馬戥軍，李孟委，張 鵬，牛興龍

(中北大學,a.儀器與電子學院； b.儀器科學與動態(tài)測試教育部重點實驗室； c.電氣與控制工程學院，太原 030000)

0 引言

近些年，編隊控制作為多智能體協(xié)同控制的一個重要研究課題，廣泛應用于作戰(zhàn)模擬、軍事訓練、后勤管理和裝備保障等方面，并取得了很好的效果。多智能體系統(tǒng)的編隊控制任務主要分為編隊生成控制和編隊機動控制兩類。編隊生成控制的目的是引導某些智能體形成特定的幾何形狀。編隊機動控制旨在驅動智能體形成指定的幾何形狀，還要求控制整個編隊，以便實現(xiàn)平移、縮放、旋轉和其他運動。目前基于位移、距離、方位的3種常規(guī)編隊控制方法很難實現(xiàn)跟蹤時變速度、比例和方向的目標編隊[1]。

為了解決多智能體編隊機動控制問題，人們提出了許多控制策略。文獻[2]中提出了一種多重信息網絡編隊算法，實現(xiàn)了編隊大小和方向的控制；文獻[3]中提出了一種基于仿射變換性質的仿射編隊方法，領導者可以決定整個編隊形狀；文獻[4]研究了具有給定收斂時間的多智能體系統(tǒng)的仿射編隊算法控制問題，通過使用時間標度函數，設計了一種分布式連續(xù)控制算法，解決了算法有限時間收斂問題。以上的編隊算法解決了編隊機動控制問題，但是無法處理外界擾動對編隊形狀的影響。

為了增強編隊控制算法的魯棒性，文獻[5]中將自適應徑向基函數神經網絡與確定性等效控制技術相結合，解決了外界干擾以及建模誤差的不確定性；文獻[6]提出了一種基于三重積分器的智能體一致性協(xié)議，將積分作用納入具有雙積分車輛的編隊跟蹤控制器中，并給出了收斂的充分必要條件。以上算法雖然很好地解決了外界干擾問題，但是增加了算法復雜度，且積分項在實際試驗中很難實現(xiàn)；文獻[7]提出一種固定時間滑模的跟蹤控制策略，并設計固定時間擾動觀測器，解決了外部未知干擾的影響；文獻[8]提出一種具有預設性能的編隊算法，以分布式方式實現(xiàn)基于相對位置的多智能體系統(tǒng)編隊控制問題，并研究了一階和二階動力學情況；文獻[9]提出了一種基于距離的魯棒編隊控制算法，同時處理了相鄰智能體之間的連通性保持與防碰撞問題。雖然上述文獻中的算法都具有很強的魯棒性，但是無法實現(xiàn)編隊機動控制。

文獻[10]設計了一個估計器來補償系統(tǒng)的不確定性，并提出了一個類PI仿射編隊控制律來保證追隨者實現(xiàn)目標編隊;文獻[11]通過設計擴張狀態(tài)觀測器估計系統(tǒng)的外部擾動，從而解決外部擾動下的二階多智能體系統(tǒng)時變跟蹤問題;文獻[12]設計了一種自適應律以及自適應干擾觀測器，能夠補償參數攝動和誤差模型對無人機編隊飛行的影響;文獻[13]采用滑模變結構控制方法設計了多無人機隊形保持控制器，解決了無人機跟蹤機動飛行的問題。雖然上述文獻中的控制律魯棒性較強，但是需要對誤差進行估計，控制律復雜，不易實現(xiàn)。

本文提出了一種具有魯棒性能的仿射機動編隊控制算法，使多智能體系統(tǒng)在受到外界時變干擾的情況下能夠快速收斂，在不需要對誤差進行估計的情況下達成編隊機動控制的目的;利用輸入到狀態(tài)穩(wěn)定(Input-to-State Stability，ISS)和李雅普諾夫穩(wěn)定性定理證明了所提算法的漸近穩(wěn)定性。

1 圖論及算法基礎

1.1 有向圖論

然后，引入有向圖的符號拉普拉斯算子的概念。符號拉普拉斯矩陣是指與具有正和負實非對角項的圖相關聯(lián)的拉普拉斯矩陣。矩陣Ls定義為

(1)

式中:ω∈R,是邊(j,i)上的正或負實數權重;Ls通常是非對稱矩陣。

1.2 仿射可定位

A(r)={p∈Rmn:p=[In?X(t)]r+1n?Y(t),
?X∈Rm×m,?Y∈Rm}

(2)

式中,(X,Y)記作仿射變換。

定義1一個標稱編隊(,r)如若能夠實現(xiàn)仿射定位，需要同時滿足如下兩個條件：

在該定義中，第一個條件是關于領航者的選擇，而第二個條件則是有向圖的條件。然后提出如下假設。

假設1 假設n個智能體的標稱編隊(,r)，滿足具有m維仿射張成，pf能夠由p唯一確定。

定理1假設2成立，給定一個在Rm空間內由n個智能體組成的標稱編隊(,r)，當且僅當中的領航者集合擁有m+1個領航者且跟隨者集合f中的每一個跟隨者均是m+1可達的,則該(,r)是能夠仿射定位的。

由定理1，式(1)可以重寫為

(3)

(4)

1.3 問題描述

單積分智能體的動力學模型為

(5)

將時變期望編隊定義為

p*(t)=[Im?X(t)]r+1m?Y(t)

(6)

式中，X(t)∈Rm×m,Y(t)∈Rm是關于時間t連續(xù)且時變的，在任意時刻t均在仿射映射A(r)中。

定義跟隨者的跟蹤誤差為

(7)

為簡便起見，下文ef簡寫為e。

2 控制律設計及穩(wěn)定性證明

通過使用預設性能控制對上述跟蹤誤差設定性能包絡，以實現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的魯棒仿射編隊機動控制。

通常應用一組不等式對系統(tǒng)跟蹤誤差進行上下界限制，即預設性能約束函數

(8)

由式(5)和式(7)可得距離誤差動力學

(9)

ρ(t)=(ρ0-ρ∞)exp(-ait)+ρ∞。

(10)

為了處理式(8)中的時變約束，使用誤差變換技術將具有約束的系統(tǒng)式(8)轉換為新的等效無約束系統(tǒng)。

首先定義調制誤差為

(11)

式中,ρ(t)≠0。由式(11)可得

(12)

注1：此處初始誤差可以擴展為任意正數，且可以對跟隨者設定不同的初始誤差，只需要對這些誤差設定合適的初始誤差界即可。

然后引入誤差轉換函數

(13)

Ti(·):(-1,1)→(-∞,+∞)是一個光滑的嚴格遞增雙射映射，滿足Ti(0)=0?？梢钥闯?，當且僅當ηi→0時，σi→0。

接下來求σi對時間的導數

(14)

式中

(15)

(16)

綜上所述，考慮在多維空間(m∈2,3)中具有動力學式(5)的n個智能體，標稱編隊為(,r)。且假設3成立的條件下，則設計控制律如下

(17)

(18)

由式(11)和式(9)可得

(19)

1) 第一階段。由假設3以及式(13)保證Ωη是非空且開放的,且η(0)∈Ωη。此外,hη在t上是連續(xù)的，并且在集合Ωη上的是局部利普希茨(Lipschitz)的。因此，由文獻[14]中的定理54，在[0,τmax)的時間間隔內，式(18)的最大解η(t)的存在唯一性使得

ηi(t)∈Ωη?t∈[0,τmax)

(20)

(21)

(22)

式中,λ=0.25λmax(ξ2)λmax(K2)。

(23)

證畢。

3 仿真結果

3.1 零速度領航者

7個智能體的標稱編隊如圖1所示。

圖1 7個智能體的標稱編隊Fig.1 Nominal formation of 7 agents

(24)

且滿足其秩為4。假設初始位置p(0)=[4，0，2，2，2，-2，-0.6，1.8，0.5，-2.6，-1.6，2.6，-2.3，-2.6]T，控制增益ki=0.2，在不失一般性的前提下假設外界干擾為δ1=[0.3sin(0.6πt)，0]T，δ2=[0.3sin(0.6πt)，0.6sin(0.3πt)-0.3cos(0.6πt)]T，δ3=[0，0]T，δ4=[0.6sin(0.3πt)，0.3sin(0.6πt)]T。

考慮動力學方程式(5)，當領航者速度為0 m/s且外界干擾為δ(t)時，智能體的軌跡如圖2所示，可看出在干擾為δ(t)的影響下，控制律式(18)可實現(xiàn)編隊。

圖2 當領航者的速度為0 m/s時智能體的軌跡Fig.2 Trajectory of the agents when the leader speed is 0 m/s

跟蹤誤差如圖3所示，紅色虛線表示設定的性能邊界，實線表示跟隨者的誤差變化曲線。仿真結果表明，所提出的控制律式(18)在未知干擾影響的情況下可形成編隊且誤差始終處于性能邊界之內。

3.2 時變速度領航者

時變速度領航者編隊智能體速度變化曲線如圖4所示。圖中，紅線所示為領航者的時變速度，藍線表示控制律式(18)在干擾δ(t)影響下的跟隨者的速度變化曲線。另進行一個對比仿真，在相同動力學方程式(5)的前提下，初始位置設為p(0)，外界擾動為δ(t)，控制增益ki=0.2，Ls如式(24)所示。應注意在沒有外界干擾的情況下，文獻[3]提出的常規(guī)仿射編隊控制律

(25)

可以建立理想的編隊。式中，vj表示智能體j的速度輸入。

圖4 速度變化曲線Fig.4 Velocities of the agents

圖5所示為控制律式(25)在干擾δ(t)下的誤差變化，可以明顯看出控制律式(25)并不能處理干擾對編隊形狀的影響，而圖6為控制律式(18)在干擾δ(t)下的跟蹤誤差,可以看出誤差完全收斂于預設性能邊界之內。

圖5 控制律式(25)的跟蹤誤差Fig.5 Tracking error when using control law (25)

圖6 控制律式(18)的跟蹤誤差Fig.6 Tracking error when using control law (18)

圖7所示為控制律式(18)在外界干擾δ(t)下的軌跡。仿真結果表明，本文提出的控制律能夠在外界干擾δ(t)的影響下實現(xiàn)仿射編隊機動控制。

圖7 控制律式(18)的軌跡Fig.7 Trajectory when using control law (18)

4 結論

本文解決了一個多智能體仿射編隊機動控制的魯棒性問題。本文通過適當地設定性能邊界來約束智能體與期望位置之間的距離誤差，提高智能體的收斂速度，保證控制系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，其中連接圖中的每個智能體通過符號拉普拉斯算子更新自己的狀態(tài)。根據設計的控制協(xié)議，合理規(guī)劃領航者的狀態(tài)，可以實現(xiàn)平移、縮放、剪切和旋轉等時變編隊形狀且不受外界干擾，跟蹤的性能是準確和連續(xù)的。在未來，需要研究和解決多智能體在時變時延下的魯棒仿射編隊形成問題。