鄭東洪 方晨霞

一、問題來自學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)識

人教版四年級上冊數(shù)學(xué)教材安排了“積的變化規(guī)律”和“商不變的性質(zhì)”的學(xué)習(xí)。積的變化規(guī)律對簡便計算及后續(xù)解決小數(shù)乘法計算等起著重要的作用；商不變的性質(zhì)主要是進(jìn)行簡便和小數(shù)除法計算以及對分?jǐn)?shù)、比等內(nèi)容后續(xù)知識產(chǎn)生正遷移。在四則運算中，不僅有乘除，還有加減，加減中有和差變化規(guī)律。

和差變化規(guī)律在小學(xué)數(shù)學(xué)的教材上并沒有作為一個教學(xué)內(nèi)容來呈現(xiàn)，但其的確有它的價值。那么孩子究竟對這部分知識掌握得怎么樣呢？在學(xué)習(xí)積商變化規(guī)律之前，筆者對孩子進(jìn)行了有關(guān)和差變化規(guī)律的前測。結(jié)果見圖1。

圖1 前測結(jié)果分析

通過圖1的前測結(jié)果來分析：孩子們對和的變化規(guī)律還是有一定的基礎(chǔ)的，即使不上這一內(nèi)容，孩子大多數(shù)也是有感覺的。差的變化規(guī)律雖然也有一定的基礎(chǔ)，但是容易混淆，減數(shù)變化和差變化規(guī)律錯誤率高，說明孩子對減數(shù)和差反著變化不清楚。另外從前測數(shù)據(jù)可以看出，孩子對一種量的變化引發(fā)的結(jié)果變化還是掌握得比較好的，除了減數(shù)和差的變化關(guān)系，但兩種量同時變化，從前測看，正確率還是比較低的。

我們的思考是：既然在孩子的學(xué)習(xí)路上需要這部分知識，而且孩子對這部分知識又不清楚，我們就不能忽視它。和差積商都有變化規(guī)律，從知識的產(chǎn)生、發(fā)展的角度來看，變化規(guī)律之間既有聯(lián)系也有區(qū)別，我們可以嘗試把和差積商變化規(guī)律作為一個知識整體，通過學(xué)習(xí)主題的重組集中進(jìn)行教學(xué)。

二、改變源于知識結(jié)構(gòu)化的思考

運算中的變與不變規(guī)律，教材是蜻蜓點水式的，給我們老師和學(xué)生的感覺是輕描淡寫。那么學(xué)生學(xué)習(xí)真的是那么容易嗎？這些規(guī)律又是獨立存在的嗎？它們之間有哪些內(nèi)在的聯(lián)系，教學(xué)中能實現(xiàn)關(guān)聯(lián)并融會貫通嗎？我們進(jìn)行了深度的研究。

(一)學(xué)生學(xué)習(xí)的困難

教材上安排的積商變化規(guī)律的學(xué)習(xí)，是四年級上冊的一個教學(xué)難點，之所以覺得這部分知識難，是因為變化規(guī)律多，孩子容易搞混淆。每一種運算都有自己的變化規(guī)律，以商的變化為例，就有以下幾種：①被除數(shù)乘或除以一個數(shù)，商變了；②除數(shù)乘或除以一個數(shù)，商變了；③被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個相同的數(shù)，商不變；④被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個相同的數(shù)，商變了；⑤被除數(shù)乘或除以一個數(shù)，除數(shù)除以乘一個數(shù)，商變化。

孩子們不但要知道已知被除數(shù)變化、除數(shù)變化，商變化情況，還要知道商變化，被除數(shù)、除數(shù)變化情況。一個商變化就有如此多的類型，若四種運算規(guī)律合在一起，四年級的孩子抽象思維能力有限，極易搞混淆。同時學(xué)習(xí)四種變化規(guī)律，要求孩子都掌握并能正確應(yīng)用，這對孩子來說也是個挑戰(zhàn)。

(二)教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的再認(rèn)識

積商的變化規(guī)律在教學(xué)上是一個難點。因為規(guī)律比較多，又有很大的相似性，學(xué)生容易混淆，以至于在作業(yè)時錯誤百出。根據(jù)對商變化類型的分析，學(xué)生需要掌握的變化規(guī)律很多，但細(xì)細(xì)思考，我們發(fā)現(xiàn)商的變化的根本是被除數(shù)乘或除以一個數(shù)，商發(fā)生了變化，除數(shù)乘或除以一個數(shù)，商變化。而商不變的本質(zhì)還是因為被除數(shù)變，商跟著變，除數(shù)變，商反著變，最終商的變化抵消了。被除數(shù)和除數(shù)同時變化，而商變化是因為最終商的變化沒有抵消。

將這些變化規(guī)律重新歸類整理，我們認(rèn)為商的變化規(guī)律孩子需要掌握的是：①被除數(shù)除以幾，商隨著除以幾；②除數(shù)除以幾，商反而乘幾；③被除數(shù)除以幾，除數(shù)也除以幾，商不變或商變了。

其他的變化規(guī)律也是如此：

從和差積商的變化規(guī)律分析來看，變化規(guī)律可以分為兩類：一類是變的規(guī)律，另一類是不變規(guī)律。而變與不變的規(guī)律中，和與積的變化規(guī)律相似，差與商的變化規(guī)律相似。但不論是變還是不變規(guī)律，其本質(zhì)都是變化所引起的。所有的變化規(guī)律都是由一種量變化引發(fā)結(jié)果變化，兩種量變化時結(jié)果可能變也可能不變，所以不論哪種規(guī)律，首先要讓學(xué)生理解和差積商都是因為某個數(shù)怎么變而發(fā)生了變化。

(三)教學(xué)內(nèi)容的整體性重構(gòu)

通過對和差積商變化規(guī)律的本質(zhì)思考，我們發(fā)現(xiàn)和差積商變化規(guī)律是有聯(lián)系的，用一定的方式讓孩子有聯(lián)系地學(xué)習(xí)，能夠讓孩子更清晰地認(rèn)識知識的本源，有意義的聯(lián)系學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種非常有效的方式，我們覺得這一部分內(nèi)容可以作為一個有機(jī)整體，集中進(jìn)行學(xué)習(xí)，便于學(xué)生對知識的溝通聯(lián)系，辨別比較。所以我們打算在上三位數(shù)乘兩位數(shù)這單元之前，對這四種變化規(guī)律內(nèi)容用一定的方式恰當(dāng)?shù)亟M織起來集中學(xué)習(xí)，有利于孩子理解和遷移的知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)習(xí)內(nèi)容不再簡單孤立而碎片化。根據(jù)我們對這部分知識內(nèi)容的思考，設(shè)計了表1所示的教學(xué)內(nèi)容。

表1 教學(xué)內(nèi)容安排表

三、重心在于主題式課堂實踐

當(dāng)我們有了前面這樣的思考與分析，究竟這樣的思考有價值嗎？需要用實踐去驗證。于是，我們開展扎實的主題式課堂教學(xué)實踐。

(一)重組知識，明確目標(biāo)

和差積商變化規(guī)律的教學(xué)內(nèi)容屬于并列式內(nèi)容，四種變化規(guī)律都有相似的教學(xué)目標(biāo)，每一種變化規(guī)律要求孩子掌握的知識點也大致相似。

以和的變化規(guī)律為例，需要孩子掌握的內(nèi)容如下：

知識方面：(1)一個加數(shù)增加幾(或減幾)，另一個加數(shù)不變，和也跟著加幾或減幾；(2)一個加數(shù)加幾，另一個加數(shù)減相同的數(shù)，和不變；(3)一個加數(shù)加幾，另一個加數(shù)減幾(或加幾)，和在變化；(4)已知一個加數(shù)加幾，和減幾，另一個加數(shù)怎么變；(5)能用和的變化規(guī)律解決實際問題：簡便計算，錯中求解等。

能力方面：經(jīng)歷猜想、驗證、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、運用規(guī)律的過程，提高發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。

(二)重構(gòu)教學(xué)，由淺入深

我們把和差積商變化規(guī)律放在一起教學(xué)。從和的變化規(guī)律入手，孩子有基礎(chǔ)，也容易理解和掌握。積的變化規(guī)律與和的變化規(guī)律類似，學(xué)生掌握容易一些，上完和的變化規(guī)律，接著上積的變化規(guī)律。差的變化規(guī)律有變化，放到積的變化規(guī)律之后，最后是商的變化規(guī)律。

從和差積商的變化本質(zhì)來看，對每一種規(guī)律，我們都先讓孩子理解一種量變化引起的結(jié)果的變化。孩子只有深刻理解一種量變化引發(fā)的結(jié)果的變化，才會對兩種量變化產(chǎn)生的結(jié)果變化有深入理解。所以每種變化規(guī)律的教學(xué)，內(nèi)容都由淺入深，凸顯教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的一致性，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的層次性。

(三)學(xué)習(xí)方式，融會貫通

除了知識的掌握上有很高的相似性外，在學(xué)習(xí)方式上也是互通的，猜想規(guī)律—驗證規(guī)律—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—運用規(guī)律是這部分知識的共同學(xué)習(xí)方法。

先研究和的變化規(guī)律比研究積的變化規(guī)律的優(yōu)勢是：對知識點的掌握不需要花很多精力，可以集中精力讓孩子掌握猜想—驗證—發(fā)現(xiàn)規(guī)律(圖2)的學(xué)習(xí)方法。孩子經(jīng)歷猜測由無從著手到有方向合理驗證，由教師幫助到自主進(jìn)行，發(fā)現(xiàn)規(guī)律由單一到全面，有效促進(jìn)教學(xué)效率的提高以及孩子學(xué)習(xí)能力的發(fā)展。學(xué)生在不斷利用這些概念通過正遷移解決新問題的過程中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到發(fā)展。

圖2 教學(xué)過程圖

(四)聯(lián)系溝通，內(nèi)合外聯(lián)

如果每一個內(nèi)容都是分散獨立的教學(xué)，一定會給孩子增加記憶和理解的負(fù)擔(dān)，有聯(lián)系的學(xué)習(xí)則能提高學(xué)習(xí)效率。和與積的變化規(guī)律很相似，但也有區(qū)別。差、商的變化規(guī)律相似又有區(qū)別。

1.構(gòu)建聯(lián)系

我們在讓孩子學(xué)習(xí)了和的變化規(guī)律之后，接著學(xué)習(xí)了積的變化規(guī)律，就是想讓孩子主動建構(gòu)和與積的變化規(guī)律之間的聯(lián)系。

師：你認(rèn)為積有怎樣的變化規(guī)律呢？生：一個因數(shù)乘幾，積也乘幾。生：一個因數(shù)除以幾，積也除以幾。生：一個因數(shù)加幾，積也加幾。生：一個因數(shù)乘幾，另一個因數(shù)除以幾，積不變……

師：積是不是有這樣的變化規(guī)律呢？你能驗證這些猜想是否正確嗎？以6×4為例進(jìn)行研究。

孩子通過舉例驗證后，發(fā)現(xiàn)因數(shù)只有乘幾除以幾時，積才會乘幾或除以幾。

2.同中求異

在學(xué)習(xí)差的變化規(guī)律時，學(xué)生在猜測減數(shù)與差的變化規(guī)律時，一部分孩子會覺得減數(shù)怎么變，差也跟著怎么變，這是受和積變化規(guī)律的影響，通過驗證和交流之后，發(fā)現(xiàn)減數(shù)與差的變化是相反的。除數(shù)和商也同樣存在著相反的情況。而這一點正是孩子容易混淆的。

師：和差積商的變化規(guī)律中，哪些不變規(guī)律是一致的？生：和與積不變的規(guī)律是一致的，差和商的變化規(guī)律是類似的。生：我記住了和的變化規(guī)律，就記住了積的變化規(guī)律，我記住了差的變化規(guī)律，就記住了商的變化規(guī)律。

師：和積不變規(guī)律和差商不變規(guī)律之間有什么不同？生：和積中變化都是一致的，差和商中減數(shù)與差、除數(shù)與商是反著變的。

3.異中建同

雖然和差、積商是逆運算，它們之間有著相反的變化規(guī)律，但是，這些變化規(guī)律最終還是趨向一致的。

師：它們之間就沒有聯(lián)系嗎？

生：和不變是因為兩個加數(shù)變化，和的變化最終抵消了；減數(shù)變化差反著變，正因為反著變，差最終還是抵消了，所以最終的不變都是將和或者是差的變化最終抵消了。

只有在聯(lián)系與對比中學(xué)習(xí)，學(xué)生才會對所學(xué)知識正確辨析，頭腦中留下正確的知識。

(五)主攻疑難，凸顯思維

在和差積商的變化規(guī)律這一知識體系的學(xué)習(xí)中，學(xué)生除了因規(guī)律多容易混淆之外，已知一種量的變化，結(jié)果的變化，逆向思考另一種量的變化，這是教學(xué)上的難點。如果只有一個不變量，那么逆向變化的難度并不大，難的是已知兩種量在變化，倒推另一種量的變化。與此相對應(yīng)的試題有：

(1)兩數(shù)相加，一個加數(shù)減少12，要使和增加4，另一個加數(shù)應(yīng)( )。

(2)兩個數(shù)相乘，一個因數(shù)乘5，積除以2，另一個因數(shù)應(yīng)( )。

(3)兩個數(shù)相減，如果被減數(shù)增加32，要使差減少52，減數(shù)應(yīng)( )。

(4)兩個數(shù)相除，被除數(shù)乘16，要使商乘4，除數(shù)應(yīng)( )。

逆向思維的題，對孩子來說是很難的，最難的是減法和除法。但對和差積商變化規(guī)律本質(zhì)理解之后，學(xué)生能充分展現(xiàn)自己的思維。

以兩個數(shù)相除，被除數(shù)乘16，要使商乘4，除數(shù)應(yīng)( )為例。

復(fù)雜的題的變化是由基本的變化演變而來的，不論多復(fù)雜，都是對一種量變化而引發(fā)商的變化的運用。所以讓孩子正確表達(dá)，展示自己的思維過程，既鞏固了一般規(guī)律，也是正確解答復(fù)雜變化的必要措施。

(六)查漏補缺，及時練習(xí)

和差變化規(guī)律教材上沒有，積商變化規(guī)律教學(xué)編寫得很簡單，配套練習(xí)很少，需要我們老師去設(shè)計一些練習(xí)，及時鞏固課堂教學(xué)。根據(jù)我們的預(yù)設(shè)目標(biāo)，這一部分知識，主要練習(xí)內(nèi)容有兩部分：(1)對變化規(guī)律的鞏固；(2)增加了簡便計算。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，我們每節(jié)課后都設(shè)計相應(yīng)的配套練習(xí)，通過不同形式的練習(xí)，及時了解孩子對知識的掌握情況，查漏補缺，發(fā)現(xiàn)孩子哪塊知識掌握得不夠好，就可以馬上進(jìn)行補救。

四、反思修正，且行且進(jìn)

1.我們將和差積商變化規(guī)律放在一起教學(xué)，雖然增加了和差變化規(guī)律，但是在實踐中用聯(lián)系比較的學(xué)習(xí)主題式教學(xué)，方法上觸類旁通，絕大多數(shù)孩子能夠正確區(qū)分，掌握的規(guī)律不會混淆。

2.在教學(xué)中堅持讓孩子理解一種量變化引發(fā)結(jié)果的變化是根本，是解決兩種量變化結(jié)果變與不變的基礎(chǔ)，也是解決逆向求其中一種量變化的基礎(chǔ)。一切變化規(guī)律都是從一種量的變化開始。學(xué)生通過正遷移解決新的問題，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不斷得到發(fā)展。

3.要讓變化規(guī)律解決問題成為孩子的思考習(xí)慣。和差變化規(guī)律很多時候在簡便計算中發(fā)揮著重要的作用，當(dāng)孩子看到題目要求用簡便方法計算時，他會不自覺地想到運用這些變化規(guī)律，如果題目上沒有要求簡便計算，比如：在○里填上“>”“<”或“=”。

420×60○42×600

240×36○480×18

在這樣的題目中，孩子能有意識地運用積不變規(guī)律去解決問題，這也是我們老師所希望的。路漫漫，我們將在已有實踐基礎(chǔ)上，不斷探討，找到更為有效的教學(xué)方法。