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        基于化歸思想的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)思考

        2023-03-11 05:37:08馬海燕
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年3期
        關(guān)鍵詞:歸納法數(shù)形長方體

        馬海燕

        ?新疆烏魯木齊市兵團第二中學(xué)

        化歸思想是處理數(shù)學(xué)問題的重要策略,其能化復(fù)雜為簡單、化未知為已知、化非常規(guī)為常規(guī),從而獲得解決問題的思路.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要靈活運用化歸思想,將問題從高維轉(zhuǎn)化成低維,促使學(xué)生更好地理解和解答問題,加深學(xué)生對問題的認(rèn)識,增強學(xué)生的思維能力.

        1 基于化歸思想的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略

        1.1 深挖教材內(nèi)容,鞏固基礎(chǔ)知識

        教師在培養(yǎng)學(xué)生化歸思想時,應(yīng)從教材入手,對教材中的定義、公式、例題進(jìn)行分析,讓學(xué)生明白化歸思想的來源以及如何體現(xiàn).教師在備課中,應(yīng)對教材中的基礎(chǔ)內(nèi)容進(jìn)行細(xì)化,讓學(xué)生在初次接觸新知識時能將新舊知識聯(lián)系起來,將思想從舊章節(jié)平穩(wěn)過渡到新章節(jié)中,實現(xiàn)思想上的轉(zhuǎn)化.運用化歸思想要以扎實的基礎(chǔ)知識為前提.教師一定要讓學(xué)生先將每一個章節(jié)的知識吃透,這樣才能在不斷吸收新知識的過程中保持思路暢通.

        1.2 注重思想引導(dǎo),培養(yǎng)探究興趣

        教師可以結(jié)合一些經(jīng)典案例來引導(dǎo)學(xué)生運用化歸思想,歸納法是高中數(shù)學(xué)中常用的解題辦法,運用該方法時只需要觀察簡單的樣本就可以推導(dǎo)出復(fù)雜的規(guī)律,適用于解決復(fù)雜問題,教師可以在歸納法教學(xué)中讓學(xué)生接受化歸思想.例如,“摸球問題”是經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題,在紙箱中裝入2個白球、3個黑球,然后列舉出可能出現(xiàn)的情況.對于這一問題的解決,窮舉法顯然是缺乏代表性的,數(shù)學(xué)歸納法更加適用.在解決問題后,教師可以詢問學(xué)生:歸納法與窮舉法有什么區(qū)別?如果樣本數(shù)量不斷擴大,還能用窮舉法嗎?這樣就強化了學(xué)生對化歸思想的認(rèn)識和認(rèn)可.化歸思想使學(xué)生有了自主探究的可能,教師在應(yīng)用化歸思想時,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生打開自己的思路對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,靈活運用所學(xué)知識,這樣就給了學(xué)生很大的自主發(fā)揮空間,培養(yǎng)了學(xué)生主動探究的興趣.

        1.3 把握化歸原則,避免生搬硬套

        運用化歸思想應(yīng)遵循以下幾個原則:一要確保化歸的規(guī)范性與有效性,應(yīng)用化歸方法必須有明確的對象、設(shè)計好的目標(biāo)和合適的方法,解題時必須緊盯化歸目標(biāo),盲目的化歸只會走入死胡同;二要確保邏輯上的正確性和轉(zhuǎn)化的等價性,轉(zhuǎn)化時的前因后果應(yīng)是必要的、充分的,轉(zhuǎn)化后的結(jié)果應(yīng)是原題的結(jié)果;三是設(shè)計合理的轉(zhuǎn)化方案,實現(xiàn)同一轉(zhuǎn)化目標(biāo)可能需要采取多種轉(zhuǎn)化方法,簡捷合理的轉(zhuǎn)化方案是必要的,但要避免生搬硬套.

        2 化歸思想的應(yīng)用實踐

        2.1 數(shù)形轉(zhuǎn)化

        數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)的重要知識,也被稱為數(shù)形結(jié)合思想.在數(shù)形轉(zhuǎn)化中,學(xué)生可以利用幾何知識來解決代數(shù)問題,或借助數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì).幾何與代數(shù)的結(jié)合,成為高中數(shù)學(xué)中的重要一面,這也體現(xiàn)了化歸思想.

        分析:這道題從表面上看是關(guān)于數(shù)的問題,但實際上卻與“形”密切相關(guān).在求解時,可以將原問題視為求點(x,y)到點(-1,1)的距離,即求點(x,y)到直線x+y+1=0的距離.到了這一步,學(xué)生即可通過其熟悉的點到直線的距離公式求得答案.

        在這一問題的處理中,巧妙地對題干進(jìn)行了轉(zhuǎn)化,把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成了平面幾何問題,這樣做的好處就是避開求最值時要考慮條件的滿足等問題,簡化了解題過程,降低了解題難度.同時,例1的難度較低,從這樣基礎(chǔ)性的數(shù)形轉(zhuǎn)化思想入手,可以逐步培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想,為后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).

        2.2 正反轉(zhuǎn)化

        正反轉(zhuǎn)化即當(dāng)從正面入手解決問題的難度較大時,不妨從問題的反面進(jìn)行考慮,通過求補集的方式逆向解決原問題.靈活運用正反轉(zhuǎn)化可以解決很多難題.正反轉(zhuǎn)化最常見的就是空間幾何問題,如物體的空間截圖、運動軌跡等,把三維空間問題轉(zhuǎn)化成二維平面問題,利用平面幾何的公式、定理、定義把待求解的問題不斷簡化,可以有效降低解題難度.

        圖1

        例2在長方體ABCD-A1B1C1D1中(如圖1),已知AB=a,BC=b,AA1=c,且a>b>c.現(xiàn)有一物體從A點出發(fā),沿著長方體ABCD-A1B1C1D1的表面運動到C1,求物體在運動過程中的最短路程.

        分析:在這道題目中,可以將長方體ABCD-A1B1C1D1視為正六面體,將最右側(cè)平面BCC1B1與最后側(cè)平面CDD1C1展開,得到兩個俯視圖(圖2和圖3).通過平面幾何中兩點之間線段最短原理可以求出最短的路程是|AC1|,|AC1′|,|AC1″|之一.

        圖2

        圖3

        最值問題的解答,通常需要轉(zhuǎn)化成函數(shù),但這道題目是空間幾何問題,題干也沒有給出函數(shù)式,所以轉(zhuǎn)化成函數(shù)是不可取的.平面幾何求最值的方法比較多,因此通過化歸思想可以簡化成二維平面問題,簡化解答步驟.

        2.3 一般與特殊轉(zhuǎn)化

        一般與特殊之間的轉(zhuǎn)化既可以是從一般途徑尋求解決特殊問題的方法,也可以是從特殊情況入手解決共性問題.

        分析:在這道題目中,點B是運動的,因此很難直接得出sinA,sinC,sinB的精確值,但可以將這個一般性的問題特殊化,如將點B放到橢圓短軸的頂點,這樣就可以利用正弦定理來解答問題.

        2.4 局部向整體轉(zhuǎn)化

        對較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,可以從總體上去把握.

        綜上,高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有大量可以應(yīng)用化歸思想解決的問題,教師在教學(xué)中應(yīng)把握好轉(zhuǎn)化的切入點,引導(dǎo)學(xué)生將困難問題簡單化,使學(xué)生不但解決問題,更要掌握解決問題的思路.

        3 結(jié)語

        應(yīng)用化歸思想解答數(shù)學(xué)問題可以有效降低解題難度,為學(xué)生打開新的解題思路.教師在教學(xué)中應(yīng)注意鞏固學(xué)生的知識基礎(chǔ),為應(yīng)用化歸思想做好知識積累,并對化歸思想在不同知識點中的應(yīng)用方法進(jìn)行探索,改善課堂教學(xué)質(zhì)量,最終提升學(xué)生的解題準(zhǔn)確率.

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