摘? 要：精選2022年全國各地區(qū)中考“圖形的性質(zhì)”部分試題，剖析該部分試題的特點(diǎn)，對(duì)優(yōu)秀試題進(jìn)行分析，并針對(duì)該部分內(nèi)容提出復(fù)習(xí)教學(xué)建議，以期對(duì)中考復(fù)習(xí)備考提供參考.

關(guān)鍵詞：圖形的性質(zhì)；解題分析；中考試題；復(fù)習(xí)建議

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中，初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容分為“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”“圖形與坐標(biāo)”三個(gè)主題. 其中，“圖形的性質(zhì)”是從演繹證明的視角研究點(diǎn)、線、面、角、三角形、多邊形和圓等幾何圖形的基本性質(zhì)和相互關(guān)系. 與“圖形的變化”“圖形與坐標(biāo)”兩個(gè)主題相比，“圖形的性質(zhì)”既是后續(xù)進(jìn)一步研究幾何圖形的基礎(chǔ)，又是“圖形與幾何”課程內(nèi)容的主干知識(shí)，也是中考命題考查的核心內(nèi)容. 同時(shí)，2022年中考是“雙減”政策實(shí)施后的第一次中考，為了充分發(fā)揮中考對(duì)教育教學(xué)的引導(dǎo)作用，深化義務(wù)教育教學(xué)改革，促進(jìn)減負(fù)提質(zhì)，鞏固“雙減”成果，教育部辦公廳特別下發(fā)了《教育部辦公廳關(guān)于做好2022年中考命題工作的通知》，強(qiáng)調(diào)“嚴(yán)格依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)命題、科學(xué)設(shè)置試卷難度”. 在這種背景下，綜觀2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷，筆者認(rèn)為，“圖形的性質(zhì)”部分的試題較好地落實(shí)了這個(gè)目標(biāo)，在注重考查學(xué)生“四基”的同時(shí)，特別強(qiáng)調(diào)通過實(shí)驗(yàn)探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來考查學(xué)生研究圖形的能力，充分體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

一、試題特點(diǎn)分析

在《標(biāo)準(zhǔn)》中，“圖形的性質(zhì)”主要包括以下六個(gè)部分：（1）點(diǎn)、線、面、角；（2）相交線與平行線；（3）三角形；（4）四邊形；（5）圓；（6）定義、命題、定理. 與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》不同，有關(guān)尺規(guī)作圖的內(nèi)容融合到了這六部分內(nèi)容之中，不再單列. 筆者研究了2022年全國各地區(qū)近40份中考數(shù)學(xué)試卷，對(duì)其中關(guān)于“圖形的性質(zhì)”的試題從考查內(nèi)容、難度設(shè)置、題型設(shè)置等方面進(jìn)行分析. 該部分內(nèi)容所占分值在整卷的比例不盡相同，大致占全卷總分值的15% ～ 40%，多數(shù)在30%左右，且在選擇、填空、解答等各種題型中都有體現(xiàn). 筆者認(rèn)為，依據(jù)相關(guān)試題可以歸納出2022年中考“圖形的性質(zhì)”相關(guān)內(nèi)容的考查具有以下特點(diǎn).

1. 立足基礎(chǔ)，突出對(duì)圖形基本性質(zhì)的理解與運(yùn)用

一般而言，性質(zhì)就是一類事物共有的特性. 但具體什么是幾何性質(zhì)呢？章建躍博士曾指出，幾何圖形組成要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系（大小關(guān)系、位置關(guān)系等）就是性質(zhì). 初中階段，“圖形與幾何”領(lǐng)域中研究的平面圖形都是由點(diǎn)、線、角等基本元素構(gòu)成的. 幾何學(xué)習(xí)的核心任務(wù)就是在幾何直觀基礎(chǔ)上，基于對(duì)圖形概念的理解，從定性到定量研究這些圖形組成要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系，獲得圖形的性質(zhì)，為未來學(xué)習(xí)和研究更為復(fù)雜的圖形打好基礎(chǔ).

（1）基于圖形的概念，對(duì)圖形性質(zhì)的基本理解和簡單運(yùn)用.

幾何圖形的學(xué)習(xí)，與小學(xué)階段更側(cè)重于幾何圖形的認(rèn)識(shí)、對(duì)圖形性質(zhì)度量的感知不同，初中階段更注重對(duì)圖形概念的理解，并在概念的基礎(chǔ)上，研究圖形的性質(zhì)、關(guān)系和變化規(guī)律. 在中考試卷中，總有一類體現(xiàn)“雙基”的圖形性質(zhì)問題，通常是以單個(gè)圖形或簡單情境為背景，在幾何直觀的基礎(chǔ)上，運(yùn)用幾何基本事實(shí)或幾何圖形的基本性質(zhì)進(jìn)行簡單推理與證明，考查幾何圖形基本性質(zhì)的簡單應(yīng)用，通常設(shè)置為選擇題、填空題或者簡單的計(jì)算題與證明題.

例1 （福建卷）如圖1，點(diǎn)[B]，[F]，[C]，[E]在同一條直線上，[BF=EC]，[AB=DE]，[∠B=∠E]. 求證：[∠A=∠D]．

目標(biāo)解析：此題主要考查學(xué)生的推理能力，以及全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用．

解法分析：利用“[SAS]”證明[△ABC≌△DEF，] 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得[∠A=∠D]．

試題分析：此題可以從各版本教材全等三角形章節(jié)中找到類似的圖形和問題，難度較低. 中考試卷中，像這樣以三角形、四邊形為對(duì)象，考查學(xué)生運(yùn)用圖形的性質(zhì)進(jìn)行推理論證的簡單解答題，體現(xiàn)的就是基礎(chǔ)性. 需要注意的是，在運(yùn)用圖形的性質(zhì)解決問題的過程中，要注意表達(dá)規(guī)范、推理嚴(yán)密，避免因證明過程簡單而跳步導(dǎo)致失分. 例如，此題中對(duì)[BC=EF]的推理，要先得到[BF+FC=EC+FC，] 之后才有[BC=EF]. 在基礎(chǔ)題的推理論證表述中，跳過等量相加的這一步，既不明智，也不嚴(yán)謹(jǐn).

類題賞析：類似的試題還有湖北武漢卷第18題、吉林卷第15題、陜西卷第18題、四川宜賓卷第20題、浙江溫州卷第22題等.

（2）基于圖形的性質(zhì)，對(duì)圖形進(jìn)行定性與定量分析.

義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力. 對(duì)于圖形的研究，不僅僅體現(xiàn)在對(duì)幾何直觀和推理能力的考查，也體現(xiàn)在對(duì)運(yùn)算能力的考查. 對(duì)圖形進(jìn)行周長、面積等方面的度量是在小學(xué)階段就有的，與小學(xué)階段不同的是，初中階段更注重基于圖形的性質(zhì)對(duì)圖形中相關(guān)線段、角、局部等對(duì)象進(jìn)行定量分析，這是在更高層面上考查學(xué)生的運(yùn)算能力，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)圖形的性質(zhì)的全面理解和整體把握.

例2 （天津卷）如圖2，已知菱形[ABCD]的邊長為2，[∠DAB=60°]，[E]為[AB]的中點(diǎn)，[F]為[CE]的中點(diǎn)，[AF]與[DE]相交于點(diǎn)[G]，則[GF]的長等于? ? ?．

目標(biāo)解析：此題的圖形中融合了多個(gè)基本圖形，考查菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線分線段成比例定理、勾股定理等. 其中，出色的運(yùn)算能力是順利解決此題的重要因素．

解法分析：求線段的長，首先需要思考將線段放在什么圖形中研究. 此題中，可以猜想“點(diǎn)[G]是線段AF的中點(diǎn)”. 如圖3，過點(diǎn)[C]作[CM⊥AB]，交[AB]的延長線于點(diǎn)M，連接[FB]. 在[Rt△CBM]中，計(jì)算得[BM=1，][CM=3.] 再證明[BF]是[Rt△CEM]的中位線，可得[BF=][32]. 由勾股定理，可得[AF=192]. 然后由點(diǎn)[E]為AB的中點(diǎn)，且[BF∥EG]，得到[EG]是[△ABF]的中位線，即[AG=FG]，猜想成立，從而得出[GF=194.]

試題分析：此題以菱形為大背景，融入了三角形的中位線、含30°角的直角三角形等內(nèi)容. 在幾何直觀中，通過合理猜想構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線，發(fā)現(xiàn)圖形與圖形之間的關(guān)系，并進(jìn)行推理論證和精確計(jì)算. 這是幾何圖形研究的常用方法.

類題賞析：類似的試題還有江蘇蘇州卷第16題、海南卷第16題等.

（3）基于作圖操作，深化對(duì)尺規(guī)作圖原理和方法的理解與應(yīng)用.

《標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)化了尺規(guī)作圖，明確要求經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程，增強(qiáng)動(dòng)手能力，能想象出通過尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念和空間想象力，并對(duì)傳統(tǒng)的五個(gè)基本作圖進(jìn)行了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和更新. 在中考試卷中，尺規(guī)作圖的問題設(shè)計(jì)題型有選擇題和填空題，要求學(xué)生根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡或問題描述的作法進(jìn)行判斷，也有對(duì)尺規(guī)作圖操作后的解答. 無論哪一種，都不只是把尺規(guī)作圖作為一個(gè)知識(shí)考點(diǎn). 更為重要的，是將尺規(guī)作圖作為深化理解作圖的原理和方法，幫助學(xué)生建立幾何直觀，促進(jìn)學(xué)生演繹推理能力的提升.

例3 （山西卷）如圖4，在矩形[ABCD]中，[AC]是對(duì)角線．

（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作線段[AC]的垂直平分線，垂足為點(diǎn)[O]，交邊[AD]于點(diǎn)[E]，交邊[BC]于點(diǎn)[F].（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母．）

（2）猜想與證明：試猜想線段[AE]與[CF]的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

目標(biāo)解析：此題主要考查尺規(guī)作圖、矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)等．

解法分析：（1）如圖5，EF即為所求作的線段[AC]的垂直平分線.

（2）可以在作出線段AC的垂直平分線EF之后，利用矩形的性質(zhì)證明[△AOE≌△COF，] 進(jìn)而得出[AE=][CF.] 也可以利用線段垂直平分線的性質(zhì)，證明四邊形[AECF]是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出結(jié)論．

試題分析：從本質(zhì)上講，這不算是一道新題，以前常見以“折疊矩形[ABCD，] 使點(diǎn)[A，C]重合”的視角來研究圖形，如求折痕EF的長度、圖形的面積等. 但此題融入了尺規(guī)作圖，設(shè)計(jì)兩道遞進(jìn)的小題，以尺規(guī)作圖的作圖結(jié)果為起點(diǎn)，進(jìn)一步展開對(duì)圖形性質(zhì)的推理和論證. 這既是深化學(xué)生對(duì)尺規(guī)作圖原理的理解，也是引導(dǎo)教師在教學(xué)中要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的幾何作圖能力的培養(yǎng). 退一步講，即使學(xué)生在考試時(shí)不會(huì)進(jìn)行尺規(guī)作圖，在不嚴(yán)格作圖的情況下也能通過畫草圖完成第（2）小題的猜想與論證.

類題賞析：類似的試題還有江蘇無錫卷第24題、重慶A卷第18題、河南卷第18題、福建卷第23題等. 也有許多以選擇題、填空題的形式考查尺規(guī)作圖的試題，如湖北黃岡卷第8題、湖北宜昌卷第6題、江蘇連云港卷第16題、四川成都卷第13題、湖南長沙卷第10題等.

例4 （江蘇·揚(yáng)州卷）【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？

【初步嘗試】如圖6（a），已知扇形[OAB]，試用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心[O]作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；

【問題聯(lián)想】如圖6（b），已知線段MN，試用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個(gè)以[MN]為斜邊的等腰直角三角形[MNP]；

【問題再解】如圖6（c），已知扇形[OAB]，試用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點(diǎn)[O]為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．

友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡.

目標(biāo)解析：此題考查尺規(guī)作圖、等腰直角三角形的性質(zhì)、扇形的面積等知識(shí). 解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．

解法分析：圖6（a）中，通過分析，作[∠AOB]的平分線即可，如圖7所示，OP即為所求；圖6（b）中，作線段[MN]的垂直平分線（垂足為點(diǎn)C）后，在垂直平分線上再截取線段CP，使CP = MC，連接PM，PN，△MNP即為所求，如圖8所示；圖6（c）中，需要先構(gòu)造等腰直角三角形[OBE]，使[OB]為斜邊，再以點(diǎn)[O]為圓心、OE為半徑畫弧，則[CD]即為所求，如圖9所示．

試題分析：此題是一道極具創(chuàng)新價(jià)值的尺規(guī)作圖試題，三道小題由淺入深，拾級(jí)而上，將尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)性要求、工具性應(yīng)用及思維性提升發(fā)揮到了較高的水平. 同時(shí)，在“問題再解”中，要求學(xué)生將在前兩道小題中積累形成的經(jīng)驗(yàn)，在新背景中進(jìn)行模仿遷移. 此題具有開放性，還有多種解題方法，為不同思維層次的學(xué)生提供了更多的可能.

類題賞析：值得注意的是，還有一類比尺規(guī)作圖要求更苛刻的試題，即只用無刻度的直尺在正方形網(wǎng)格中畫圖. 這類試題對(duì)學(xué)生來說挑戰(zhàn)更大，如天津卷第18題、江西卷第16題、湖北武漢卷第21題.

2. 注重能力，彰顯對(duì)“圖形的性質(zhì)”內(nèi)容涉及的思想方法的領(lǐng)悟與遷移

數(shù)學(xué)知識(shí)是有層次的. 數(shù)學(xué)內(nèi)容中的基本事實(shí)、概念、定理等，通常統(tǒng)攝性較低，而更高一級(jí)的是數(shù)學(xué)的核心概念及思想方法，它們的抽象概括程度更高，屬于隱性知識(shí)，是從“四基”“四能”通往學(xué)科核心素養(yǎng)的必由之路. 數(shù)學(xué)思想方法是隨著數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、原理的掌握而逐漸發(fā)展的，其學(xué)習(xí)過程需要經(jīng)歷滲透、領(lǐng)悟、明晰和應(yīng)用四個(gè)階段. 在圖形的性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程中，與之相關(guān)的數(shù)學(xué)思想主要包括方程思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想等. 因此，中考試卷中，通過設(shè)計(jì)相關(guān)問題考查學(xué)生對(duì)這些數(shù)學(xué)思想方法的理解、內(nèi)化和遷移應(yīng)用，是必不可少的一環(huán).

（1）運(yùn)用方程思想.

例5 （浙江·金華卷）如圖10，木工用角尺的短邊緊靠⊙O于點(diǎn)A，長邊與⊙O相切于點(diǎn)B，角尺的直角頂點(diǎn)為C. 已知AC = 6 cm，CB = 8 cm，則⊙O的半徑為? ? ? ．

目標(biāo)解析：此題主要考查了圓的切線性質(zhì)定理、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì). 依據(jù)題意添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．

解法分析：如圖11，連接OA，OB，過點(diǎn)A作AD⊥OB于點(diǎn)D. 利用矩形的判定與性質(zhì)，可得BD = AC = 6 cm，AD = BC = 8 cm. 設(shè)⊙O的半徑為r cm，在Rt△OAD中，利用勾股定理，有AD2 + OD2 = OA2，即[82+r-62=r2．] 解得[r=253]. 所以⊙O的半徑為[253]cm.

試題分析：此題生活氛圍濃郁，木工使用角尺的畫面感很強(qiáng)，甚至還有很強(qiáng)的代入感，如自行車輪頂著水泥臺(tái)階等. 在構(gòu)造輔助線的過程中，學(xué)生可能會(huì)想到連接AB，并且勾股數(shù)為6，8，10，好像也比較順暢，但對(duì)于研究圓的半徑長并不是最為本質(zhì)的. 在此題中，最為本質(zhì)的是切線的性質(zhì)的運(yùn)用，即連接OB得到直角，再作垂線段AD得到直角三角形，利用勾股定理求解. 此題中蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化思想和方程思想. 在運(yùn)用方程思想時(shí)，多數(shù)都需要添加輔助線構(gòu)造直角三角形，這就需要學(xué)生具有更為理性的幾何直觀和空間觀念，以實(shí)現(xiàn)對(duì)思想方法的靈活運(yùn)用.

類題賞析：類似的試題還有海南卷第12題.

（2）運(yùn)用分類思想.

例6 （河南卷）如圖12，在[Rt△ABC]中，[∠ACB=][90°]，[AC=BC=22]，點(diǎn)[D]為[AB]的中點(diǎn)，點(diǎn)[P]在[AC]上，且[CP=1]，將[CP]繞點(diǎn)[C]在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)[P]的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)[Q，] 連接[AQ，DQ.] 當(dāng)[∠ADQ=90°]時(shí)，[AQ]的長為? ? ? ．

目標(biāo)解析：此題考查了勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì). 注意要分兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．

解法分析：如圖13，當(dāng)[∠ADQ=90°]時(shí)，即[DQ⊥][AB，] 根據(jù)[Rt△ABC]的相關(guān)條件，說明點(diǎn)[D，C，Q]應(yīng)當(dāng)共線. 點(diǎn)[Q]除了在[CD]上，還有可能在[DC]的延長線上. 針對(duì)兩種情況，分別利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得AQ的長為[5]或[13]．

試題分析：此題要求學(xué)生從圖形組成要素的位置變化上研究相關(guān)點(diǎn)、線段的數(shù)量關(guān)系. 其實(shí)試題并不難，以等腰直角三角形為背景，由CP的長度是定值，不難想象到點(diǎn)[Q]的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)[C]為圓心、[CP]長為半徑的圓. 解題的難點(diǎn)在于不容易想到“點(diǎn)[Q]在線段[DC]的延長線上”的情況，造成漏解.

類題賞析：類似的試題還有江西卷第12題、云南卷第18題等.

（3）運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想.

例7 （安徽卷）已知點(diǎn)O是邊長為6的等邊三角形ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為[S0，S1，S2，S3]. 若[S1+S2+S3=2S0]，則線段[OP]長的最小值是（? ）.

（A）[332] （B）[532]

（C）[33] （D）[732]

目標(biāo)解析：此題考查等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形的面積等知識(shí). 解題的關(guān)鍵是證明[S1，S2，S3]中有一個(gè)是定值．

解法分析：已知點(diǎn)P在△ABC外，但究竟在哪里呢？如圖14，不妨假設(shè)點(diǎn)P在直線AB的左側(cè)，由此時(shí)的位置關(guān)系，可以得到四個(gè)三角形之間的面積關(guān)系為[S2+S3=S0+][S1]. 結(jié)合已知條件，可以得到[2S1=S0]. 這也就證明了△PAB的面積[S1]是定值，所以邊AB上的高也是定值. 過點(diǎn)P作AB的平行線PM，推出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡就是直線PM. 連接CO，延長CO交AB于點(diǎn)R，交PM于點(diǎn)T，可求出[OT=532]. 故此題選擇選項(xiàng)B.

試題分析：此題是一道有關(guān)圖形的問題，卻沒有給出圖形. 此題的玄機(jī)其實(shí)就在這里. 解題的難點(diǎn)在于確定點(diǎn)P的位置，即如何應(yīng)用已知中給出的四個(gè)三角形之間的面積關(guān)系式. 解題的突破口就是先假設(shè)一個(gè)點(diǎn)P的位置，并由其位置研究[S0]與[S1]，[S2]，[S3]之間的數(shù)量關(guān)系. 由已知可得[S0=93]是一個(gè)定值，將已知條件轉(zhuǎn)化到[S1，S2，S3]中，得某個(gè)三角形的面積與等邊三角形ABC的面積[S0]之間的數(shù)量關(guān)系，從而得到其高，再思考OP在什么情況下最小，這樣解題就輕松了. 像此題這樣研究某條線段的最小值，是近年中考考查圖形運(yùn)動(dòng)變化的熱點(diǎn)問題，通常對(duì)學(xué)生的能力要求比較高.

類題賞析：類似的試題還有湖北武漢卷第9題等.

3. 聚焦素養(yǎng)，強(qiáng)化圖形性質(zhì)的探究、開放與綜合

《教育部關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見》中明確要求：堅(jiān)持正確導(dǎo)向，提升試題科學(xué)化水平，既要注重考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還要注重考查思維過程、創(chuàng)新意識(shí)，以及分析問題和解決問題的能力，提高探究性、開放性、綜合性試題的比例. 正因如此，在圖形的性質(zhì)的考查中，聚焦幾何直觀、抽象能力和推理能力，發(fā)展空間觀念，強(qiáng)化圖形性質(zhì)的形成和發(fā)展過程，提高試題的探究性、開放性和綜合性就成為一種應(yīng)然.

（1）探究性問題.

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：探索是指在特定的問題情境下，獨(dú)立或合作參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，理解或提出數(shù)學(xué)問題，尋求解決問題的思路，獲得確定結(jié)論. 探究性問題需要在特定的問題情境中經(jīng)歷過程獲得結(jié)論. 解決與圖形的性質(zhì)有關(guān)的探究性問題，就是需要在圖形不斷變化的過程中，發(fā)現(xiàn)圖形中要素與要素之間保持不變的關(guān)系的過程，或是圖形經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象，逐漸歸納概括出某種性質(zhì)或規(guī)律，而后又從一般到特殊遷移應(yīng)用的過程.

例8 （山東·泰安卷）問題探究：

（1）在[△ABC]中，BD，CE分別是[∠ABC]與[∠BCA]的平分線．

① 若[∠A=60°，AB=AC，] 如圖15（a），試證明[BC=][CD+BE]；

② 將①中的條件“AB = AC”去掉，其他條件不變，如圖15（b），問①中的結(jié)論是否成立？并說明理由.

遷移運(yùn)用：

（2）若四邊形[ABCD]是圓的內(nèi)接四邊形，且[∠ACB=][2∠ACD，∠CAD=2∠CAB，] 如圖15（c），試探究線段[AD，][BC，AC]之間的等量關(guān)系，并證明．

標(biāo)解析：此題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí). 解題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線，創(chuàng)造條件運(yùn)用規(guī)律解決問題．

解法分析：第（1）小題中，第①問是一種特殊情況，由[△ABC]是等邊三角形，很容易得到結(jié)論.

第②問是一種變式，結(jié)論仍然成立. 論證的總體思路是“截長”. 如圖16，設(shè)[BD]與[CE]相交于點(diǎn)[O]，在[BC]上取一點(diǎn)[G]，使得[BG=BE]. 連接[OG]，分別證明[△EBO≌△GBO SAS]，[△OCD≌][△OCG ASA，] 推出[CD=CG]，即可得到結(jié)論.

對(duì)于第（2）小題，首先類比猜想結(jié)論為[AC=AD+BC]. 思路是以AC為底邊，在AC上方，也構(gòu)造如圖15（b）所示的圖形. 如圖17，作點(diǎn)[B]關(guān)于[AC]的對(duì)稱點(diǎn)[E]（或以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，[DC]為邊，作[∠ECD=∠DCA]，在CE上截取[CE=CB]），連接[AE，EC]. 化歸證明滿足第（1）小題第②問的條件，并利用其中的結(jié)論解決問題．

試題分析：此題要探究含60°角的三角形的內(nèi)心具有的性質(zhì)，先從等邊三角形出發(fā)，通過變式得到一般的結(jié)論，然后遷移到圓的特定背景中. 通過添加輔助線構(gòu)造滿足條件的三角形，應(yīng)用探究得到的規(guī)律解決問題. 像這樣以圖形的規(guī)律為焦點(diǎn)，通過特殊情況感知規(guī)律、通過變式猜想規(guī)律、通過論證證明規(guī)律、通過遷移應(yīng)用規(guī)律，這個(gè)完整的過程體現(xiàn)的就是歐氏幾何的基本思想.

類題賞析：類似的試題還有河南卷第23題、陜西卷第26題、江西卷第23題、山東臨沂卷第22題等. 這些試題大都設(shè)置在試卷的壓軸或次壓軸的位置，對(duì)學(xué)生來說具有一定的挑戰(zhàn)性.

（2）開放性問題.

例9 （浙江·舟山卷）小惠自編一題：“如圖18，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，OB = OD. 求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流．

這個(gè)題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個(gè)條件才能證明.]

若贊同小惠的證法，在第一個(gè)方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說法，試補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明．

目標(biāo)解析：此題考查菱形的判定、垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形判定等知識(shí).

解法分析：此題答案不唯一. 根據(jù)“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”，在已知對(duì)角線垂直的情況下，只需要說明該四邊形是平行四邊形. 在有OB = OD的背景下，只需要補(bǔ)充OA = OC，或補(bǔ)充其他條件，如∠DAC = ∠ACB，由內(nèi)錯(cuò)角相等，通過證明三角形全等得到結(jié)論. 如果考慮到垂直平分線，運(yùn)用“四邊相等的四邊形是菱形”，則可以補(bǔ)充一組鄰邊相等，如AB = BC或AD = DC.

試題分析：此題為條件開放題，整體難度并不大. 但不同的答案體現(xiàn)了學(xué)生思維的層次性，有各美其美之感. 在中考試卷的解答題中設(shè)置條件開放題，所見并不多. 2021年中考浙江杭州卷第19題、2021年中考湖南岳陽卷第18題也曾有此創(chuàng)新.

類題賞析：類似的試題還有湖北荊州卷第12題、湖北黃岡卷第12題等，不過是以填空題的形式呈現(xiàn).

（3）綜合性問題.

例10 （湖北·武漢卷）問題提出：如圖19（a），在[△ABC]中，[AB=AC]，[D]是[AC]的中點(diǎn)，延長[BC]至點(diǎn)[E]，使[DE=DB]，延長[ED]交[AB]于點(diǎn)[F]，探究[AFAB]的值．

問題探究：（1）先將問題特殊化. 如圖19（b），當(dāng)[∠BAC=60°]時(shí)，直接寫出[AFAB]的值；

（2）再探究一般情形. 如圖19（a），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．

問題拓展：（3）如圖19（c），在[△ABC]中，[AB=][AC，] [D]是[AC]的中點(diǎn)，[G]是邊[BC]上一點(diǎn)，[CGBC=1n][n<2，] 延長[BC]至點(diǎn)[E]，使[DE=DG]，延長[ED]交[AB]于點(diǎn)[F]. 直接寫出[AFAB]的值（用含[n]的式子表示）.

目標(biāo)解析：此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí). 作輔助線構(gòu)造全等三角形，以及涉及線段比值的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．

解法分析：第（1）小題是一種特殊情況. 如圖20，取[BC]的中點(diǎn)[H]，連接[DH]，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)，可以得到[DHAB=12]，且DH = AD = DC. 再證明[△DBH≌△DEC]，得[BH=EC]，則[EBEH=32]. 再根據(jù)[DH∥AB]，得[△EDH∽△EFB.] 所以[FBDH=EBEH=32.] 所以[FBAB=34]. 從而得出[AFAB=14].

第（2）小題雖然是一般情況，但方法依舊. 如圖21，取[BC]的中點(diǎn)[H]，連接[DH]，利用“ASA”證明[△DBH≌][△DEC，] 得[BH=EC.] 則[EBEH=32.] 再根據(jù)[DH∥AB，] 得[△EDH∽△EFB.] 從而得出與第（1）小題相同的答案.

第（3）小題很有挑戰(zhàn)性. 如圖22，取[BC]的中點(diǎn)H，連接DH，由第（2）小題，同理可證明[△DGH≌△DEC，] 得[GH=CE.] 所以[HE=CG]. 所以[HEBC=1n]. 再根據(jù)[DH∥][AB]，得[△EDH∽△EFB]. 所以[HEBE=DHBF]. 接下來可以得到以下線段之間的數(shù)量關(guān)系：[HC=12BC，] [HE=][1nBC]，[CE=GH=1n-12BC]，[BE=1n+12BC]，[BF=]

[n+22DH，] [AF=2-n+22DH=][2-n2DH]. 最后得到[AFAB=][2-n4.]（為了減少障礙，可以設(shè)定BC，DH的長試題分析：此題是一道以三角形為背景的綜合性試題，具有很強(qiáng)的探究性，對(duì)學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力要求都很高. 三道小題以“A”型相似圖形為基礎(chǔ)，拾級(jí)而上，從特殊到一般，融合了全等與相似知識(shí)，要求學(xué)生利用幾何推理論證和代數(shù)思維求線段的比值. 特別是第（3）小題的拓展探究，是在一個(gè)抽象程度更高的背景下進(jìn)行研究的. 雖然此時(shí)全等和相似的對(duì)象變化了，但是問題的本質(zhì)沒有改變，解題方法沒有改變，對(duì)學(xué)生代數(shù)思維的素養(yǎng)要求上升到了一個(gè)更高的層次.

類題賞析：類似的試題還有福建卷第24題、浙江寧波卷第23題等. 除了通常的全等與相似、代數(shù)與幾何融合之外，有的試題還融入了三角函數(shù)，如浙江杭州卷第23題、湖北黃岡卷第23題. 有些綜合性問題還與圖形的變化融為一體，如河南卷第23題.

二、優(yōu)秀試題分析

例11 （安徽卷）如圖23，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)G. 連接DF，試完成下列問題.

（1）∠FDG的度數(shù)為? ? ? ；

（2）若DE = 1，DF =[22]，則MN的長為? ? ? .

題意理解：此題主要考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí). 本質(zhì)上是在同一條直線上并排排列的兩個(gè)正方形，由位置關(guān)系研究相關(guān)線段、角之間的數(shù)量關(guān)系.

思路探求：對(duì)于第（1）小題，由幾何直觀可以猜想得到∠FDG = 45°. 后續(xù)論證時(shí)，由“一線三直角”可以得到∠DEF = ∠ABE. 又因?yàn)椤螦 = ∠G = 90°，BE = EF，從而可得△ABE ≌ △GEF. 得出EG = AB，GF = AE. 由AD = AB，得EG = AD，AE = DG，DG = GF. 推得△DGF為等腰直角三角形，則∠FDG = 45°.

對(duì)于第（2）小題，如圖24，過點(diǎn)F作HF⊥CD于點(diǎn)H. 由第（1）小題的結(jié)論得出FG = 2，CD = GE = 3，再根據(jù)△EDM ∽ △FHM，△FHN ∽ △BCN，由相似三角形的性質(zhì)分別求出[MH=43，] [HN=25，] 所以[MN=2615]. 也可以如圖25，分別延長GF，BC交于點(diǎn)H，求出DM，NC的長.

回顧反思：此題的設(shè)計(jì)亮點(diǎn)體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面. 一是取材于教材，與人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）八年級(jí)下冊第18章“平行四邊形”復(fù)習(xí)題18第14題聯(lián)系緊密. 與教材習(xí)題相比，此題的最大區(qū)別是交換了條件“BE = EF”與“DF是外角平分線”. 同時(shí)，與人教版教材八年級(jí)下冊第17章“勾股定理”習(xí)題17.2第6題也有千絲萬縷的聯(lián)系，甚至還可以將這個(gè)圖形進(jìn)一步演化為弦圖；二是考查內(nèi)容從研究幾個(gè)圖形的性質(zhì)開始，到與圖形有關(guān)的代數(shù)求值結(jié)束，融合自然、難度適中，能夠較好地體現(xiàn)中考試題聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、強(qiáng)化主干內(nèi)容、考查關(guān)鍵能力的要求. 也許正因如此，這個(gè)素材也成為不同區(qū)域中考試卷中一道變式較為豐富的圖形研究樣例. 例如，四川瀘州卷第12題與此題設(shè)計(jì)風(fēng)格基本上一致. 再如，內(nèi)蒙古呼和浩特卷第23題就是直接從教材回顧開始變式，讓點(diǎn)運(yùn)動(dòng)起來，在動(dòng)態(tài)中研究線段之間的數(shù)量關(guān)系.

例12 （湖北·隨州卷）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個(gè)里程碑. 在該書的第2卷“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強(qiáng)烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中．

（1）我們在學(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式.（如圖26 ～ 29所示的各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫對(duì)應(yīng)公式的序號(hào).）

公式①：[a+b+cd=ad+bd+cd]；

公式②：[a+bc+d=ac+ad+bc+bd]；

公式③：[a-b2=a2-2ab+b2]；

公式④：[a+b2=a2+2ab+b2].

圖26對(duì)應(yīng)公式? ? ? ，圖27對(duì)應(yīng)公式? ? ? ，圖28對(duì)應(yīng)公式? ? ? ，圖29對(duì)應(yīng)公式? ? ? ．

（2）《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式[a+ba-b=a2-b2]的方法，如圖30，試寫出證明過程；（已知圖中各四邊形均為矩形.）

（3）如圖31，在等腰直角三角形[ABC]中，[∠BAC=][90°]，[D]為[BC]的中點(diǎn)，[E]為邊[AC]上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過點(diǎn)[E]作[EG⊥BC]于點(diǎn)[G]，作[EH⊥AD]于點(diǎn)[H]，過點(diǎn)[B]作[BF∥AC]交[EG]的延長線于點(diǎn)[F]. 記[△BFG]與[△CEG]的面積之和為[S1]，[△ABD]與[△AEH]的面積之和為[S2]．

① 若[E]為邊[AC]的中點(diǎn)，則[S1S2]的值為? ? ?；

② 若[E]不為邊[AC]的中點(diǎn)時(shí)，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，試說明理由．

題意理解：此題題干很長，讀下來要有一定的耐心. 問題核心是從圖形面積出發(fā)，考查學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的理解和運(yùn)用.

思路探求：第（1）小題是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的感悟，通過回憶教材在講授整式乘法時(shí)利用圖形面積計(jì)算方法來解釋法則或公式的過程，由直觀不難得到相應(yīng)的結(jié)論. 圖26對(duì)應(yīng)公式①，圖27對(duì)應(yīng)公式②，圖28對(duì)應(yīng)公式④，圖29對(duì)應(yīng)公式③．

第（2）小題是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的嘗試. 回到《幾何原本》的研究，由圖可分別求得各矩形的面積. 例如，可以先研究矩形[AKHD]的面積，再剪裁拼接到以a為邊長的正方形BCEF中，最后得到結(jié)論.

第（3）小題自然就是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的遷移應(yīng)用了. 思考的方法很多，如設(shè)定某線段長度，然后表示出所有相關(guān)圖形的面積.

第①問是一種特殊情況. 設(shè)[BD=m]，可得[AD=][CD=m，] [HE=DG=AH=12m，] [CG=12m，BG=32m，S1=][S△BFG+S△CEG=54m2，] [S2=S△ABD+S△AEH=58m2，] 得[S1S2=2].

第②問是研究一般情況，可以選兩條線段來分別設(shè)定字母，然后用含這兩個(gè)字母的式子表示[S1，S2.] 例如，設(shè)[BD=a，DG=b，] 可得[EG=CG=a-b，] [FG=] [BG=a+b]，[S1=S△BFG+S△CEG=12a+b2+12a-b2=a2+]

[b2，] [S2=S△ABD+S△AEH=12a2+12b2=12a2+b2.] 從而得出不變的結(jié)論.

回顧反思：此題的亮點(diǎn)體現(xiàn)在以下兩方面. 一是取材于《幾何原本》，體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》指出的“教材中要介紹數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)發(fā)展前沿等……展現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展史中偉大數(shù)學(xué)家……如介紹《九章算術(shù)》《幾何原本》……”. 近幾年來，本著“弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化，彰顯育人價(jià)值”的理念，在一些地區(qū)的中考試卷中常有這類體現(xiàn)，如湖南株洲卷第18題以中國元代《四元玉鑒》中記載的“方田圓池結(jié)角池圖”研究圓與正方形兩邊相切的問題，湖北武漢卷第16題以歐幾里得證明勾股定理的“風(fēng)車”圖形展開等；二是此題可以算得上是閱讀理解題，題干很長，但解題的書寫量卻并不是很多，難度適中. 這對(duì)于學(xué)生而言，既是挑戰(zhàn)也是機(jī)遇. 一方面，要注重引導(dǎo)學(xué)生全面發(fā)展，注意提高閱讀理解能力，將文字語言轉(zhuǎn)換成圖形語言或符號(hào)語言；另一方面，可以更深刻地理解文本所提出的數(shù)形結(jié)合思想方法.

三、復(fù)習(xí)備考建議

以人教版教材為例，幾何內(nèi)容共13章約為153課時(shí)，占總課時(shí)數(shù)的43.8%，其中可以劃分到“圖形的性質(zhì)”主題的約為109課時(shí)，占總課時(shí)數(shù)的31.2%. 另外，從一線教學(xué)的實(shí)際來看，在九年級(jí)有限的復(fù)習(xí)時(shí)間里，用于這部分內(nèi)容復(fù)習(xí)的時(shí)間約20課時(shí). 因此，教師先要轉(zhuǎn)變觀念，打破“以考定教、以考定學(xué)”的模式，把功夫用在平時(shí)，在日常教學(xué)中做到應(yīng)教盡教.

1. 以生為本，落實(shí)素養(yǎng)要求

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來社會(huì)和個(gè)人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng). 無論是復(fù)習(xí)課教學(xué)，還是平時(shí)的新授課教學(xué)，都要注重以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，開展單元整體教學(xué)，創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情境，讓學(xué)生在經(jīng)歷問題解決的過程中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.

2. 注重“雙基”，夯實(shí)知識(shí)技能

教師要以《標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)，領(lǐng)悟《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“圖形的性質(zhì)”內(nèi)容的要求，研究每一個(gè)要求達(dá)到的標(biāo)志是什么；要堅(jiān)持注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)，引導(dǎo)學(xué)生梳理基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)對(duì)典型問題的研究，對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的理解和掌握，加強(qiáng)對(duì)通性通法的理解，對(duì)易錯(cuò)、易混淆內(nèi)容進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練，夯實(shí)“雙基”教學(xué). 當(dāng)然，在這個(gè)過程中，教師需要注意不要刻意把一些所謂的模型、套路、公式、秒殺技強(qiáng)加給學(xué)生，以免誤導(dǎo)學(xué)生，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展.

3. 感悟思想，抓實(shí)思維能力提升

在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師需要保有一定的開放性，不可唯教輔而論. 在“圖形的性質(zhì)”教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)上，注意整合內(nèi)容、精選問題、著力變式，創(chuàng)設(shè)具有開放性、拾級(jí)而上的探究性，且內(nèi)容與能力共融的綜合性問題，注重設(shè)置一些有利于弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化、提高學(xué)生閱讀理解能力、促進(jìn)學(xué)生動(dòng)手畫圖操作實(shí)踐的問題情境，引領(lǐng)學(xué)生參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)之中，鼓勵(lì)他們學(xué)會(huì)從不同的角度思考問題，用不同的方法解決問題，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的自主遷移與運(yùn)用.

4. 加強(qiáng)探究，壓實(shí)一般觀念引領(lǐng)

研究一個(gè)幾何圖形的一般思路是什么？章建躍博士多次強(qiáng)調(diào)要注重一般觀念的引領(lǐng). 在“圖形的性質(zhì)”復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們要重視知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從圖形的概念、組成要素和相關(guān)要素的關(guān)系出發(fā)，建立起有意義的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，整體把握學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)的主要脈絡(luò)，牢牢抓住“概念—性質(zhì)—判定—聯(lián)系—應(yīng)用”的研究主線，創(chuàng)設(shè)富有探究性的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從特殊到一般、從具體到抽象的探究方法，在觀察、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、操作、猜測、驗(yàn)證、推理中體會(huì)并運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法，獲得數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”，再到“何由以知其所以然”的跨越性表現(xiàn).

四、典型模擬題

問題提出：如圖32，△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，D是AB的中點(diǎn)，繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)△ADC，得到△AMN，連接CM，BN，G，H分別為CM，BN的中點(diǎn)，研究GH與MC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？

問題解決：（1）先將問題特殊化. 如圖33，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為0°，即處于起始位置時(shí)，則GH與MC的數(shù)量關(guān)系是 ? ?，位置關(guān)系是 ? ?.

（2）繼續(xù)研究特殊情形. 如圖34，當(dāng)△ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到BN經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，證明你的結(jié)論；若不成立，說明你的理由.

（3）由此猜想歸納一般結(jié)論. 如圖32，在旋轉(zhuǎn)過程中，GH與MC之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是什么？

拓展應(yīng)用：（4）如圖35，應(yīng)用上述探究得到的規(guī)律，當(dāng)△ADC繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，若△MCH的面積為[38]，求邊AC的長．

答案：（1）[MC=2GH，GH⊥MC].

（2）仍然成立. 理由略.

（3）[MC=2GH，GH⊥MC].

（4）AC = 1.

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［2］陳莉紅，段碧. 2021年中考“圖形的性質(zhì)”專題解題分析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2022（1 / 2）：79-87.

［3］陳莉紅，曹經(jīng)富. 2021年中考“圖形的性質(zhì)”專題命題分析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2022（1 / 2）：68-78.

基金項(xiàng)目：東莞市教育科研“品質(zhì)課堂”專項(xiàng)課題——素養(yǎng)導(dǎo)向的初中學(xué)科單元整體教學(xué)的實(shí)踐研究（2022PZZX01）.

作者簡介：張青云（1968— ），男，正高級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育和青年教師工作室培養(yǎng)研究.