劉睿佳 _ 北京市第九中學(xué)分校

新定義問(wèn)題常與動(dòng)態(tài)問(wèn)題一起呈現(xiàn)，有很強(qiáng)的綜合性，需要學(xué)生具備將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為老問(wèn)題的意識(shí)。本節(jié)課結(jié)合學(xué)情設(shè)計(jì)了一堂與圓相關(guān)的新定義探究課，重在方法教學(xué)。從閱讀定義、勾畫關(guān)鍵詞、關(guān)注數(shù)學(xué)概念到舉例，再到找符合定義的全集；從理解定義的內(nèi)涵到定義外延的界定，加深對(duì)定義內(nèi)涵的理解，逐步揭示本質(zhì)。教學(xué)過(guò)程中滲透多角度看問(wèn)題意識(shí)、轉(zhuǎn)化思想等，整堂課不是為了解決某一道題，而是在解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)問(wèn)題串幫助學(xué)生逐步形成研究問(wèn)題的思考方式、解決問(wèn)題的思路，教學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

教學(xué)目標(biāo)

在理解、解決與圓相關(guān)新定義問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)會(huì)將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化成老問(wèn)題，進(jìn)而形成理解、解決新定義問(wèn)題的思路與方法；在理解定義的過(guò)程中，培養(yǎng)閱讀、提取、加工信息的能力，培養(yǎng)從多角度看問(wèn)題的意識(shí)，體會(huì)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升幾何直觀素養(yǎng)；培養(yǎng)獨(dú)立探索、合作交流的習(xí)慣，培育嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)一：理解定義

教師提問(wèn)：面對(duì)一個(gè)新定義問(wèn)題，在你的經(jīng)驗(yàn)中你認(rèn)為首先要做什么？怎么理解定義？怎樣理解跟圓有關(guān)的新定義問(wèn)題？

教師出示“新定義”——對(duì)于平面直角坐標(biāo)系x0y中的⊙0和圖形N，給出如下定義：如果⊙0平移m個(gè)單位后得到⊙0′，圖形N上的所有點(diǎn)在⊙0′內(nèi)或⊙0′上，則稱m的最小值為⊙0對(duì)圖形N的“覆蓋近距”。

教師提問(wèn)：請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)你理解的定義。研究對(duì)象是什么？能確定什么，不能確定什么？在我們的經(jīng)驗(yàn)中遇到兩個(gè)都變的問(wèn)題怎么處理？平移要關(guān)注什么？怎么蓋住圖形N？平移的最小值m最小是多少？

設(shè)計(jì)意圖：關(guān)注關(guān)鍵詞，關(guān)注數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)定義；通過(guò)追問(wèn)，回顧已有經(jīng)驗(yàn)；幫學(xué)生明確研究對(duì)象，學(xué)會(huì)研究幾何問(wèn)題的一般思路，進(jìn)一步理解定義。

提問(wèn)：圖形N是什么？預(yù)設(shè)：舉例，當(dāng)⊙0的半徑為2時(shí)，最簡(jiǎn)單的圖形N是點(diǎn)，如點(diǎn)A（3，0），如圖1所示，求⊙0對(duì)點(diǎn)A的“覆蓋近距”。

提問(wèn)：請(qǐng)你畫出⊙0′。有不同想法嗎？預(yù)設(shè)：移動(dòng)圓，看圓心定移動(dòng)的方向、距離；從圓上點(diǎn)與點(diǎn)A的最小距離角度看問(wèn)題，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成老問(wèn)題——圓外一點(diǎn)與圓上點(diǎn)的最小距離；移動(dòng)點(diǎn)A，引發(fā)逆向思維，也是新定義題?？疾斓囊环N思維方式。

提問(wèn)：能不能將上面的問(wèn)題變一變？預(yù)設(shè)：條件結(jié)論互換。

提問(wèn)：0′的位置能確定嗎？預(yù)設(shè)：在圓外點(diǎn)A與圓心0定的對(duì)稱軸上，如圖2所示。

設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)對(duì)稱軸對(duì)定圓心的重要性及平移的方向。

提問(wèn)：能寫出所有滿足條件的點(diǎn)A嗎？預(yù)設(shè)：以0為圓心、半徑為3的圓，如圖3所示。

設(shè)計(jì)意圖：了解研究問(wèn)題從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、特殊到一般的思路；知二求一，雙向理解定義；找全集的過(guò)程中加深對(duì)定義本質(zhì)的理解，也為后續(xù)找全集作鋪墊。

提問(wèn)：當(dāng)⊙0的半徑為2時(shí)，圖形N還可以是什么樣的？預(yù)設(shè)：直線不行，是線段。

提問(wèn)：請(qǐng)你給出一條線段，當(dāng)⊙0的半徑為2時(shí)，求⊙0對(duì)線段的“覆蓋近距”及0′的位置。預(yù)設(shè)：長(zhǎng)度不能大于直徑，由于圓有旋轉(zhuǎn)不變性，各線段可以轉(zhuǎn)到豎直放置的樣子，所以只研究豎直放置的線段就可以，如給出線段AB=1，A(3，0)，B(3，1)，如圖4所示。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題串回顧圓的特有屬性。

提問(wèn)：在上一問(wèn)中，點(diǎn)A被覆蓋了嗎？預(yù)設(shè)：能。

問(wèn)題：AB=1，A(3，-0.4)，B(3，0.6)，求m的最小值，此時(shí)點(diǎn)A被覆蓋了嗎？預(yù)設(shè)：不能。

設(shè)計(jì)意圖：引發(fā)沖突，反思上面的問(wèn)題，對(duì)移動(dòng)的方向產(chǎn)生質(zhì)疑。

提問(wèn)：怎么移動(dòng)才能覆蓋線段AB？是最小的移動(dòng)距離嗎？

設(shè)計(jì)意圖：產(chǎn)生新的移動(dòng)方向，再次產(chǎn)生沖突，并質(zhì)疑前面問(wèn)題的結(jié)果，反思回顧定義及上面的解題過(guò)程，最小是比較后才有的最小，而到此并未比較，思考會(huì)不會(huì)有其他移動(dòng)方向，因而產(chǎn)生更小的移動(dòng)距離。

提問(wèn)：先解決覆蓋線段AB，能找到0′的位置嗎？

設(shè)計(jì)意圖：退回到定義，進(jìn)一步理解定義中的最小距離應(yīng)是剛剛蓋上的最小距離，因此找0′位置的全集，如圖5所示，在此基礎(chǔ)上，找到以線段AB上任一點(diǎn)為移動(dòng)方向的0′的運(yùn)動(dòng)軌跡；將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)與圓外一定點(diǎn)最值問(wèn)題，即找0′的運(yùn)動(dòng)軌跡中最小距離位置，如圖6、7所示。通過(guò)定義外延的界定加深對(duì)定義內(nèi)涵的理解，揭示本質(zhì)。

提問(wèn)：讓線段AB動(dòng)起來(lái)，AB=1，沿x=3移動(dòng)，求⊙0對(duì)AB的“覆蓋近距”的最小值，并求此時(shí)A、B點(diǎn)的位置。預(yù)設(shè)：B(3，0.5)，如圖8所示。

設(shè)計(jì)意圖：關(guān)注圓的屬性，圓與線段的對(duì)稱軸重合。

環(huán)節(jié)二：應(yīng)用定義

提問(wèn)：當(dāng)⊙0的半徑為2時(shí)，圖形N還可以是什么樣的？預(yù)設(shè)：圓或其他圖形。

設(shè)計(jì)意圖：這樣的設(shè)計(jì)符合本節(jié)研究點(diǎn)與圓、線與圓、圓與圓的研究思路，也符合研究幾何問(wèn)題的研究過(guò)程。

提問(wèn)：當(dāng)⊙0的半徑為2時(shí)，D（3，t），E（4，t+1），且-1≤t≤2，記⊙0對(duì)以DE為對(duì)角線的正方形的“覆蓋近距”為d，寫出d的取值范圍。

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用本節(jié)所學(xué)，將問(wèn)題進(jìn)行拆解——將圖形拆解成線段，同時(shí)學(xué)會(huì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓或線與圓的問(wèn)題。

環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)

通過(guò)例子理解定義是什么、還是什么、不是什么，不斷加深對(duì)定義的理解，再按由點(diǎn)到線再到形的探究過(guò)程，不斷用舉例來(lái)界定定義的外延，同時(shí)還要關(guān)注背景圖形的特性。

劉永江老師點(diǎn)評(píng)

解題教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識(shí)地在“教如何解題”的同時(shí)，把“反思解題思維過(guò)程”也當(dāng)作解題教學(xué)的重要內(nèi)容，通過(guò)問(wèn)題引發(fā)學(xué)生思考，回顧解題過(guò)程，進(jìn)而揭示問(wèn)題的本質(zhì)，對(duì)學(xué)生的直覺(jué)加以有意識(shí)的影響，誘發(fā)理性思考，把“思路從何而來(lái)”的反思作為數(shù)學(xué)解題教與學(xué)的核心，即數(shù)學(xué)解題重“溯源”。本節(jié)課尊重學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)及認(rèn)知規(guī)律，問(wèn)題設(shè)計(jì)的內(nèi)在邏輯關(guān)系、結(jié)構(gòu)層次清晰，通過(guò)問(wèn)題串幫助學(xué)生逐步養(yǎng)成研究問(wèn)題的思考方式，形成解決問(wèn)題的思路；同時(shí)，也通過(guò)問(wèn)題串引發(fā)學(xué)生思考，回顧已有的及課堂形成的解題思維過(guò)程，即有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生有理有據(jù)地回顧解題思路的生成之道，原汁原味地還原教師和學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生體悟由無(wú)到有的生成過(guò)程，尤其是其中的試誤過(guò)程, 進(jìn)而深化對(duì)定義的理解，感悟解題的過(guò)程，教學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。在這樣的探索與實(shí)踐中，提升學(xué)生的綜合能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、理性、富于創(chuàng)新的科學(xué)精神，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題的教育價(jià)值。