張捍衛(wèi) 張 華 楊永勤 李曉玲

1 河南理工大學(xué)測(cè)繪與國土信息工程學(xué)院，河南省焦作市世紀(jì)路2001號(hào)，454000

勒讓德方程是物理學(xué)和其他技術(shù)領(lǐng)域常遇到的一類常微分方程。在大地測(cè)量學(xué)中，通常只關(guān)注締合勒讓德函數(shù)遞推公式及其計(jì)算精度與速度。遞推公式大致可分為標(biāo)準(zhǔn)向前按列和按行遞推方法[1]、列式遞推方法[2]和跨階次遞推方法[3]等，這些遞推公式在理論上具有等價(jià)性。但由于遞推公式結(jié)構(gòu)存在優(yōu)劣，在計(jì)算過程中，不同類型的遞推公式顯示出不同的效果[4-7]，因此，需要進(jìn)一步改善遞推公式結(jié)構(gòu)[8-9]。球諧與橢球諧理論[10-11]作為物理大地測(cè)量學(xué)的重要理論，雖然地球與太陽系內(nèi)的天體橢率較小，但也可用于其他領(lǐng)域研究[12]。

本文給出部分特殊函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，直接給出第一類連帶勒讓德函數(shù)的超比表達(dá)式，及其與其他特殊函數(shù)的理論關(guān)系；同時(shí)利用級(jí)數(shù)展開方法，直接給出第二類連帶勒讓德函數(shù)的超比表達(dá)式。

1 勒讓德方程及其奇點(diǎn)

復(fù)數(shù)域內(nèi)勒讓德方程為[13-14]：

(1)

式中，ν為待定參數(shù)。

連帶(締合)勒讓德方程為：

(2)

顯然，當(dāng)m=0時(shí)，方程(2)就可化為方程(1)。式(2)的系數(shù)為：

(3)

由于式(3)在x0=0點(diǎn)解析，因此x0=0為方程(1)和(2)的常點(diǎn)。

根據(jù)式(3)得：

(4)

所以，x0=±1、∞分別為勒讓德方程的3個(gè)正則奇點(diǎn)。

2 式(1)冪級(jí)數(shù)解：第一類勒讓德函數(shù)

文獻(xiàn)[13-14]指出，若x0為二階微分方程的常點(diǎn)，則該方程的系數(shù)和解均可以通過麥克勞林級(jí)數(shù)來表示：

(5)

因此，方程(1)在常點(diǎn)x0=0鄰域內(nèi)的解為：

(6)

將式(6)代入式(1)，可得系數(shù)之間的遞推公式：

(7)

設(shè)置c0和c1為任意常數(shù)，可證Pν(x)在|x|<1時(shí)收斂，在x=±1處發(fā)散[13-14]。

當(dāng)ν=n時(shí)，Pν(x)截?cái)酁槎囗?xiàng)式Pn(x)，如果取最高冪次系數(shù)：

(8)

則有[13-14]：

(9)

式中，[·]表示取整數(shù)。值得注意的是，多項(xiàng)式對(duì)自變量數(shù)域范圍無要求。

當(dāng)ν=n時(shí)，可證明

(10)

第一個(gè)等號(hào)成立。后面3個(gè)等號(hào)，可根據(jù)(C7)、(C15)和(C21)式得到。

3 式(1)冪級(jí)數(shù)解：第二類勒讓德函數(shù)

與Pn(x)線性無關(guān)的另一個(gè)解Qn(x)，可通過劉維爾公式得到[13-14]：

(11)

式中，p(x)為方程(1)的系數(shù)，具體見式(3)。

當(dāng)ν=n時(shí)，設(shè)方程(1)的級(jí)數(shù)解為：

(12)

將上式代入式(1)，可得系數(shù)之間的遞推公式為：

(13)

由此可得：

(14)

如果設(shè)置

(15)

則可將式(12)表示為：

(16)

上式稱為第二類勒讓德函數(shù)。

考慮到式(A9)、(A10)以及式(15)，可將式(16)寫為：

(17)

注意，第二類勒讓德函數(shù)是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)，自變量要求|x|>1。

4 式(2)冪級(jí)數(shù)解：第一類與第二類連帶Legendre函數(shù)

可證明：如果式(1)的解為y，那么式(2)的解為[13-14]：

(18)

因此，當(dāng)ν=n時(shí)，則有：

(19)

分別稱為第一類和第二類連帶勒讓德函數(shù)。

根據(jù)式(10)和式(19)中第一式，以及(C5)、(C9)、(C16)和(C23)式，可得：

(20)

上式為第一類連帶勒讓德函數(shù)(實(shí)際上為多項(xiàng)式)的不同表述。

根據(jù)式(17)和式(19)中第二式，可得：

(21)

根據(jù)式(A9)和式(A10)，可得：

因此，式(21)可寫為：

(22)

這里已考慮到(B4)式。

5 結(jié) 語

本文給出超比函數(shù)、雅可比多項(xiàng)式、超球多項(xiàng)式和蓋根堡多項(xiàng)式的任意階導(dǎo)數(shù)，在此基礎(chǔ)上利用式(19)第一式和式(10)，可直接得到式(20)。另外，首次利用級(jí)數(shù)展開方法并靈活運(yùn)用括號(hào)運(yùn)算符，直接給出式(16)和式(22)。

勒讓德方程、切比雪夫方程、雅可比方程、超球方程和蓋根堡方程等均屬于超比方程類型，可以化為超比方程求解。因此，在研究勒讓德方程時(shí)，可以利用其他微分方程的部分特性來研究勒讓德方程的性質(zhì)。