◇崔慧慧（江蘇：鹽城市鹽瀆實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

教學(xué)內(nèi)容：

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第九冊第八單元“探索規(guī)律”《釘子板上的多邊形》一課。

教學(xué)目標(biāo)：

學(xué)生在進(jìn)行多種思考及實(shí)踐活動(dòng)中，逐層探究釘子板內(nèi)有1根、2根、3根乃至更多根釘子的多邊形大小和多邊形的邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索的興趣；進(jìn)一步鞏固用字母表示數(shù)量關(guān)系；經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證的探索過程，感悟發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的魅力。

教學(xué)準(zhǔn)備：

釘子板、課件、研究單、格點(diǎn)圖。

教學(xué)過程：

一、聯(lián)系舊知，揭示課題

師：小學(xué)四年我們學(xué)了許多知識，一二年級的我們曾經(jīng)借助釘子板，認(rèn)識過平面圖形。（拿出釘子板）老師在這個(gè)釘子板上圍了一些圖形，通常被稱為多邊形。我相信這些多邊形大家一定不會感到陌生。仔細(xì)觀察，橫向和縱向相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間都是1厘米長，你們知道這五個(gè)多邊形，它們的面積分別是多少平方厘米嗎？

生1：我看的正方形，其邊長是1厘米，按定義，面積為1平方厘米。

生2：我算的是平行四邊形，它的底部是3厘米，高度是1厘米，面積是3乘1，等于3平方厘米。

生3：我用三角形的底邊1厘米乘高度4厘米再除以2，得2平方厘米。

生4：第四個(gè)多邊形是長方形加三角形，2加0.5，面積是2.5平方厘米。

生5：最后一個(gè)圖形的面積可以數(shù)出來，兩個(gè)整格2平方厘米，加上兩個(gè)半格1平方厘米，一共3平方厘米。

師：這些圖形的面積和邊的長短顯然有關(guān)系。那么，你們覺得這些圖形的面積與邊上的釘子數(shù)有關(guān)嗎？

生1：我覺得有。

生2：我覺得沒有。

師：到底有沒有關(guān)系，只有通過研究，我們才會有所發(fā)現(xiàn)。

……

二、分層探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

（一）引導(dǎo)嘗試，初步感知

師：我們先從簡單的圖形開始研究。

師：根據(jù)要求，完成活動(dòng)一。我覺得面積有多大對大家來說沒有問題。那么，邊上的釘子數(shù)是什么意思呢？例如，這個(gè)三角形（點(diǎn)指三角形），邊上的釘子數(shù)有1，2，3，4，4根。不要重復(fù)數(shù)，也不能有遺漏。這根釘子不在邊上（點(diǎn)指旁邊的釘子），你能把它包括進(jìn)去嗎？這根釘子呢（點(diǎn)指內(nèi)部的釘子）？在嗎？也不在。

拿出活動(dòng)研究單，活動(dòng)開始。

（板書：面積數(shù)、邊上的釘子數(shù)）

師：哪位同學(xué)匯報(bào)一下你數(shù)的情況？

生：①號圖形，面積為2平方厘米，邊上有4根釘子；②號圖形……

師：請仔細(xì)看表中的數(shù)據(jù)，你有什么想說的？（手勢：上下、左右引導(dǎo)學(xué)生觀察）并且大膽提出你的推測。

（板書：觀察、推測）

生：我發(fā)現(xiàn)面積較大的多邊形，邊上的釘子數(shù)也多。

師：你是上下觀察的。

生：我發(fā)現(xiàn)，它們的面積數(shù)都是邊上釘子數(shù)的一半，比如，第一個(gè)多邊形，面積是2平方厘米，邊上的釘子數(shù)是4，2是4的一半。

師：你是把表中數(shù)據(jù)橫著看的，誰是誰的一半，能再說一遍嗎？

生：多邊形面積數(shù)是邊上釘子數(shù)的一半。

（補(bǔ)充板書：面積數(shù)＝邊上釘子數(shù)÷2）

師：你們想不想驗(yàn)證一下？請你們繼續(xù)參與活動(dòng)一，老師為大家在紙上準(zhǔn)備了釘子板，任意畫一個(gè)圖形。自己數(shù)一數(shù)，算一算。

該多邊形面積是（ ），其邊上有（ ）根釘子。

師：你們畫的多邊形面積數(shù)是邊上釘子數(shù)的一半嗎？

生1：是的。

生2：不是。

師：不是的同學(xué)先等一等，一樣的同學(xué)，老師請你做一件事，把你畫的圖形圍在大釘子板上，貼在黑板上，并介紹這個(gè)多邊形面積數(shù)是多少，邊上的釘子數(shù)多少。

師：這些多邊形的面積數(shù)都相當(dāng)于邊上的釘子數(shù)除以2，它們似乎存在著共同的特點(diǎn)。誰能發(fā)現(xiàn)？眼睛不能僅僅局限于邊上的釘子。

生：我發(fā)現(xiàn)這些多邊形，里邊的釘子都只有一個(gè)。

（課件閃爍強(qiáng)調(diào)一根釘子）

師：我們回頭再看，剛才不一樣的同學(xué)檢查一下你們畫的圖形，這些圖形里邊，分別有多少釘子呢？

生：2根。

生：3根。

……

師：看來，釘子板上圖形的面積不僅與邊上的釘子數(shù)有關(guān)系，而且與該多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)同樣密切相關(guān)。（板書：內(nèi)部的釘子數(shù)）

師：經(jīng)過驗(yàn)證，剛才的規(guī)律只適用于內(nèi)部有一根釘子的情況，不能適用所有的圖形。（板書1）

師：如果我們用更簡潔的方式表示剛才的發(fā)現(xiàn)，你打算怎么辦？是的，像以往一樣，用字母來表示。圖形的面積數(shù)一般用S表示，多邊形邊上的釘子數(shù)可以用n表示，剛才的規(guī)律，可以用什么樣的式子表示？

生：s=n÷2。

師：這個(gè)發(fā)現(xiàn)只適用于里邊有一根釘子的情況。

……

（二）繼續(xù)研究，拓展認(rèn)識

師：剛才有同學(xué)說，當(dāng)里邊的釘子數(shù)不是1的時(shí)候，就不是這樣的關(guān)系。那又是什么樣的關(guān)系呢？你們有信心繼續(xù)和老師一起來探究嗎？

師：如果多邊形內(nèi)部出現(xiàn)兩根釘子，（板書2）其面積數(shù)和邊上的釘子數(shù)有何關(guān)系？拿出研究單進(jìn)行第二次活動(dòng)。

師：多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)量為2根，如果你剛才畫出的多邊形里邊恰好有2根釘子，可以直接研究。

老師巡回指導(dǎo)，每兩人合作圍一個(gè)，交流數(shù)據(jù)填表。

師：看表上的這些數(shù)據(jù)，可以看出它們之間有什么關(guān)聯(lián)嗎？大家組里商量，看看到底有什么發(fā)現(xiàn)。

師：哪些同學(xué)可以帶上你們團(tuán)隊(duì)的研究成果先報(bào)告？

生：我發(fā)現(xiàn)這個(gè)多邊形的邊上有8根釘子，加上內(nèi)部的2根釘子，一共10根，10除以2等于5，這個(gè)多邊形的面積數(shù)也是5。

生：我發(fā)現(xiàn)的規(guī)律和剛才差不多，依然用邊上釘子的數(shù)量除以2，但是每一次還要再加1。

師：他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？你們就利用這四組數(shù)據(jù)初步驗(yàn)證一下。第一組數(shù)據(jù)，8除以2再加1，面積數(shù)為5；第二組數(shù)據(jù)，10除以2再加1，面積數(shù)為6；第三組數(shù)據(jù)9除以2再加1，面積數(shù)為5.5；第四組數(shù)據(jù)6除以2再加1，面積數(shù)為4。

……

（組織回顧剛才的“發(fā)現(xiàn)”，板書：s=n÷2＋1。）

師：這個(gè)結(jié)論正確嗎？你們想不想再次驗(yàn)證一下？

（板書：驗(yàn)證）

在格點(diǎn)圖上畫出一個(gè)內(nèi)部有2根釘子的多邊形，先用公式n÷2＋1計(jì)算，再根據(jù)多邊形形狀，數(shù)或算出這個(gè)圖形的面積，并比較兩次的結(jié)果。

總結(jié)：如果多邊形的內(nèi)部有2根釘子，其面積數(shù)等于邊上的釘子數(shù)除以2，再加1。

（三）引導(dǎo)猜想，概括規(guī)律

師：接下來應(yīng)該研究內(nèi)部有幾根釘子的多邊形呢？

生：3根、4根。

師：如果多邊形內(nèi)部有3根釘子、4根釘子或者更多根釘子，其面積數(shù)和邊上釘子數(shù)之間又會有什么樣的聯(lián)系呢？請看活動(dòng)要求，在組長的指揮下統(tǒng)一行動(dòng)。

師：研究內(nèi)部是3根釘子的小組揮揮手，你們的結(jié)論是什么？

生：S=n÷2+2。

師：研究內(nèi)部是4根釘子的小組推薦一位代表說一說。

生：S=n÷2+3。

師：讓我們上下觀察這樣的式子，寫得完嗎？那能不能只用一個(gè)式子就可以把所有的情況都表示出來呢？仔細(xì)觀察，你有什么想說的？多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)可用字母a來表示，你打算用什么樣的式子來表示今天的發(fā)現(xiàn)。

生：S=n÷2+a－1。

師：那這個(gè)式子是不是適用所有呢？進(jìn)一步驗(yàn)證內(nèi)部沒有釘子，即a為0的情況。此公式可用于釘子板上圍成的所有多邊形。

師：100多年前，奧地利數(shù)學(xué)家皮克也同樣經(jīng)歷了我們今天的研究過程，有了同樣的發(fā)現(xiàn)，所以這個(gè)規(guī)律又叫作皮克定理。感興趣的同學(xué)可以閱讀著名的數(shù)學(xué)家、教育家閔酮鶴的著作《格點(diǎn)和面積》。

三、總結(jié)感悟，數(shù)學(xué)之美

大家今天開心嗎？有收獲嗎？是啊，科學(xué)探索的道路充滿艱辛，也充滿樂趣。老師相信通過大家的努力，一定會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在的規(guī)律美。最后老師想說：今天與你們一起上課，感覺真好！

（本文原標(biāo)題為：啟發(fā)探索活動(dòng)，體驗(yàn)思維樂趣——《釘子板上的多邊形》教學(xué)設(shè)計(jì)）