趙蒙，王明宇 ，謝連杰 ，王健 ，喬睿

（1. 空軍工程大學 防空反導學院，陜西 西安 710051；2. 中國人民解放軍93792 部隊，河北 廊坊 065000）

0 引言

彈道導彈具有射程遠、速度快、威力大、突防能力強、打擊精度高等特點，已經(jīng)成為現(xiàn)代高科技戰(zhàn)爭中的撒手锏武器。另外，由于彈道導彈彈頭RCS（radar cross section）非常小而且還攜帶有強電磁干擾，一般預警雷達系統(tǒng)難以穩(wěn)定地跟蹤目標，為此，如何獲取相對準確的彈道數(shù)據(jù)是眾多研究者關注的熱點之一［1-5］。目前主要有2 種途徑，一是通過衛(wèi)星、雷達等設備的實測數(shù)據(jù)來擬合、外推彈道目標的彈道軌跡；二是通過數(shù)據(jù)仿真的方法來生成目標彈道軌跡［6-8］。事實上，在戰(zhàn)前幾乎無法通過第1 種手段獲取敵方彈道導彈彈道軌跡數(shù)據(jù)，為此，彈道仿真技術成為分析對手彈道數(shù)據(jù)的首選方法。近些年來，國內(nèi)外學者在彈道仿真方面開展了大量研究工作，但是還有許多方面需要完善。文獻［9-10］根據(jù)彈道目標運動規(guī)律，分別建立了彈道目標動力學方程和運動學方程用于導彈飛行軌跡的預測，但是所建模型中沒有包含彈道導彈主動段模型，文獻［11］根據(jù)彈道導彈性能建立了包含不同飛行階段的彈道模型，但是該方法沒有考慮彈道導彈在主動段的飛行特性。文獻［12］在分析導彈各階段受力情況的基礎上，建立了參數(shù)時變的多級彈道模型，但是該模型只是在導彈速度矢量和位置矢量所決定的平面內(nèi)建立了二維運動模型，無法用于三維空間仿真。文獻［13］在分析常用彈道仿真模型的基礎上，提出了一種基于運動學模型與歷史實測數(shù)據(jù)的彈道仿真方法，但該模型缺乏主動段運動模型、無法實現(xiàn)全彈道的仿真，并且仿真精度還受到測量數(shù)據(jù)的影響。文獻［14］以流體力學原理為基礎，提出了一種適用于彈道實時仿真的低空風切變復合模型，但該模型適用范圍有限，只能應用于近地上空的彈道仿真。文獻［15］依據(jù)彈道導彈不同階段的運動特性建立了六自由度仿真模型，并利用遺傳算法研究了彈道參數(shù)優(yōu)化問題，但是忽略了主動段飛行程序的部分約束條件。此外，這部分文獻中都只是對彈道導彈的主體彈道進行了建模仿真，沒有誘餌等相關伴飛物的模型。

本文在深入分析彈道導彈主動段飛行方案的基礎上，分3 步設計了彈道導彈主動段運動程序，根據(jù)彈道導彈在主動段、自由飛行階段和再入段的受力情況，聯(lián)合主動段飛行程序，構建了包含了攝動力、大氣阻力等因素的彈道導彈全彈道動力學和運動學模型，并對彈道導彈的誘餌釋放過程進行了建模，通過對彈道導彈主體彈道以及4 個誘餌飛行軌跡的仿真分析，得到了有關導彈飛行速度、飛行高度、傾角等參數(shù)隨時間的變化規(guī)律。

1 主動段模型

1.1 主動段飛行程序設計

彈道導彈主動段飛行程序是指導彈主動段俯仰角隨時間變化的規(guī)律，主動段飛行程序的設計是彈道導彈總體設計工作中的重要組成部分，直接影響導彈戰(zhàn)術、技術指標能力的有效發(fā)揮［16-17］。設飛行過程中導彈傾角為φ(t)、彈道俯仰角為φ(t)、導彈攻角為α(t)，三者關系如下：

在主動段由于導彈要穿越稠密大氣層、克服大氣阻力，為了減小空氣動力對彈道的影響，彈道在整個主動段飛行過程中攻角α(t)一般都趨近于0（不大于3°），可忽略不計，所以可認為彈道導彈在主動段飛行過程中其推力方向始終與速度方向一致。主動段不僅要盡快使導彈穿越稠密大氣層以減小阻力帶來的速度損失，還要考慮導彈轉(zhuǎn)彎時的法向過載使導彈具備較高的操縱效率。為了滿足這些要求，彈道導彈主動段飛行程序通常又細分為3 個階段，分別為垂直上升段、程序轉(zhuǎn)彎段、瞄準段，最終使導彈在主動段終點達到理想的彈道傾角φe(t)和速度矢量ve。對于單級導彈，其主動段的飛行程序通常按以下方式設計。

垂直上升段（0 ~ t1）：垂直起飛能夠讓導彈快速穿越稠密大氣層，減小空氣阻力的影響，但是時間t1不宜過大也不能太小，過大不僅容易造成彈道轉(zhuǎn)彎過載增大，而且還會增加重力帶來的速度損失。t1取值過小無法保證導彈推力發(fā)動機在t1時刻達到額定工作狀態(tài)。t1通常是根據(jù)導彈的重推比確定，一般來說導彈的重推比越小，導彈的推力就越大，所以主動段的加速度就越大，導彈就可以在較短時間內(nèi)達到相應的高度，因此垂直上升段時間t1就可適當取小一點。反之導彈的重推比越大，t1的取值應該大一些。在0~t1時間內(nèi)，導彈傾角、彈道俯仰角、攻角分別為

轉(zhuǎn)彎段（t1~t2）：在t1~t2時間段，由于導彈開始按照飛行程序角進入轉(zhuǎn)彎狀態(tài)α(t)≠0，為了減小空氣對導彈轉(zhuǎn)彎的影響，必須控制攻角α(t)的大小。在轉(zhuǎn)彎段飛行程序設計時，通常要依據(jù)導彈的飛行狀態(tài)控制攻角的幅度，在這個階段導彈傾角、攻角由式（3）確定：

瞄準段（t3~ tend）：為了便于彈道導彈在主動段結(jié)束時刻tend處順利實施頭體分離，減小彈頭的落點散布，該段時間中導彈的傾角φ(t)設計為一常值，因此也可稱為常值飛行段。該階段內(nèi)導彈的傾角基本保持不變，即

上述內(nèi)容為彈道導彈主動段飛行程序設計的一般工程實踐方法，對于擔負具體作戰(zhàn)任務的彈道導彈來講，需要根據(jù)具體的作戰(zhàn)需求設計滿足要求的飛行程序。

1.2 導彈受力情況

在導彈的飛行過程中，由于實際的物理現(xiàn)象和過程往往非常復雜，為了便于建立模型，需要對一些過程和變量進行近似等效。建模過程中將導彈的運動視為質(zhì)點運動，導彈在主動段飛行過程中，主要受到推力、地心引力、空氣阻力、升力、柯式慣性力、牽連慣性力、攝動力等，下面對彈道導彈的受力情況進行分析。

在主動段，為了保持導彈的穩(wěn)定性，彈道導彈的攻角非常小，基本是一個重力轉(zhuǎn)彎過程，而發(fā)動機推力的方向始終沿著彈體軸線方向，所以推力加速度方向與導彈的速度方向一致。設導彈的發(fā)動機推力為P，則推力加速度為

空氣阻力的矢量方向始終與導彈速度矢量的方向相反［18］，空氣阻力加速度可以表示為

式中：Cd為阻力系數(shù)，與彈道系數(shù)密切相關；S 為導彈的等效橫截面積；ρ 為大氣密度。

大氣密度ρ 是高度的函數(shù)，可表示為

式 中：h 為 導 彈 距 離地面 的 高 度；ρ0= 1.22 kg/m3；k = 0.141 41 × 10-2m-1。

導彈的瞬時質(zhì)量m(t)與導彈起飛質(zhì)量、燃料消耗率、燃燒時間有關：

式中：m0為導彈起始質(zhì)量；m為發(fā)動機燃料秒消耗量。

地心引力加速度伴隨著導彈的整個飛行過程，由于導彈與地球的距離遠遠小于與其他星球的距離，所以其他星球?qū)椀囊ο鄬τ诘厍驅(qū)椀囊Ψ浅Ｐ?，可忽略不計。設導彈的位置矢量為r，則其重力加速度矢量為

式 中：μ = 3.980 05 × 1014m3/s2為 地 球 引 力 常 數(shù)；為導彈位置矢量r 的大小。

在彈道導彈運動過程中，除受到重力、推力、空氣阻力之外還受到柯式慣性力、牽連慣性力、攝動力的影響。由于柯式慣性力、牽連慣性力對導彈的運動軌跡影響很小，基本可忽略，所以只考慮地球攝動力影響

式中：J2= 1.082 63 × 10-3；re為地球半徑；rx，ry，rz分別為r在各軸的分量。

所以彈道導彈在主動段的加速度向量可表示為

1.3 主動段模型

在地心慣性坐標系下，設彈道發(fā)射時的方位角為θ，忽略導彈的橫向運動，根據(jù)彈道導彈在助推段飛行過程中的受力情況，可得助推段彈道導彈質(zhì)心的運動方程為

2 自由飛行段模型

一般情況下，在彈道導彈的主動段發(fā)動機關機之后，彈道導彈進入自由飛行階段，此時彈道導彈基本已經(jīng)穿過大氣層，近似在真空中飛行，大氣對彈道導彈的阻力幾乎為0，所以在自由飛行段彈道導彈只受到重力和攝動力的影響，因此自由飛行段彈道導彈質(zhì)心的運動方程為

在自由飛行段，彈道導彈的傾角主要是在重力的作用下緩慢變化，在導彈高度上升段逐漸減小，達到彈道最高點時導彈傾角為0。在導彈高度下降段導彈的傾角值為負并且不斷減小。φ(t)具體可由t時刻導彈的位置矢量r和速度矢量v決定，具體為

3 再入段模型

在彈道導彈再次進入大氣層后，彈道導彈主要受到大氣阻力、地心引力和攝動力的影響，彈道導彈的彈頭既有縱向的運動，又有橫向的運動，當橫向運動比較小并被忽略時，在彈頭再入大氣層運動過程中始終認為彈頭在再入大氣層時的速度矢量和再入大氣層時的位置所決定的平面內(nèi)運動。因此，再入段彈道導彈質(zhì)心的運動方程為

該階段的導彈傾角與自由飛行段的導彈傾角計算方法相同。

4 誘餌模型

對于末段非機動彈道導彈來講，主動段結(jié)束后彈道導彈的彈道就基本確定了，這一性質(zhì)極大地影響了其突防能力。為了提高突防能力，在自由飛行段，彈道導彈通常會采取釋放干擾、釋放誘餌等方法來減小敵方雷達對彈頭的識別概率，為此下面對誘餌釋放過程進行建模。

彈道導彈通常攜帶有多枚誘餌，主動段結(jié)束后達到一定的飛行高度后，在導彈母艙的自旋轉(zhuǎn)作用下實現(xiàn)與彈體的分離，分離后的誘餌在慣性作用下分布在彈頭的周圍，伴隨彈頭飛行直至落地，以此提高彈頭的突防能力。假設導彈彈體在主動段結(jié)束時刻以固定的角速度旋轉(zhuǎn)，誘餌釋放過程是瞬間完成對彈體的運動狀態(tài)不造成任何影響，并且導彈的縱軸方向與速度的矢量方向始終保持一致。

設彈道導彈在主動段結(jié)束后以角速度ω繞彈體縱軸逆時針旋轉(zhuǎn)，為了在誘餌釋放過程中保持彈體運動狀態(tài)的穩(wěn)定性，誘餌都是對稱地安裝在導彈母艙兩側(cè)，并且是成對釋放。在彈道坐標系中，定義彈道坐標系的Ozd軸與彈道縱軸重合，設誘餌釋放時刻誘餌的方位角為Ω，則釋放時刻誘餌在Oxd，Oyd構成的平面內(nèi)的切向速度大小為

式中：rd為彈體母艙的半徑。

將速度v1沿Oxd，Oyd進行分解，即可得到誘餌在彈道坐標系下的速度：

式中：v為釋放誘餌時刻彈道導彈在彈道坐標系下的速度。

誘餌在彈道坐標系下釋放示意圖如圖1 所示。

圖1 誘餌釋放示意圖Fig. 1 Figure caption

現(xiàn)在得到了誘餌在彈道坐標系下的速度，為了便于仿真計算，還需要把誘餌的速度轉(zhuǎn)換到地心慣性坐標系下。這里可以分2 步進行，首先將誘餌在彈道坐標系下的速度轉(zhuǎn)換到地平坐標系內(nèi)，然后再轉(zhuǎn)換到地心慣性坐標系中。在地平坐標系下誘餌的速度為

式中：C1為彈道坐標系到地平坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣；φ為導彈的傾角。

將誘餌釋放時刻彈道導彈在地心慣性坐標系下的位置矢量rs轉(zhuǎn)換為地理坐標(L，B，H)，其中L為經(jīng)度、B為緯度、H為導彈的海拔高度，繼而可得到誘餌在地心慣性坐標系下的速度矢量為

式中：C2為地平坐標系到地心慣性坐標系轉(zhuǎn)換矩陣。在分離后的誘餌在地心引力作用下分布在彈頭的周圍，伴隨彈頭自由飛行直至落地，根據(jù)誘餌的位置矢量ry=rs、速度矢量vy，聯(lián)立彈道導彈自由飛行段、再入段運動方程可得到誘餌的全部飛行軌跡。

5 仿真驗證

5.1 仿真參數(shù)

以射程3 000 km 左右、兩級火箭發(fā)動機的彈道導彈為例，在地心慣性坐標系下對模型的有效性進行仿真驗證，設彈道導彈的發(fā)射點坐標為（-323 637，-5 144 076，3 744 779），地理坐標為東經(jīng)86.40°、北緯36.06°，攜帶誘餌數(shù)量為4 個，編號分別為誘餌1、誘餌2、誘餌3、誘餌4，如圖1 所示。彈道導彈的具體參數(shù)設置見表1。

表1 仿真參數(shù)表Table 1 Simulation parameters

5.2 主動段飛行程序

按照彈道導彈主動段飛行程序設計，主動段的飛行程序主要是導彈飛行傾角隨時間的變化規(guī)律。多級火箭助推的彈道導彈其轉(zhuǎn)彎段主要由一級火箭實現(xiàn)，主要原因是在該階段內(nèi)導彈的飛行速度相對較小，有利于實現(xiàn)快速轉(zhuǎn)彎。根據(jù)彈道導彈的相關參數(shù)，設置主動段的垂直上升時間t1= 15 s，轉(zhuǎn)彎時間t2= 40 s，瞄準段時間t3= 10 s + 2 s + 50 s。其中2 s 是一級火箭與二級火箭助推器級間分離時間，50 s 是二級火箭燃燒時間，主動段飛行程序如圖2所示。由圖2 可見，所設計的飛行程序在彈道導彈垂直起飛段結(jié)束后開始執(zhí)行程序轉(zhuǎn)彎，轉(zhuǎn)彎開始時導彈的速度較小，此時彈道以較大的角速度進行轉(zhuǎn)彎，實現(xiàn)導彈的快速轉(zhuǎn)彎。到轉(zhuǎn)彎后期隨著導彈速度的不斷增大，轉(zhuǎn)彎的角速度逐漸減小，導彈進入緩慢轉(zhuǎn)彎狀態(tài)，達到了轉(zhuǎn)彎過程中保持導彈運動穩(wěn)定性的要求。

圖2 主動段飛行程序設計Fig. 2 Flight program design of active phase

5.3 仿真結(jié)果

根據(jù)彈道導彈在各階段的運動方程，使用四階Runge-Kutta 積分解算彈道方程，根據(jù)計算得到彈道導彈的落點坐標為（-867 878，-2 935 684，5 587 847），地理坐標為東經(jīng)73.53°、北緯61.41°，射程為2 954 km，總飛行時間為1 222 s，彈道最大高度為1 058 km，到達彈道最高點的時間為648 s。

圖3 為彈道導彈主體彈道在各個飛行階段的飛行軌跡。根據(jù)圖3 可見，彈道導彈的主動段和再入段在整個彈道導彈飛行過程中占比很小，大部分時間彈道導彈都處于自由飛行段，在1 222 s 的飛行過程中主動段飛行時間只有117 s，基本只占整個彈道的1/10。圖4 是導彈彈頭、兩級助推器以及4 個誘餌在地心慣性坐標系下的運動軌跡，其中一級助推器相對于二級助推器飛行過程很短，這主要是因為一級助推器分離時速度和高度相對較??；4個誘餌則分布在彈頭周圍，一直伴隨著彈頭飛行至落地。

圖3 主體彈道飛行軌跡Fig. 3 Main body trajectory

圖4 彈頭、助推器、誘餌的飛行軌跡Fig. 4 Trajectory of warheads，boosters and decoy

圖5 是彈頭、兩級助推器以及4 個誘餌飛行高度隨時間的變化曲線，由圖可見，在主動段導彈的高度隨時間變化比較緩慢，并且能夠清楚地獲得彈道最高點高度和到達彈道最高點的飛行時間。一級、二級助推器在高度上和彈頭區(qū)別比較明顯，4個誘餌飛行高度與彈頭高度相差沒有明顯區(qū)別。圖6 是誘餌與彈頭之間飛行高度差隨時間的變化曲線，可見隨著時間的增大，誘餌與彈頭之間的高度差越來越大，最大距離達到38 km 左右。圖7 是誘餌與彈頭之間的距離隨時間的變化曲線，隨著飛行時間的增大，彈頭與誘餌之間的距離也在逐漸增大，這主要是因為彈頭與誘餌的大氣阻力不同造成的。

圖5 彈頭、助推器、誘餌飛行高度隨時間變化曲線Fig. 5 Variation curve of flight altitude with time

圖6 誘餌與彈頭之間飛行高度差隨時間變化曲線Fig. 6 Variation curve of flight altitude between decoy and warhead with time

圖7 誘餌與彈頭之間的距離隨時間變化曲線Fig. 7 Variation curve of distance between decoy and warhead with time

圖8 是彈頭、助推器、誘餌飛行速度隨時間的變化曲線。根據(jù)彈頭速度的變化情況可明顯看出，主動段結(jié)束時刻以及彈道導彈進入大氣層的再入時刻，通過導彈運動速度變化規(guī)律能夠清楚地判斷出彈頭和助推器的運動階段，可容易識別彈頭和助推器。然而誘餌的速度與彈頭的速度幾乎沒有大的差異，不容易區(qū)分。圖6 中藍色曲線是二級助推器的飛行軌跡，如果不考慮彈道系數(shù)和大氣阻力對其的影響，二級助推器應該和彈頭飛行速度相同，但實際上二級火箭與彈頭分離之前兩者之間有一定的相對速度差，另外由于助推器的橫截面積大于彈頭的，相對而言助推器受到的大氣阻力更大，所以在兩者分離之后且未到達彈道最高點時刻，二級助推器速度減速比彈頭的要明顯。

圖8 彈頭、助推器、誘餌飛行速度隨時間變化曲線Fig. 8 Variation curve of flight speed with time

圖9 是兩級助推器的推力加速度變化曲線，一級發(fā)動機點火后其推力加速度大約為2g，隨著彈道燃料的消耗，一級助推器關機時刻推力加速度達到6g左右。二級發(fā)動機點火后其推力加速度大約為4g，到主動段結(jié)束時刻推力加速達到13.5g。圖10 是彈道導彈飛行全程導彈傾角隨時間的變化曲線，導彈在主動段結(jié)束后的自由飛行段彈道傾角逐漸緩慢地減小，在達到彈道最高點的時刻導彈傾角為0°，而后繼續(xù)減小，到達再入點后由于受到大氣阻力的影響增大，彈道傾角變化速度加劇，落地時刻彈道傾角達到72°左右，所以通過彈道傾角的變化規(guī)律也能夠快速判斷彈道的運動階段。

圖9 助推器推力加速度隨時間變化曲線Fig. 9 Thrust acceleration curve of booster with time

圖10 導彈傾角隨時間變化曲線Fig. 10 Missile inclination curve with time

6 結(jié)束語

彈道導彈彈道仿真技術是開展彈道導彈防御系統(tǒng)模擬對抗的關鍵技術之一，彈道導彈彈頭的跟蹤識別是彈道導彈防御體系的核心環(huán)節(jié)，在無法有效獲取敵方彈道目標運動軌跡數(shù)據(jù)之前，提前研究彈道導彈的飛行軌跡和運動規(guī)律、特點，將更有利于開展彈道導彈跟蹤和識別。本文針對部分文獻的不足，在設計彈道導彈主動段飛行程序的基礎上，根據(jù)彈道導彈在不同運動階段的受力情況，充分考慮大氣阻力、攝動力等因素，構建了包含主動段、自由飛行段、再入段的全彈道運動模型，通過仿真計算得到了彈道導彈的彈道高點、射程、最大速度、飛行時間、落點位置等關鍵彈道參數(shù)，分析了整個飛行過程中彈道導彈飛行高度、速度、傾角、加速度等隨時間的變化規(guī)律，仿真結(jié)果能夠全面準確地反映彈道導彈在不同運動階段的運動特點和運動規(guī)律。仿真結(jié)果和結(jié)論可為彈道導彈彈道設計、目標識別等相關技術人員提供一定的參考和借鑒。