任志英， 邱 濤， 劉扭扭， 白鴻柏， 堯杰程， 梁 翼

(1.福州大學(xué)金屬橡膠與振動噪聲研究所,福建 福州 350116; 2.福州大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院, 福州 350116)

船舶運行過程中，推進(jìn)軸系產(chǎn)生的縱向振動會嚴(yán)重影響船舶可靠性與靜謐性[1]。相較于主動隔振，被動隔振方案可靠性更高、結(jié)構(gòu)簡單，更適用于推進(jìn)軸系的縱向隔振。Goodwin[2]在上世紀(jì)60年代首先利用共振轉(zhuǎn)換器來減小推進(jìn)軸系的縱向振動，并取得了良好的效果。隨后國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者對共振轉(zhuǎn)換器的軸向隔振性能進(jìn)行了更深入的研究[3-7]，在推進(jìn)軸系縱向振動的控制中取得了較好的成果，但是難以滿足實際中越來越嚴(yán)格的低頻隔振要求。

1 準(zhǔn)零剛度隔振器布置方案

圖1為碟簧-螺旋彈簧并聯(lián)實現(xiàn)的準(zhǔn)零剛度隔振器。當(dāng)?shù)傻膲嚎s量達(dá)到Δf時，碟簧在該平衡點附近產(chǎn)生的負(fù)剛度正好抵消螺旋彈簧的正剛度，機構(gòu)的總剛度為零，此時可以有效隔離低頻振動。

圖1 碟簧-螺旋彈簧并聯(lián)示意圖Figure 1 Schematic diagram of parallel connection of disc spring and coil spring

圖2 推進(jìn)軸系縱向低頻隔振示意圖Figure 2 Schematic diagram of longitudinal low frequency vibration isolation of propulsion shafting

2 軸系縱向動力學(xué)分析

2.1 動力學(xué)方程建立與求解

根據(jù)圖2建立了軸系-準(zhǔn)零剛度隔振器的動力學(xué)模型，如圖3所示。在研究低頻范圍內(nèi)軸系縱向振動時可以將其簡化為單自由度，用質(zhì)量m1表示；在平衡位置處，準(zhǔn)零剛度隔振器的回復(fù)力與位移可以近似為三次方關(guān)系，并用kqzs表示非線性剛度；由于基座剛性大，因此可以將基座視為固定端；其他符號意義與第1節(jié)相同。

圖3 軸系-準(zhǔn)零剛度隔振器動力學(xué)模型Figure 3 Shafting-quasi-zero stiffness isolator dynamic model

圖3的動力學(xué)方程可寫成：

(1)

(2)

設(shè)該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解為

(3)

將式(3)代入式(2)中，采用諧波平衡法進(jìn)行求解，僅保留一次諧波項，并令各諧波項系數(shù)相等可得

(4)

解析解可通過求解式(4)獲得。

2.2 求解有效性的驗證

本文中軸系結(jié)構(gòu)參數(shù)L=3 m，D1=0.08 m，E=206 000 MPa，ρ=7 800 kg/m3，并取kqzs=1×1013N/m3、f0=75 N、ζ1=0.02、ζ2=0.02、β=0.1來驗證解析法求解的有效性。用四階龍格-庫塔法求解方程(2)，x2的幅值用A2表示。解析解與數(shù)值解的結(jié)果對比如圖4所示，可以看出數(shù)值解與解析解的吻合度高，說明用諧波平衡法進(jìn)行求解是可行的。

圖4 解析解與數(shù)值解對比Figure 4 Analytical solutions compared with numerical solutions

2.3 系統(tǒng)力傳遞率曲線

用力傳遞率來評價準(zhǔn)零剛度隔振器的隔振性能。力傳遞率定義為Tf=ft/f0，其中ft為傳遞到基座上的力，f0為激勵力幅值，并將傳遞率轉(zhuǎn)換為分貝的形式，即20lgTf,無隔振器系統(tǒng)與加入隔振器系統(tǒng)的力傳遞率曲線如圖5所示，無隔振器系統(tǒng)的起始隔振頻率為65.7 Hz；加入隔振器的系統(tǒng)的起始隔振頻率為18.5 Hz，且在18.5～200 Hz頻段內(nèi)力傳遞率相較于無隔振器系統(tǒng)大幅降低。

圖5 力傳遞率曲線Figure 5 Force transmission rate curve

3 準(zhǔn)零剛度隔振器參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

準(zhǔn)零剛度隔振器具備優(yōu)秀的低頻隔振性能，但在實際運用中，其非線性特點可能會影響實際的隔振效果，因此，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性是十分有必要的。對式(2)求得的穩(wěn)態(tài)解施加一個小擾動，方程的解可以寫成：

(5)

式中:Xi表示方程(2)的穩(wěn)態(tài)解，i=1，2。

將式(5)代入式(2)中并忽略高階的非線性項，得到如下關(guān)于小擾動ui的線性化方程：

(6)

設(shè)方程(6)的解為如下形式：

(7)

將式(7)代入方程(6)中并保留一次諧波項，令其各諧波項的系數(shù)等于0可得如下方程：

(8)

將式(8)寫成矩陣形式A[a1b1a2b2]T=0，若矩陣A的行列式Δ<0，則系統(tǒng)的響應(yīng)是不穩(wěn)定的。

3.1 非線性剛度對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

討論不同非線性剛度對系統(tǒng)響應(yīng)穩(wěn)定性的影響時，取阻尼比ζ2=0.03進(jìn)行分析。圖6(a)、6(b)、6(c)分別表示不同非線性剛度下，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)與不穩(wěn)定區(qū)間，其中虛線為系統(tǒng)的不穩(wěn)定邊界，邊界內(nèi)部為系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)間。圖6(d)表示激勵力幅值為75 N時，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)隨非線性剛度變化的曲線。

圖6 不同非線性剛度幅頻響應(yīng)與穩(wěn)定性圖Figure 6 Amplitude-frequency response and stability diagram of different nonlinear stiffness

由圖6可知，當(dāng)非線性剛度一定時，激勵力幅值越小，系統(tǒng)幅值的響應(yīng)越小，且起始隔振頻率也越低。此外系統(tǒng)不穩(wěn)定解的區(qū)間也會隨著激勵力幅值的減小而減小。激勵力幅值一定時，系統(tǒng)的非線性剛度越大，對應(yīng)的起始隔振頻率也越高，不穩(wěn)定的跳躍現(xiàn)象越明顯，較小的非線性剛度能避免系統(tǒng)的響應(yīng)出現(xiàn)過大的不穩(wěn)定區(qū)間。但在實際中考慮到艉軸承密封的要求，推進(jìn)軸系的軸向靜變形有一定限制[17]，這表明非線性剛度不宜選取過小。綜上所述，選取非線性剛度為1×1012N/m3。

3.2 碟簧與螺旋彈簧的設(shè)計

確定非線性剛度后，可根據(jù)相關(guān)靜力學(xué)理論設(shè)計碟簧與螺旋彈簧結(jié)構(gòu)參數(shù)。碟形彈簧示意圖如圖7所示。

圖7 碟形彈簧示意圖Figure 7 Schematic diagram of disc spring

常用碟簧的載荷-位移曲線可以根據(jù)A-L解[18]近似求出：

(9)

式中：E為彈性模量，MPa；μ為泊松比；f為碟簧的壓縮量，mm；D、d分別為碟簧外徑與內(nèi)徑，mm；s為碟簧厚度，mm；h0為自由高度，mm；M的表達(dá)式見式(10)，其中C為外徑與內(nèi)徑之比。

(10)

式(9)對位移f求導(dǎo)，得剛度-位移表達(dá)式：

(11)

(12)

圖8 單片碟簧載荷-位移曲線Figure 8 Single disc spring load-displacement curve

由圖1可知，準(zhǔn)零剛度隔振器受到載荷時，隔振器的回復(fù)力Fqzs由螺旋彈簧與碟簧的變形共同提供，此時系統(tǒng)的回復(fù)力表達(dá)式如下：

(13)

式中:Kv為螺旋彈簧的剛度。

(14)

根據(jù)分析，設(shè)計一個剛度為200 000 N/m的螺旋彈簧與碟簧并聯(lián)，構(gòu)建單個準(zhǔn)零剛度隔振器，并將4個準(zhǔn)零剛度隔振器嵌入推力軸承，進(jìn)行推進(jìn)軸系的縱向隔振。圖9為準(zhǔn)零剛度隔振器載荷-位移的設(shè)計曲線與仿真曲線對比，曲線的吻合度好，因此設(shè)計的碟簧與螺旋彈簧并聯(lián)后，準(zhǔn)零剛度隔振器的非線性剛度值能達(dá)到預(yù)設(shè)的1×1012N/m3。

圖9 準(zhǔn)零剛度隔振器載荷-位移曲線Figure 9 Quasi-zero stiffness isolator load-displacement curve

3.3 阻尼比對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

確定非線性剛度參數(shù)后，進(jìn)一步分析不同阻尼比ζ2對系統(tǒng)響應(yīng)穩(wěn)定性的影響，如圖10所示。圖10(a)、10(b)、10(c)分別表示了選取不同阻尼比ζ2時，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)與不穩(wěn)定區(qū)間。圖10(d)表示激勵力幅值為75 N時，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)隨阻尼比ζ2變化的曲線。

由圖10可知，阻尼比ζ2越大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線與不穩(wěn)定區(qū)間的交集越小，當(dāng)阻尼比ζ2取0.05并且激勵力幅值小于75 N時，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線不再出現(xiàn)不穩(wěn)定的區(qū)間，這表明此時系統(tǒng)不會出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象而影響隔振效果。此外在激勵力幅值一定時，增大阻尼比能有效抑制共振峰的峰值，并且降低起始隔振頻率。因此選取阻尼比ζ2為0.05。

圖10 不同阻尼比幅頻響應(yīng)與穩(wěn)定性圖Figure 10 Amplitude-frequency response and stability diagram of different damping ratios

4 隔振性能分析

準(zhǔn)零剛度隔振器的非線性剛度與阻尼比分別取1×1012N/m3、0.05時系統(tǒng)的力傳遞率曲線如圖11實線所示，圖11中虛線表示無隔振器系統(tǒng)的力傳遞率。

圖11 不同激勵力幅值條件下系統(tǒng)力傳遞率曲線Figure 11 System force transmission rate curve in different excitation force amplitude conditions

由圖11可知，對于無隔振器的線性系統(tǒng)而言，其力傳遞率與激勵力幅值無關(guān)；而對含準(zhǔn)零剛度隔振器的系統(tǒng)而言，減小激勵力幅值，其力傳遞率響應(yīng)峰值與一階固有頻率均減小。將激勵力幅值控制在較小范圍內(nèi)時，準(zhǔn)零剛度隔振器能夠有效隔離10～200 Hz的振動，并且力傳遞率曲線不再出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。這說明設(shè)計的準(zhǔn)零剛度隔振器具有高承載、低頻隔振性能好的優(yōu)點。

5 結(jié)論

針對船舶推進(jìn)軸系縱向低頻隔振難的問題，將準(zhǔn)零剛度隔振器內(nèi)嵌入船舶的推力軸承。在設(shè)計準(zhǔn)零剛度隔振器時，綜合考慮系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)定性與軸系縱向靜變形的限制，確定了準(zhǔn)零剛度隔振器的具體參數(shù)。通過靜力學(xué)分析獲得了碟簧與螺旋彈簧相應(yīng)的結(jié)構(gòu)與力學(xué)參數(shù)，得出以下結(jié)論：當(dāng)準(zhǔn)零剛度隔振器的非線性剛度與阻尼比分別為1×1012N/m3、0.05時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的解在200 Hz內(nèi)都是穩(wěn)定的；在承受10 000 N載荷時，可以有效隔離10～200 Hz的振動。