王建敏，畢祥鑫，黃佳鵬

BDS精密鐘差短期預(yù)報

王建敏，畢祥鑫，黃佳鵬

（遼寧工程技術(shù)大學 測繪與地理科學學院，遼寧 阜新 123000）

針對傳統(tǒng)單一預(yù)報模型在鐘差預(yù)報中誤差積累隨時間的增加而增大問題，提出一種灰度模型GM（1,1）與長短時記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（LSTM）的組合模型：采用武漢大學國際全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)服務(wù)組織（IGS）數(shù)據(jù)中心下載的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BDS）3種軌道不同衛(wèi)星連續(xù)2 d的精密鐘差數(shù)據(jù)進行建模，首先用GM（1,1）模型進行預(yù)報，然后將GM（1,1）模型的殘差利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進行再次預(yù)報；將2種模型的預(yù)報結(jié)果進行重構(gòu)，得到最終的預(yù)報結(jié)果。實驗結(jié)果表明：GM（1,1）/LSTM組合模型與單一GM（1,1）模型相比，精度提高了60%～89%；GM（1,1）/LSTM組合模型與單一LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，精度提升了30%～88%。

鐘差預(yù)報；灰度模型（GM（1,1））；長短時記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（LSTM）；組合模型

0 引言

自2000年10月31日至今，我國獨立研發(fā)的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BeiDou navigation satellite system，BDS）已經(jīng)成功發(fā)射共55顆3種不同軌道的衛(wèi)星，將全天候的實時定位導(dǎo)航信息提供給各自的服務(wù)對象和地區(qū)[1]。目前為止，世界上已經(jīng)有4個國家和地區(qū)建立了自己的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system, GNSS），分別是美國的全球定位系統(tǒng)（global positioning system,GPS），歐盟的伽利略衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（Galileo navigation satellite system, Galileo），俄羅斯的格洛納斯衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system, GLONASS）以及中國的BDS[2-3]。鐘差是影響衛(wèi)星定位的重要因素之一，因此，提升鐘差預(yù)報的準確性是廣大學者研究的重點和難點。

常見的鐘差預(yù)報模型有二次項模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、自回歸模型、卡爾曼濾波模型等[3-6]。為了得到高精密的預(yù)報衛(wèi)星鐘差，大量的學者對鐘差預(yù)報的模型進行了研究。許多學者在鐘差預(yù)報方面取得到豐碩的成果。文獻[7]將灰度模型（gray model，GM（1, 1））與修正指數(shù)曲線模型（modified exponential curve method, MECM）進行組合，削弱了殘差中的誤差，使其精度比傳統(tǒng)模型的精度有了大幅度提高。文獻[8]采用經(jīng)典定權(quán)的方法將GM(1, 1)和自回歸模型（adaptive resonance, AR）模型進行線性組合，并且對北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BeiDou-3 navigation satellite system, BDS-3）進行預(yù)報，將鐘差數(shù)據(jù)短期預(yù)報的精度提升大約9%～20%。文獻[9]通過求和自回歸平均模型（autoregressive integrated moving average, ARIMA）對鐘差數(shù)據(jù)進行短期預(yù)報，預(yù)報結(jié)果的精度有了一定的提升。文獻[10]通過粒子群算法來選取灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)的權(quán)值和閾值，提升灰色神精網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)報的精度。文獻[11]通過自適應(yīng)共振理論（adaptive resonance theory, ART）來構(gòu)造極端學習機（extreme learning machine, ELM），將ART的聚類體征應(yīng)用到ELM中，增加極端學習機對鐘差預(yù)報的準確性。以上的方法在一定程度上都對鐘差預(yù)報模型進行了優(yōu)化和改進，但是仍存在預(yù)報模型在精密鐘差預(yù)報過程中殘差的累積，且預(yù)報模型在改進的過程中使模型逐漸復(fù)雜化，建模的時間增長。

由于GM（1，1）模型具有建模速度快、模型簡單等優(yōu)點，使模型能更好地實現(xiàn)優(yōu)化以及和其他模型進行組合[12-14]。因此，本文在諸多學者研究的基礎(chǔ)上提出一種基于擬合殘差法的GM（1,1）灰度模型與長短時記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（long-short term mermory network，LSTM）的組合模型。本文采用BDS 3種不同軌道上各2顆衛(wèi)星的精密鐘差數(shù)據(jù)進行實驗，通過對比驗證組合模型的有效性和可行性。

1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

一般情況下，衛(wèi)星鐘差的初始數(shù)據(jù)隸屬于相位數(shù)據(jù)，而粗差通常隱藏在鐘差數(shù)據(jù)中且不容易被探測出來，但是在頻率數(shù)據(jù)集中會被放大[15-16]；因此需要對鐘差數(shù)據(jù)先進行處理。由于粗差探測需要在相位數(shù)據(jù)所對應(yīng)的頻率下進行，因此需要先求出對應(yīng)相位的頻率。衛(wèi)星鐘差相位數(shù)據(jù)和頻率數(shù)據(jù)的對應(yīng)關(guān)系為

式中：為第i個歷元所對應(yīng)的相位數(shù)據(jù)；為i+1歷元所對應(yīng)的相位數(shù)據(jù)；為第i個歷元所對應(yīng)的相位數(shù)據(jù)的頻率；為相鄰歷元的采樣間隔。為了對比不同衛(wèi)星數(shù)據(jù)的差異，在BDS的3種軌道上各選1顆衛(wèi)星作為結(jié)果進行展示。實驗的數(shù)據(jù)為采樣時間間隔為5 min的2021-11-11—2021-11-12的鐘差數(shù)據(jù)。選取C02衛(wèi)星、C08衛(wèi)星、C14衛(wèi)星作為實驗所用衛(wèi)星。實驗衛(wèi)星對應(yīng)的相位數(shù)據(jù)和頻率數(shù)據(jù)如圖1～圖3所示。

圖2 C08衛(wèi)星數(shù)據(jù)

圖3 C14衛(wèi)星數(shù)據(jù)

從圖1～圖3中可知：在原始相位數(shù)據(jù)中，衛(wèi)星的鐘差序列為線性序列，在這段時間內(nèi)沒有顯著的跳變誤差；而在原始頻率數(shù)據(jù)中，頻率數(shù)據(jù)的平滑性差并且有極值出現(xiàn)。為了預(yù)報結(jié)果的準確性，需要對原始數(shù)據(jù)進行粗差剔除。

采用中位數(shù)粗差探測法對原始數(shù)進行粗差檢測，其公式如下：

由式（2）、式（3）可知，頻率數(shù)據(jù)和序列中位數(shù)的倍與中位數(shù)的和比較，當頻率的數(shù)據(jù)小時，為正常數(shù)據(jù)，反之則為粗差數(shù)據(jù)。將粗差數(shù)據(jù)剔除，通過線性內(nèi)插將數(shù)據(jù)補齊，可得到最終的數(shù)據(jù)[17-18]。改正后的頻率數(shù)據(jù)如圖4～圖6所示。

圖4 C02衛(wèi)星處理后的頻率數(shù)據(jù)

圖5 C08衛(wèi)星處理后的頻率數(shù)據(jù)

圖6 C14衛(wèi)星處理后的頻率數(shù)據(jù)

2 鐘差預(yù)報模型

2.1 GM(1,1)模型的建立

灰色模型對于信息不完整、數(shù)據(jù)量少、雜亂的時間序列進行建模與分析，能夠揭示因素的未來變化趨勢。一階微分灰色預(yù)報模型將序列建成微分、差分、近似指數(shù)律兼容的模型[19]。GM(1,1)的計算方法如下：

其中

式中：為發(fā)展系數(shù)；為灰作用量。

4）離散化的矩陣方程為

5）利用最小二乘求解，可得

6）將式（9）帶入式（7）可得到白化方程的解為

式中e為自然常數(shù)。因為模型追求規(guī)律性，鐘差數(shù)據(jù)無法從中提取出來，所以要對其進行遞減還原處理，以得到原數(shù)據(jù)，其表達式為：

2.2 LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建立

近幾年來，在衛(wèi)星鐘差預(yù)報中廣泛應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，而傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不會關(guān)注前一個時刻的處理會有什么信息能夠應(yīng)用于下一時刻，每一次都是只關(guān)注當前時刻的處理，因此在應(yīng)用方面會有一些局限性，遞回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（recurrent neural networks，RNNs）可以很好地解決這個問題，它帶有一個指向自身的環(huán)，用來表示有哪些前一時刻處理的信息可以應(yīng)用于下一時刻。但是在數(shù)據(jù)量大的情況下，RNNs容易出現(xiàn)梯度消失的問題，以至于無法進行長期學習。而LSTM因為有眾多參數(shù)，可以避免梯度消失的問題[20]，從而能夠進行長時間的學習。

LSTM的簡單流程如圖7所示。

圖7 LSTM流程示意

圖8 LSTM單元內(nèi)部結(jié)構(gòu)

2.3 組合模型

由于GM（1,1）模型和LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)都存在著誤差累積的現(xiàn)象，為了使預(yù)報效果更加準確，本文提出一種基于擬合殘差法的GM（1,1）模型與LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型組合的BDS衛(wèi)星鐘差預(yù)報的方法。該方法將GM（1,1）模型的殘差序列利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行建模預(yù)報，能夠降低預(yù)報模型的誤差累積，提升模型對精密鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報的準確性。組合模型的預(yù)報基本流程如圖9所示。圖中MAD表示頻率序列偏差的絕對值中位數(shù)（median of absolute value）。

3 實驗與結(jié)果分析

3.1 數(shù)據(jù)來源

為了對比GM（1, 1）模型、LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和GM（1, 1）/LSTM組合模型對衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報的效果，本次實驗采用從由武漢大學國際GNSS服務(wù)數(shù)據(jù)中心（International GNSS Service，IGS）下載的2021-11-11—2021-11-12共2 d鐘差數(shù)據(jù)作為對比實驗的建模數(shù)據(jù)。為了避免實驗的偶然性，在BDS衛(wèi)星3種軌道上各隨機選取2顆衛(wèi)星作為進行鐘差預(yù)報實驗的衛(wèi)星，分別為：地球靜止軌道（geostationary orbit，GEO）衛(wèi)星C02、C03；中圓地球軌道（medium Earth orbit，MEO）衛(wèi)星C12、C14；傾斜地球同步軌道（inclined geo-synchronization orbit，IGSO）衛(wèi)星C08、C16。

圖9 組合模型預(yù)報流程

3.2 方案設(shè)計

1）方案一：對C02、C03衛(wèi)星分別選用GM（1,1）模型、LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和GM（1,1）/LSTM模型，用24 h的鐘差數(shù)據(jù)進行建模，來預(yù)測未來6、12、18和24 h的鐘差數(shù)據(jù)。

2）方案二：對C12、C14衛(wèi)星分別選用GM（1,1）模型、LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和GM（1,1）/LSTM模型，用24 h的鐘差數(shù)據(jù)進行建模，來預(yù)測未來6、12、18和24 h的鐘差數(shù)據(jù)。

3）方案三：對C08、C16衛(wèi)星分別采用GM（1,1）模型、LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和GM（1,1）/LSTM模型，用24 h的鐘差數(shù)據(jù)進行建模，來預(yù)測未來6、12、18和24 h的鐘差數(shù)據(jù)。

3.3 結(jié)果分析

表1 精密衛(wèi)星鐘差預(yù)報結(jié)果

圖11 C14衛(wèi)星預(yù)報6、12、18、24 h的預(yù)報誤差

結(jié)合圖10～圖12和表1可知：

1）以11月11日24 h的數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，分別對11月12日6、12、18和24 h的鐘差數(shù)據(jù)進行預(yù)報：GM（1，1）模型的預(yù)報平均誤差分別為0.98、2.26、4.13、6.71 ns；LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的平均預(yù)報誤差分別是0.47、1.30、2.49、3.84 ns；GM（1,1）/LSTM組合模型的預(yù)報平均誤差分別為0.13、0.49、1.15、3.00 ns。無論是單一預(yù)報模型還是組合預(yù)報模型，其預(yù)報精度都會隨著數(shù)據(jù)的歷元增加而增大。GM（1,1）/LSTM模型預(yù)報結(jié)果除了在C03衛(wèi)星的預(yù)報誤差超過1 ns，其余預(yù)報誤差均在1 ns以內(nèi)，最小的為0.005 ns，平均精度達到亞納秒級。

2）通過對比3個模型發(fā)現(xiàn)，不同模型對BDS精密鐘差的預(yù)報效果是不同的，而同種模型在不同的軌道、不同的衛(wèi)星也有差異。具體而言，C03衛(wèi)星是3種模型預(yù)報效果都不理想的衛(wèi)星；C16衛(wèi)星的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測效果不如GM（1,1）模型；C16衛(wèi)星是GM（1,1）模型和GM（1,1）/ LSTM模型預(yù)測效果最好的衛(wèi)星；C12衛(wèi)星是LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)報效果最好的衛(wèi)星。故可以推測，同種預(yù)報模型的預(yù)報精度會因不同軌道衛(wèi)星中可能存在影響模型的因素而受到影響。

3）通過對比3種衛(wèi)星軌道發(fā)現(xiàn)，對于不同的軌道衛(wèi)星，鐘差模型的預(yù)報效果存在差異。具體而言，以C08衛(wèi)星和C16衛(wèi)星為代表的IGSO軌道衛(wèi)星是3種預(yù)報模型中效果最好的；以C12衛(wèi)星和C14衛(wèi)星為代表的MEO軌道衛(wèi)星的鐘差預(yù)報模型預(yù)報效果次之；以C02衛(wèi)星和C03衛(wèi)星為代表的GEO軌道衛(wèi)星的鐘差預(yù)報模型預(yù)報效果最不理想。故可以推測出同種軌道對不同的預(yù)報模型的影響是有差異的，可以根據(jù)軌道對衛(wèi)星鐘差預(yù)報模型的影響來選取更為適合的精密鐘差預(yù)報模型。

4 結(jié)束語

針對單一預(yù)報模型在BDS精密衛(wèi)星預(yù)報中存在著誤差累積的問題，提出了一種基于擬合殘差法的GM（1,1）/LSTM組合模型，可以降低預(yù)報模型的誤差累積。實驗結(jié)果顯示組合模型的精度高于單一模型，具體為：

1）以C02、C03衛(wèi)星為代表的GEO衛(wèi)星，GM（1,1）/LSTM組合模型的預(yù)報精度高于GM（1,1）模型和LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。在不同時間段，與GM（1,1）模型精度相比分別提高了88.2%、79%、70%、61.2%；與LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型精度相比，分別提高了72.3%%、62.5%、48.9%、30.1%。

2）以C12、C14衛(wèi)星為代表的MEO衛(wèi)星，GM（1,1）/LSTM組合模型的預(yù)報精度高于GM（1,1）模型和LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。在不同時間段，與GM（1,1）模型精度相比分別提高了72.7%、65.9%、83.3%、67.5%；與LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型精度相比，分別提高了48.6%、41.6%、47%、47.5%。

3）以C08、C16衛(wèi)星為代表的IGSO衛(wèi)星，GM（1,1）/LSTM組合模型的預(yù)報精度高于GM（1,1）模型和LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。在不同時間段，與GM（1,1）模型精度相比分別提高了85.9%、89.6%、87.9%、76.1%；與LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型精度相比，分別提高了85.2%、87.3%、86.3%、74.2%。

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Short-term forecast of precision clock difference for BDS

WANG Jianmin, BI Xiangxin, HUANG Jiapeng

（School of Geomatics, Liaoning Technical University, Fuxin, Liaoning 123000, China）

Aiming at the problem that the accumulation of errors increases with the increase of time for the traditional single forecast model during the clock error prediction, the paper proposed a combination model of gray model GM(1,1) and long-short term mermory network (LSTM): the precision clock difference data of two consecutive days from three different satellite orbits of BeiDou navigation satellite system (BDS) downloaded by IGS (International Global Navigation Satellite Systems Service) Data Center at Wuhan University were modelled, GM(1,1) model was used to forecast firstly, and then the residual of GM(1,1) model was forecast again by LSTM neural network model; the forecast results by two models were reconstructed to obtain the final forecast results. Experimental result showed that the accuracy of GM(1,1)/LSTM combined model would be 60%～89% higher than that of single GM(1,1) model, and be 30%～88% higher than that of single LSTM neural network model.

clock error prediction; gray model (GM(1,1)); long-short term memory network (LSTM); combined model

P228

A

2095-4999(2023)01-0030-09

王建敏，畢祥鑫，黃佳鵬. BDS精密鐘差短期預(yù)報[J]. 導(dǎo)航定位學報, 2023, 11(1): 30-38.（WANG Jianmin, BI Xiangxin, HUANG Jiapeng. Short-term forecast of precision clock difference for BDS[J]. Journal of Navigation and Positioning, 2023, 11(1): 30-38.）DOI:10.16547/j.cnki.10-1096.20230105.

2022-05-09

國家自然科學基金項目（41474020）。

王建敏（1973—），男，甘肅酒泉人，碩士，副教授，研究方向為空間大地測量數(shù)據(jù)處理和變形監(jiān)測。

畢祥鑫（1997—），男，內(nèi)蒙古赤峰人，碩士研究生，研究方向為GNSS數(shù)據(jù)處理。