境問題)在△ABC中，已知AB=600，AC=800，∠A=60°，求BC.

例2 在△ABC中，b=20cm，c=30cm，C=60°求a.

預(yù)設(shè)：先用正弦定理求出角B，再運用余弦定理a2=c2+b2-2bccosA解得a.

設(shè)計意圖：在問題解決中加深公式理解，發(fā)展培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng)[8].

5.拓展延伸，完善認(rèn)知

問題10 正弦定理和余弦定理有什么關(guān)系呢？

任務(wù)1：由正弦定理推導(dǎo)余弦定理：

在△ABC中，可知sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，由正弦定理得a=bcosC+ccosB.所以a2=(bcosC+ccosB)2=b2cos2C+c2cos2B+2bccosCcosB=b2+c2-b2sin2C-c2sin2B+2bccosCcosB=b2+c2+2bccosCcosB-2bcsinBsinC-(bsinC-csinB)2.又bsinC=csinB,所以a2=b2+c2+2bccosCcosB-2bcsinBsinC=b2+c2+2bccos(B+C)=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2bccosA,c2=a2+b2-2abcosC.

任務(wù)2：由余弦定理推導(dǎo)正弦定理：

教師：正弦定理和余弦定理可以相互推導(dǎo)，因此他們是等價關(guān)系.

設(shè)計意圖：學(xué)生在完成任務(wù)1、2的過程中發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

三、教學(xué)反思

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的余弦定理教學(xué)設(shè)計中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過水平數(shù)學(xué)化得到數(shù)學(xué)問題，經(jīng)歷垂直數(shù)學(xué)化得到更一般的數(shù)學(xué)模型.在建模、求模、用模、創(chuàng)模(正余弦定理等價)的過程中，以問題為載體，問題解決為線索，讓學(xué)生始終處于教學(xué)活動的中心，把學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展作為根本性任務(wù).以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為理論指導(dǎo)的余弦定理教學(xué)設(shè)計為學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展提供了保障，同時余弦定理教學(xué)設(shè)計為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展也提供了載體.