于 陽， 王學(xué)問，2， 徐振邦，2*， 韓春楊， 曹玉巖， 王建立，2*

（1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

1 引 言

隨著空間遙感技術(shù)的迅速發(fā)展和空間探測精度的不斷提高，大口徑高分辨率光學(xué)望遠鏡在民用、軍工、商業(yè)、天文等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用[1］。但望遠鏡觀測姿態(tài)的變化會引起結(jié)構(gòu)重力變形，環(huán)境溫度的變化會引起熱變形，從而導(dǎo)致主、次鏡之間產(chǎn)生失調(diào)誤差，極大地降低了望遠鏡的成像質(zhì)量。因此，在望遠鏡跟蹤成像過程中，需要對光學(xué)系統(tǒng)的失調(diào)誤差進行主動補償。原理上，這種失調(diào)誤差主要是機構(gòu)的離焦偏差和彗差[2］。假設(shè)z軸為光軸方向，離焦偏差可以通過光軸方向的移動來補償而彗差則需要沿x，y方向移動以及繞x，y方向轉(zhuǎn)動進行補償。因此，需要在空間5個自由度上進行調(diào)整。

Stewart平臺由于具有高精度、剛度大、高承載能力、自由度多等優(yōu)點，目前已廣泛應(yīng)用于地基大型望遠鏡的主次鏡對準和校正[3］。雖然Stewart平臺能夠解決機構(gòu)運動自由度和運動精度問題，但大口徑地基望遠鏡在進行天文綜合觀測的過程中，次鏡組件的空間姿態(tài)隨觀測角度的變化而變化，支撐次鏡組件的并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)的工作姿態(tài)通常為“倒立”或“傾斜”。這種重力變形會影響成像質(zhì)量。為降低機構(gòu)的變形量，并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)需具有較高的側(cè)向剛度和軸向剛度。以虎克鉸鏈為代表的傳統(tǒng)六自由度并聯(lián)機構(gòu)，雖然具有較大的軸向承載能力，但受構(gòu)型的影響，側(cè)向剛度明顯不足。為了提高機構(gòu)的側(cè)向剛度，通常通過構(gòu)型優(yōu)化（設(shè)計成“矮”構(gòu)型）來降低運動機構(gòu)質(zhì)心。雖然“矮”構(gòu)型在側(cè)向剛度上比“高”構(gòu)型有優(yōu)勢，但在支腿長度和剛度確定的情況下，降低平臺質(zhì)心高度，下平臺鉸點半徑增大，軸向剛度也會有所下降。

柔性鉸鏈具有結(jié)構(gòu)緊湊、無摩擦、無機械間隙、無噪聲等特點，被廣泛地應(yīng)用于小角位移、高精度轉(zhuǎn)動的場合中，如精密調(diào)整機構(gòu)、望遠鏡支撐機構(gòu)、壓電陶瓷驅(qū)動器和機器人等領(lǐng)域[4-7］。

大型望遠鏡并聯(lián)機構(gòu)已采用柔性鉸鏈，如The Large Synoptic Survey Telescope （LSST）[8］和暗能量相機（The Dark Energy Camera）[9］的相機組件，均采用柔性鉸鏈Hexapod并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)進行支撐和調(diào)整。該機構(gòu)具有中等運動范圍（±21 mm），小角度轉(zhuǎn)動（±1.5°），高分辨率（1 μm）及高重復(fù)定位精度（±7.5 μm）。相關(guān)文獻只測試了機構(gòu)的性能指標(biāo)，但沒有對引入柔性鉸鏈對機構(gòu)精度和剛度的影響進行分析。

本文針對柔性鉸鏈對并聯(lián)機構(gòu)精度和剛度的影響，以2.5 m大視場光學(xué)望遠鏡為背景，綜合考慮精度、剛度、承載能力和結(jié)構(gòu)尺寸等技術(shù)要求，研究一種具有高側(cè)向剛度、亞微米精度、大承載能力的柔性鉸鏈并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)。設(shè)計了一種兩自由度柔性鉸鏈，建立了并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)等效運動學(xué)模型和剛度模型，通過動力學(xué)軟件Adams與有限元分析軟件Patran&Nastran搭建剛?cè)狁詈下?lián)合仿真系統(tǒng)，分析柔性鉸鏈對精度的影響。最后，通過實驗來驗證柔性鉸鏈設(shè)計的合理性以及運動學(xué)建模和剛度建模的準確性。

2 系統(tǒng)組成及柔性鉸鏈設(shè)計

基于柔性鉸鏈的并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)如圖1所示，該并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)由定平臺、動平臺、6個傳動機構(gòu)以及12個柔性鉸鏈組成。其中，傳動機構(gòu)采用直流電機驅(qū)動諧波減速器旋轉(zhuǎn)，諧波減速器的轉(zhuǎn)動帶動與其固連的行星滾柱絲杠螺母轉(zhuǎn)動，螺母的轉(zhuǎn)動帶動滾柱絲杠的伸縮和旋轉(zhuǎn)，因此該傳動機構(gòu)是一種無導(dǎo)向滾珠絲杠機構(gòu)。并聯(lián)機構(gòu)實現(xiàn)上平臺的六自由度運動需保證每個支鏈的自由度數(shù)≥6。本文設(shè)計的并聯(lián)機構(gòu)支鏈，兩端柔性鉸鏈各2個自由度，中間無導(dǎo)向滾柱絲杠結(jié)構(gòu)為滾珠絲杠副，等效為2個自由度，但這兩個自由度存在耦合關(guān)系（即導(dǎo)程），可通過運動學(xué)進行位姿解耦。此外，該傳動機構(gòu)有兩個編碼器，一是位于直流電機后端的增量式編碼器，用于電機計數(shù)；另一個是固定在絲杠螺母上的絕對式磁柵編碼器，用于位置閉環(huán)反饋。

圖1 大口徑望遠鏡重載并聯(lián)平臺Fig.1 Heavy-duty parallel platform for large-aperture telescopes

2.5 m望遠鏡次鏡組件對并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)的負載要求是1 200 kg以上，平臺轉(zhuǎn)動±1°，平動±8 mm，精度優(yōu)于±1 μm/±1″，橫向剛度大于60 N/μm。為了保證并聯(lián)機構(gòu)的大承載能力，傳動組件要具有足夠大的推力，同時為減小重力變形，機構(gòu)還要具有較高的剛度，尤其是剛度相對薄弱的環(huán)節(jié)（即柔性鉸鏈），也應(yīng)具有較高的軸向剛度。此外，考慮機構(gòu)高負載、長壽命的使用要求，柔性鉸鏈應(yīng)具有較低的彎曲剛度。因此，首先對柔性鉸鏈進行設(shè)計與建模。

圖2為直梁圓角型柔性鉸鏈的幾何結(jié)構(gòu)示意圖。其幾何參數(shù)包括端面長度b、最大厚度d、最薄處厚度t，寬度w，圓角半徑r，以及直梁圓角總長度l。沿x軸拉伸或壓縮柔度與繞z軸旋轉(zhuǎn)的彎曲柔度[10］分別為：

圖2 直梁圓角型柔性鉸鏈示意圖Fig.2 Schematic diagram of corner-filleted flexure hinge

根據(jù)柔度公式，可得出柔性鉸鏈的剛度公式為：

其中：Kt為拉伸或壓縮剛度，Kb為轉(zhuǎn)動剛度。

直梁圓角型柔性鉸鏈具有一個轉(zhuǎn)動自由度。為滿足并聯(lián)機構(gòu)鉸鏈兩自由度的需求，將柔性鉸鏈設(shè)計成垂直交叉軸形式，如圖3所示。該柔性鉸鏈的最大轉(zhuǎn)動角度小于2.5°，通過對限位槽的設(shè)計，來保證機構(gòu)在極限轉(zhuǎn)角位置不產(chǎn)生塑性變形或斷裂。通過有限元分析，小角度柔性鉸鏈的旋轉(zhuǎn)中心基本不變。因此，小角度轉(zhuǎn)動的兩自由度柔性鉸鏈可以等效為圖3（b）所示的傳統(tǒng)萬向鉸鏈，等效旋轉(zhuǎn)中心為o。

圖3 兩自由度柔性鉸鏈示意圖Fig.3 Schematic diagram of 2-DOF flexible hinge

為了確定柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度，采用集總參數(shù)的分析方法，Kφx，Mx為柔性鉸鏈繞x軸的轉(zhuǎn)動剛度，Kφy，My為 繞y軸 的 轉(zhuǎn) 動 剛 度，則 等 效 轉(zhuǎn) 動 剛度為：

鉸鏈材料選用沉淀硬化性不銹鋼17-4PH，泊松比為v，其材料性能與結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1中所示。根據(jù)式（5），鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度為1.159×106N·mm·rad-1。

表1 柔性鉸鏈參數(shù)Tab.1 Parameters of flexible hinge

3 運動學(xué)建模

由于小角度轉(zhuǎn)動的柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動中心不變，柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動可以等效為萬向鉸鏈的運動，因此并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)的等效運動學(xué)構(gòu)型如圖4所示。建立定坐標(biāo)系B-OXYZ與動坐標(biāo)系P-OXYZ，其中動定坐標(biāo)系分別固定在上下平臺中心處，動坐標(biāo)系隨上平臺運動。動坐標(biāo)相對于定坐標(biāo)系的位姿關(guān)系為q=[xyzαβγ］T，上、下平臺各鉸鏈用Pi，Bi（i=1~6）表示，上、下平臺鉸點圓半徑為RP，RB，鉸點P1與P6，B1與B6的圓心角分別為θP和θB。支腿的閉環(huán)矢量方程表示為：

圖4 重載并聯(lián)平臺構(gòu)型Fig.4 Configuration of heavy-duty parallel platforms

其中：Blni為桿在定坐標(biāo)系中的單位矢量；li為桿長（i=1，…6）。坐標(biāo)變換矩陣為：

其中ω為動平臺角速度矢量。

進而有：

根據(jù)上平臺的受力關(guān)系及虛功原理，當(dāng)各支鏈剛度均為k時，并聯(lián)機構(gòu)的剛度矩陣K可表示為：

由于本文研究的并聯(lián)機構(gòu)采用無導(dǎo)向滾柱絲杠的結(jié)構(gòu)形式，滾柱絲杠副中的轉(zhuǎn)動副和移動副并不是相互獨立的，螺母每旋轉(zhuǎn)一圈，絲杠就移動一個導(dǎo)程，即滾柱絲杠副的運動是耦合的，這種耦合會產(chǎn)生一種衍生運動，使動平臺產(chǎn)生位姿偏差。因此，該運動中每個支鏈存在兩個串聯(lián)的螺旋運動，一是伺服電機驅(qū)動絲杠的主動螺旋運動，另一個是由于支鏈沿軸向相對轉(zhuǎn)動而引起的被動螺旋運動。支鏈的實際伸長量可以表示為：

其中：Δli1為主動螺旋運動引起的伸長量；Δli2為被動螺旋運動引起的伸長量。衍生運動的具體求解可參考文獻[12］。

4 仿真及實驗

為了驗證柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度和運動學(xué)建模的正確性，進行了針對性的仿真分析與實驗驗證。

4.1 柔性鉸鏈仿真分析

用UG軟件對柔性鉸鏈進行三維建模，使用Patran/Nastran軟件劃分網(wǎng)格，鉸鏈的一端施加固定約束，另一端施加1×105N·mm的彎矩，有限元分析結(jié)果如圖5（a）所示。其轉(zhuǎn)動角度為8.57×10-2rad，折算成轉(zhuǎn)動剛度為1.167×106N·mm·rad-1，理論值與有限元分析結(jié)果的相對誤差為0.69%。鉸鏈的一端施加固定約束，另一端施加1×104N的軸向力，有限元結(jié)果如圖5（b）所示，折算成軸向剛度約為321.5 N/μm。

圖5 柔性鉸鏈的有限元模型Fig.5 Finite element model of flexible hinge

4.2 剛?cè)狁詈下?lián)合仿真

本文設(shè)計的并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)是由剛性單元（傳動機構(gòu)）和柔性單元（柔性鉸鏈）構(gòu)成的，需要進行剛?cè)狁詈线\動學(xué)仿真來驗證運動學(xué)模型的準確性。并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)如表2所示。

表2 運動學(xué)構(gòu)型參數(shù)Tab.2 Kinematic configuration parameters

利用Patran/Nastran軟件對柔性鉸鏈進行模態(tài)分析，提取10階模態(tài)信息，創(chuàng)建接口并導(dǎo)出MNF模態(tài)中性文件。將并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)模型導(dǎo)入動力學(xué)仿真軟件ADAMS中，將裝配體中的柔性鉸鏈替換為MNF模態(tài)中性文件，建立各個關(guān)節(jié)的運動副關(guān)系，進而搭建剛?cè)狁詈下?lián)合仿真系統(tǒng)，如圖6所示。

圖6 剛?cè)狁詈戏抡婺Ｐ虵ig.6 Rigid-flexible coupling simulation model

在剛?cè)狁詈夏Ｐ椭校瑢軸的負方向施加重力場，機構(gòu)動平臺沿X，Y，Z軸的移動范圍為-8~8 mm，轉(zhuǎn)動范圍為-1°~1°。為了證明運動學(xué)理論模型的正確性，在工作空間內(nèi)選取6個方向的單方向運動進行仿真驗證。單方向運動分別為[x0 0 0 0 0］， [0y0 0 0 0］， [0 0z0 0 0］， [0 0 0α0 0］， [0 0 0 0β0］和[0 0 0 0 0γ］。通過給定平臺的位姿來確定各個支腿的輸入長度。然后，使用支腿的輸入長度L進行剛?cè)狁詈下?lián)合仿真。最后，將仿真得到的上平臺位姿與q0比較。仿真結(jié)果如圖7~圖8所示。

從圖7可以看出，仿真結(jié)果與理論結(jié)果的偏差在微米量級，具有較好的一致性。由圖8可知，動平臺在±8 mm平移運動時，位置最大偏置為4.501 μm，±1°轉(zhuǎn) 角 運 動 的 最 大 姿 態(tài) 偏 差 為1.223″。仿真結(jié)果表明，在小行程范圍內(nèi)運動時，運動偏差相對較小，但隨著運動范圍的增大，機構(gòu)的運動偏差也不斷增大。仿真結(jié)果證明了柔性鉸鏈并聯(lián)機構(gòu)在小角度范圍內(nèi)運動的準確性和有效性。

圖7 剛?cè)狁詈衔蛔薋ig.7 Rigid-flexible coupling postures

圖8 位姿誤差Fig.8 Schematic diagram of posture errors

4.3 實驗驗證

4.3.1 柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動剛度測試

為驗證柔性鉸鏈的性能，搭建了剛度測試系統(tǒng)，其原理如圖9所示。測試裝置包括高精度光柵尺、轉(zhuǎn)接工裝、柔性鉸鏈、轉(zhuǎn)接板以及質(zhì)量塊。質(zhì)量塊施加一個向下的力，利用光柵尺測量垂直位移Δz。其中，光柵尺的測量點與鉸鏈中心距離L1，質(zhì)量塊施加力mg的點與鉸鏈中心距離L2。此時鉸鏈轉(zhuǎn)動角度θ近似為：

圖9 柔性鉸鏈實物和剛度檢測原理Fig.9 Photo of real flexible hinge and principle for stiff?ness measurement

式中L1=58 mm。

柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度為：

式中L2=278 mm。

實驗系統(tǒng)如圖10所示。將質(zhì)量塊進行搭配得到958，1 900，2 858，3 800，4 758，5 700，6 658，7 600，8 558 g。多次重復(fù)測量不同質(zhì)量下柔性鉸鏈的垂直位移Δz，根據(jù)式（13）和式（14）得到彎矩與轉(zhuǎn)角實驗數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)擬合曲線的斜率就是柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度。

圖10 剛度測試裝置Fig.10 Stiffness testing devices

柔性鉸鏈繞X軸與Y軸的旋轉(zhuǎn)角度α與β的數(shù)據(jù)以及擬合曲線如圖11所示。繞x軸的轉(zhuǎn)動剛度為：

圖11 力矩-角位移擬合曲線Fig.11 Fitting curves of moment and rotating angle

對比實驗結(jié)果與理論計算結(jié)果可以得出，繞X，Y軸的轉(zhuǎn)動剛度相對誤差分別為2.93%，3.54%，驗證了柔性鉸鏈理論推導(dǎo)及設(shè)計的合理性。

4.3.2 分辨率測試

為了驗證并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)運動學(xué)建模的準確性，搭建了重建平臺實驗測試系統(tǒng)。如圖12所示，負載為1 200 kg的光學(xué)組件，采用激光位移傳感器（分辨率為0.1 μm，測量范圍為2 mm）測量平臺的分辨率（小位移運動）和定位精度（大位移運動）。其中，分辨率為0.5 μm的最小機械步距。分辨率測試結(jié)果如圖13所示。

圖12 重載平臺測試系統(tǒng)Fig.12 Photo of heavy-duty platform test system

從圖13可以看出，并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)在X，Y，Z軸方向上0.5 μm步距的平動和0.5″步距的轉(zhuǎn)動能夠清晰辨識且具有很好的均勻性。移動分辨率和轉(zhuǎn)動分辨率通過數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到。對比剛?cè)狁詈戏抡鏀?shù)據(jù)，平動和轉(zhuǎn)動分辨率的測試，可以證明機構(gòu)在小位移（微米/角秒量級）運動中運動學(xué)建模方法的準確性。

圖13 分辨率測試結(jié)果Fig.13 Resolution test results

4.3.3 定位精度測試

為驗證剛?cè)狁詈戏抡婺Ｐ驮诖笪灰品秶臏蚀_性，對調(diào)整機構(gòu)的定位精度進行測試，定位精度反應(yīng)系統(tǒng)誤差和隨機誤差對機構(gòu)的影響，機構(gòu)動平臺沿X，Y，Z軸的移動范圍為-8~8 mm，轉(zhuǎn)動范圍為-1°~1°，測試結(jié)果如圖14所示。測試結(jié)果表明，隨著位移的增大，位置誤差不斷增大，行程內(nèi)不超過±5 μm，角度范圍內(nèi)，誤差不超過±1.2″，與仿真結(jié)果趨勢一致。

圖14 定位精度測試結(jié)果Fig.14 Test results of positioning accuracy

4.3.4 側(cè)向剛度測試

并聯(lián)平臺的剛度是機構(gòu)抵抗重力變形和承載能力的重要指標(biāo)。為降低2.5米地基望遠鏡在光學(xué)追蹤過程中重力變形對成像質(zhì)量的影響，次鏡組件并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)的側(cè)向剛度應(yīng)大于60 N/μm。因此，對并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)進行側(cè)向測試。沿動平臺的x和y向施加拉力，使用激光位移傳感器來實時獲取該方向的位移量。然后，對不同作用力下動平臺的位移量進行曲線擬合，所得到的曲線斜率就是機構(gòu)的側(cè)向剛度。測試結(jié)果如圖15所示，并聯(lián)機構(gòu)的X和Y向側(cè)向剛度分別為98.75 N/μm和98.27 N/μm，能夠滿足技術(shù)指標(biāo)的要求。

圖15 剛度測試結(jié)果Fig.15 Stiffness test results

5 結(jié) 論

針對地基望遠鏡中重力載荷的變化對光學(xué)成像質(zhì)量影響的問題，本文開展了基于柔性鉸鏈的并聯(lián)調(diào)整機構(gòu)研究。根據(jù)技術(shù)要求設(shè)計了一種兩自由度柔性鉸鏈，推導(dǎo)出轉(zhuǎn)動剛度的計算公式并確定柔性鉸鏈的等效旋轉(zhuǎn)中心。接著，建立了并聯(lián)機構(gòu)的等效運動學(xué)模型和剛度模型。然后，通過有限元仿真驗證了柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度，并利用剛?cè)狁詈下?lián)合仿真系統(tǒng)驗證了等效運動學(xué)建模的準確性。仿真結(jié)果表明，柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動剛度的理論值與有限元分析結(jié)果的相對誤差為0.69%，柔性鉸鏈并聯(lián)機構(gòu)在小行程/小角度范圍內(nèi)運動時，運動偏差在亞微米/角秒量級，而隨著運動范圍的增大，機構(gòu)運動偏差也隨之增大；最后，搭建了分辨率、精度和剛度測試系統(tǒng)。實驗結(jié)果證明了機構(gòu)在小行程（微米/角秒量級）和大行程（毫米/度）運動范圍內(nèi)運動學(xué)建模方法的準確性，橫向剛度優(yōu)于60 N/μm，能夠滿足預(yù)期使用要求。