王丹瑤，秦紅磊，王元琳

利用LEO衛(wèi)星的最小誤差矢量合成定位算法

王丹瑤，秦紅磊，王元琳

（北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京 100191）

針對利用低地球軌道（LEO）衛(wèi)星信號進(jìn)行多普勒定位時(shí)，由于缺乏定位誤差矢量相關(guān)研究而使定位精度較差的問題，對多普勒定位誤差矢量特性進(jìn)行系統(tǒng)性的分析并提出一種最小定位誤差矢量合成優(yōu)化算法：以初始定位結(jié)果為中心劃定區(qū)域網(wǎng)格，計(jì)算依次去除各顆衛(wèi)星后定位誤差向量在該衛(wèi)星速度方向上的投影誤差模之和；遍歷所有網(wǎng)格，搜索投影誤差模之和最大的位置網(wǎng)格作為優(yōu)化的定位結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：提出的算法的定位結(jié)果誤差均值與均方根誤差（RMSE）均有減小，其三維定位精度可提升40%以上。

低地球軌道衛(wèi)星信號；多普勒定位；誤差矢量分析；優(yōu)化算法；遍歷網(wǎng)格

0 引言

隨著定位導(dǎo)航需求的快速增長，不同的應(yīng)用場景如城市峽谷信號遮擋[1]、電磁信號干擾[2]等對傳統(tǒng)的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system, GNSS）提出了挑戰(zhàn)。在信號遮擋及干擾嚴(yán)重的情況下，接收機(jī)無法在短時(shí)間內(nèi)獲得導(dǎo)航衛(wèi)星完整的偽距信息；因此研究利用衛(wèi)星的多普勒測量結(jié)果進(jìn)行有效的初始定位具有重要意義。這里利用多普勒測量值作為觀測結(jié)果進(jìn)行定位的衛(wèi)星星座不再局限于傳統(tǒng)的全球定位系統(tǒng)（global positioning system, GPS）等中軌導(dǎo)航衛(wèi)星，低軌（low earth orbits, LEO）通信衛(wèi)星如銥星二代（iridium-next）星座[3]、軌道通信衛(wèi)星（ORBCOMM）星座[4]等由于衛(wèi)星部署量大、覆蓋范圍廣、信號功率高等優(yōu)點(diǎn)，其多普勒定位技術(shù)更是成為近年來的研究熱點(diǎn)。

目前，多普勒定位方法主要應(yīng)用于GPS快照定位技術(shù)中的初始位置獲取[5]與基于低軌通信衛(wèi)星星座的定位技術(shù)研究中。目前各單位的研究結(jié)果顯示，利用GPS多普勒測量值獲取的定位結(jié)果初值可有效控制在千米量級[6]，利用30 min采集時(shí)間內(nèi)的7顆iridium-next衛(wèi)星信號進(jìn)行多普勒定位，在高程輔助下水平定位精度為200 m左右[7]，利用2顆ORBCOMM衛(wèi)星進(jìn)行多普勒定位的精度可達(dá)到360 m[8]?？梢钥闯觯?dāng)前研究主要集中在多普勒定位方法的基本實(shí)現(xiàn)上，對多普勒定位誤差缺乏理論性的分析，缺少對提高多普勒定位精度的優(yōu)化算法的研究。

本文旨在對多普勒定位方法中單顆衛(wèi)星的誤差放大因子（即誤差矢量的大小）與誤差矢量限制的方向進(jìn)行分析，并提出相應(yīng)的優(yōu)化算法來提高定位性能。主要研究：不同軌道高度衛(wèi)星進(jìn)行多普勒定位時(shí)的單星誤差放大因子與衛(wèi)星和接收機(jī)相對位置角度間的關(guān)系；多普勒定位中誤差矢量限制的方向，并據(jù)此設(shè)計(jì)最小定位誤差矢量合成優(yōu)化算法來提高定位精度。

1 多普勒定位原理

多普勒定位技術(shù)即通過衛(wèi)星相對于用戶的相對速度構(gòu)建定位方程來解算用戶位置的技術(shù)。世界上最早的全球?qū)Ш叫l(wèi)星定位系統(tǒng)“子午儀”便是利用多普勒定位技術(shù)進(jìn)行導(dǎo)航定位，由于只包括有限的極地軌道衛(wèi)星，且需要等待衛(wèi)星過頂，子午儀系統(tǒng)的定位時(shí)間通常是1 h[9]。而現(xiàn)在的衛(wèi)星星座情況不同：首先天空中總會有衛(wèi)星可見；其次，每顆定位衛(wèi)星上已經(jīng)配備精確同步的芯片級原子鐘。這樣可以通過衛(wèi)星進(jìn)行瞬時(shí)或短時(shí)間的多普勒定位。下面首先從幾何層面分析多普勒定位的原理，接著通過微分方程在代數(shù)層面得到更加精確的結(jié)果。

用戶接收到單顆衛(wèi)星的多普勒頻率即該衛(wèi)星速度在衛(wèi)星與用戶視距方向上的投影；因此當(dāng)衛(wèi)星的位置與速度已知的情況下，由用戶接收到該顆衛(wèi)星信號的多普勒頻率即可確定用戶位置的范圍，即用戶在以衛(wèi)星位置為原點(diǎn)，速度方向?yàn)檩S，視距方向?yàn)槟妇€的圓錐體表面上，如圖1所示。因此在考慮用戶與衛(wèi)星頻偏的情況下，通過4個(gè)以上的圓錐曲面（4顆以上的衛(wèi)星）即可確定用戶的位置[10]。

圖1 多普勒定位原理

下面通過對偽距定位方程進(jìn)行時(shí)間微分的方法從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)層面推導(dǎo)多普勒定位方程。偽距定位原理方程為

偽距方程組考慮測量誤差后的線性化微分形式為

至此可得到基于多普勒測量值的7狀態(tài)多普勒定位方程為

如果只考慮靜止?fàn)顟B(tài)下的用戶定位，那么式（5）中的未知量減少為4個(gè)；因此最少利用4顆衛(wèi)星的多普勒測量值即可得出用戶的位置。

2 多普勒定位誤差矢量分析

在上一節(jié)對于多普勒定位原理的介紹中，只考慮了衛(wèi)星與接收機(jī)間的頻率誤差項(xiàng)，實(shí)際定位中衛(wèi)星軌道信息誤差、大氣傳播誤差、接收機(jī)端軟硬件測量誤差等都會影響最終的定位結(jié)果，這些誤差直接或間接地影響多普勒測量值精度。其中不同軌道參數(shù)與模型造成的衛(wèi)星軌道信息誤差不同[11]，例如利用2行軌道數(shù)據(jù)（two-line orbital element，TLE）和第四版簡化一般擾動(dòng)模型/第四版簡化深空間擾動(dòng)（simplified general perturbation version 4/simplified deep-space perturbation version 4，SGP4/SDP4）模型進(jìn)行外推的衛(wèi)星位置誤差可達(dá)千米量級[12]，進(jìn)而造成10 m/s量級的測量誤差，這將是多普勒定位方法的最大觀測誤差源。而大氣傳播誤差與接收機(jī)端測量誤差則常與信號本身的頻率、帶寬及信號質(zhì)量有關(guān)，設(shè)計(jì)合適的信號接收方法一般可使此2項(xiàng)觀測誤差小于1 m/s。

當(dāng)根據(jù)定位星座衛(wèi)星的輔助軌道精度、信號參數(shù)等信息確定多普勒測量值的觀測誤差后，系統(tǒng)的定位精度即取決于定位衛(wèi)星的幾何構(gòu)型。為了簡化對定位精度的理論分析，可對定位衛(wèi)星多普勒測量值的觀測誤差做以下假設(shè)，即各個(gè)衛(wèi)星的測量誤差相同且互不相關(guān)。構(gòu)建靜態(tài)情況下測量誤差與定位誤差的關(guān)系為

進(jìn)而可推導(dǎo)定位解的誤差協(xié)方差為

圖2 衛(wèi)星位置相對于接收機(jī)的位置表示

然后我們進(jìn)行定位誤差矢量的方向分析。在偽距定位中，衛(wèi)星相對接收機(jī)的視距方向決定這顆衛(wèi)星限制的誤差方向；而在多普勒定位中，衛(wèi)星速度方向和視距方向構(gòu)成的直角三角形中的另一條直角邊決定該顆衛(wèi)星限制的誤差方向，如圖4所示。當(dāng)衛(wèi)星處于接收機(jī)正上方附近時(shí)，其限制的誤差方向可以近似看作衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方向。綜上可以看出，衛(wèi)星仰角越高時(shí)其限制水平方向誤差的效果越好。

圖4 多普勒定位誤差矢量方向示意

3 最小誤差矢量合成優(yōu)化定位算法

上述分析可以發(fā)現(xiàn)：利用近地軌道進(jìn)行定位時(shí)考慮到定位誤差矢量的大小，應(yīng)盡量選擇仰角高的衛(wèi)星信號；同時(shí)可利用定位誤差矢量方向的特性將定位結(jié)果作為一個(gè)局部搜索優(yōu)化問題。優(yōu)化方法的思路是：首先利用所有可見星得到初始定位結(jié)果，并以該位置為中心劃定區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格搜索；去除某顆星后，使定位結(jié)果與搜索位置網(wǎng)格的差向量與衛(wèi)星速度方向上的單位向量叉乘的模最小；考慮到所有衛(wèi)星后，最終優(yōu)化結(jié)果就是搜索所有投影誤差模的和最小的位置網(wǎng)格。該算法的具體流程如圖5所示。

圖5 最小定位誤差矢量合成優(yōu)化算法流程

具體算法的步驟如下：

1）輸入所有可見衛(wèi)星信號的多普勒觀測量捕獲結(jié)果。

2）通過輔助軌道信息與誤差在100 km范圍內(nèi)的先驗(yàn)初始接收機(jī)位置計(jì)算理論多普勒值，與捕獲到的多普勒測量值進(jìn)行匹配，輸出匹配成功的衛(wèi)星對應(yīng)的衛(wèi)星號，并統(tǒng)計(jì)捕獲到的衛(wèi)星個(gè)數(shù)，若匹配到的衛(wèi)星個(gè)數(shù)大于4顆，則繼續(xù)后續(xù)操作。

3）首先計(jì)算包含所有觀測量的定位結(jié)果，記為。

5）以的位置為中心，在一定范圍內(nèi)劃分網(wǎng)格，記錄每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的位置。

7）遍歷完所有網(wǎng)格中的位置點(diǎn)后，輸出所記錄的最小誤差對應(yīng)的位置結(jié)果。

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證最小定位誤差矢量合成算法的有效性，本文于2021年10月30日在北京某地進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。在該固定地點(diǎn)對iridium-next與ORBCOMM信號進(jìn)行采集，實(shí)驗(yàn)設(shè)備包括：便攜式移動(dòng)電源、iridium-next與ORBCOMM天線、高速信號采集設(shè)備，如圖6所示。

圖6 實(shí)際數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)設(shè)備

實(shí)驗(yàn)采集了1.5 h的數(shù)據(jù)，共捕獲到10顆iridium-next衛(wèi)星與4顆ORBCOMM衛(wèi)星，捕獲結(jié)果如圖7所示。

針對捕獲結(jié)果的具體處理流程如下：

1）首先在捕獲到的14個(gè)衛(wèi)星中任選5個(gè)衛(wèi)星進(jìn)行組合。

2）接著從圖7捕獲結(jié)果可以看出在整個(gè)采集時(shí)間段內(nèi)，對于每顆衛(wèi)星都得到了一系列歷元捕獲結(jié)果。因此我們選取衛(wèi)星組合中各衛(wèi)星仰角最大處的10個(gè)歷元進(jìn)行定位。

3）然后將各個(gè)衛(wèi)星信號歷元對應(yīng)的多普勒測量值與衛(wèi)星狀態(tài)信息，分別帶入直接多普勒定位算法和本文提出的最小誤差矢量合成優(yōu)化定位算法中得到三維定位結(jié)果，并通過用戶實(shí)際位置坐標(biāo)分別計(jì)算二者的三維定位誤差。

4）重復(fù)50次步驟1）—步驟3）的工作，并且確保每次步驟1）中的衛(wèi)星組合不完全相同。

5）2種方法定位結(jié)果的50次時(shí)間序列比較如圖8所示，統(tǒng)計(jì)2種方法50次定位結(jié)果的誤差均值和均方根誤差（root mean square error, RMSE），結(jié)果如表1所示。

圖8 2種方法定位結(jié)果的50次時(shí)間序列比較

從表1中定位誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，本文提出的最小誤差矢量合成優(yōu)化算法可使定位精度優(yōu)化40%以上，證明了誤差矢量分析的有效性。在接收機(jī)冷啟動(dòng)情況下，利用直接定位算法和本文提出的優(yōu)化算法對接收信號從捕獲處理到輸出最終定位結(jié)果的單次計(jì)算時(shí)間分別為31.7和34.6 s。計(jì)算復(fù)雜度提高了9.2%，在可接受的范圍內(nèi)。

表1 優(yōu)化前后定位結(jié)果統(tǒng)計(jì)

5 結(jié)束語

本文針對傳統(tǒng)GNSS信號遮擋及干擾嚴(yán)重的情況下，研究利用信號多普勒觀測量進(jìn)行定位的誤差矢量特性，對不同軌道高度衛(wèi)星星座的定位誤差矢量大小問題進(jìn)行分析，同時(shí)給出誤差矢量方向的描述并設(shè)計(jì)出可提高定位精度的優(yōu)化方法。通過實(shí)際采集的LEO衛(wèi)星數(shù)據(jù)驗(yàn)證了算法的可用性和有效性。相關(guān)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：利用本文提出的優(yōu)化算法進(jìn)行定位，其三維定位精度可提升40%以上。

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Minimum error vector synthetic positioning algorithm using LEO satellites

WANG Danyao, QIN Honglei, WANG Yuanlin

（School of Electronic and Information, Beihang University, Beijing 100191, China）

Aiming at the problem of the poor positioning accuracy due to lack of research on positioning error vector when Doppler positioning is carried out by using low Earth orbit (LEO) satellite signal, the paper systematically analyzed the characteristics of Doppler positioning error vector, and proposed a minimum positioning error vector synthesis optimization algorithm: the initial positioning result was taken as the center to delimit the regional grid, and the sum of the projection error modules of the positioning error vector in the speed direction of the satellite was calculated after removing each satellite in turn; then all grids were traversed, and the location grids with the largest sum of the projection error modules were searched as the optimized positioning result. Experimental results showed that the mean error and root mean square error (RMSE) of the positioning results of the proposed algorithm would be both reduced, and its three-dimensional positioning accuracy could be improved by more than 40%.

low Earth orbit (LEO) satellite signal; Doppler positioning; error vector analysis; optimization algorithm; traversing the grids

P228

A

2095-4999(2023)01-0074-06

王丹瑤，秦紅磊，王元琳. 利用LEO衛(wèi)星的最小誤差矢量合成定位算法[J]. 導(dǎo)航定位學(xué)報(bào), 2023, 11(1): 74-79.（WANG Danyao, QIN Honglei, WANG Yuanlin. Minimum error vector synthetic positioning algorithm using LEO satellites[J]. Journal of Navigation and Positioning, 2023, 11(1): 74-79.）DOI:10.16547/j.cnki.10-1096.20230111.

2022-05-10

王丹瑤（1997—），女，河北邢臺人，博士研究生，研究方向?yàn)榈蛙壭l(wèi)星信號定位技術(shù)的應(yīng)用等。