繳志清　郝旭嵐

摘? 要：以2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中“圖形與坐標(biāo)”部分試題為載體，依照課程標(biāo)準(zhǔn)的具體要求，結(jié)合試題的特點(diǎn)，從七個(gè)不同的角度對(duì)“圖形與坐標(biāo)”專(zhuān)題內(nèi)容進(jìn)行分析，并給出解題方法和備考建議. 把握好這類(lèi)問(wèn)題的一般性研究策略，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，同時(shí)有助于教師更好地理解中考改革方向.

關(guān)鍵詞：圖形與坐標(biāo)；試題特點(diǎn)分析；優(yōu)秀試題賞析；備考建議

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）和《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》的頒布，中考改革正在穩(wěn)步推進(jìn).“圖形與坐標(biāo)”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，平面直角坐標(biāo)系是“圖形與坐標(biāo)”內(nèi)容的重要組成部分，它是數(shù)軸的拓展，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁. 數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等思想直指該部分中考數(shù)學(xué)試題命制思路的本質(zhì)，指導(dǎo)教師在教學(xué)中要不斷優(yōu)化教學(xué)過(guò)程，提煉出一般性的思維策略，從而進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

一、試題特點(diǎn)分析

1. 凸顯核心素養(yǎng)的考查

2022年中考數(shù)學(xué)試題的命制以《標(biāo)準(zhǔn)》為指導(dǎo)思想，貫徹德智體美勞全面發(fā)展的教育方針，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù). 2022年全國(guó)各地區(qū)中考“圖形與坐標(biāo)”試題設(shè)計(jì)靈活多樣，更加注重指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，以達(dá)到減少教學(xué)中讓學(xué)生“機(jī)械刷題”的目的. 在落實(shí)“雙減”政策、引導(dǎo)教學(xué)、減少死記硬背方面做出了新的探索.

2. 展現(xiàn)立德樹(shù)人的要求

2022年全國(guó)各地區(qū)中考“圖形與坐標(biāo)”試題結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，展現(xiàn)了立德樹(shù)人的要求. 例如，湖北宜昌卷第10題以學(xué)生的教室平面圖為背景，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求與小麗相鄰且能比較方便地討論交流的同學(xué)座位的坐標(biāo)，這既要求學(xué)生養(yǎng)成平時(shí)善于觀察的學(xué)習(xí)習(xí)慣，又讓學(xué)生體會(huì)到了討論交流是促進(jìn)學(xué)習(xí)發(fā)展的一種很好的手段.

3. 體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的融合

2022年全國(guó)各地區(qū)中考“圖形與坐標(biāo)”試題還展現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用. 例如，山東煙臺(tái)卷第12題和湖北鄂州卷第14題都是以象棋棋盤(pán)為背景，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求某棋子的坐標(biāo). 這兩道試題把平面直角坐標(biāo)系與象棋文化相結(jié)合，考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活問(wèn)題的能力.

4. 落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求和數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查

初中階段，“圖形與幾何”領(lǐng)域包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標(biāo)”三個(gè)主題，分別從演繹證明、運(yùn)動(dòng)變化、量化分析三個(gè)方面研究圖形的基本性質(zhì)和相互關(guān)系. 這三個(gè)方面的知識(shí)又是相輔相成、相互影響的. 因此，試題的呈現(xiàn)形式要綜合這三個(gè)方面的知識(shí).《標(biāo)準(zhǔn)》中，“圖形與坐標(biāo)”的具體內(nèi)容包括兩個(gè)方面：一是圖形的位置與坐標(biāo)；二是圖形的運(yùn)動(dòng)與坐標(biāo).

2022年全國(guó)各地區(qū)中考“圖形與坐標(biāo)”試題的考查符合《標(biāo)準(zhǔn)》要求，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，立足學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展. 例如，天津卷第10題將一個(gè)等腰三角形與平面直角坐標(biāo)系相結(jié)合，考查了三角形各個(gè)頂點(diǎn)的位置；山東泰安卷第14題將平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系相結(jié)合，考查平行四邊形的性質(zhì)、點(diǎn)和線(xiàn)段的平移規(guī)律. 這些試題都重點(diǎn)考查了學(xué)生的理性思維能力及分析和解決問(wèn)題的能力. 對(duì)于“圖形與坐標(biāo)”部分的試題，必須利用好平面直角坐標(biāo)系這個(gè)溝通代數(shù)與幾何的橋梁，學(xué)會(huì)用坐標(biāo)表示圖形上點(diǎn)的位置、用坐標(biāo)表達(dá)圖形的變化、用坐標(biāo)表達(dá)簡(jiǎn)單圖形的性質(zhì)，即用代數(shù)方法研究圖形，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高分析和解決問(wèn)題的能力.

二、優(yōu)秀試題分析

2022年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中，“圖形與坐標(biāo)”內(nèi)容主要考查的知識(shí)點(diǎn)包括以下幾個(gè)方面：（1）用坐標(biāo)表示圖形的位置；（2）用坐標(biāo)表示圖形的性質(zhì)；（3）用坐標(biāo)表示圖形的變化；（4）用坐標(biāo)表示動(dòng)點(diǎn)的變化規(guī)律；（5）用坐標(biāo)表示動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象；（6）平面直角坐標(biāo)系中圖形性質(zhì)與函數(shù)圖象的綜合問(wèn)題；（7）平面直角坐標(biāo)系中的作圖問(wèn)題；等等. 該部分試題的考查形式靈活，涉及選擇題、填空題、解答題，其中蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學(xué)思想，以及推理能力、幾何直觀、空間觀念、模型觀念等素養(yǎng).

1. 用坐標(biāo)表示圖形的位置

例1 （廣西·柳州卷）如圖1，這是一個(gè)利用平面直角坐標(biāo)系畫(huà)出的某學(xué)校的示意圖，如果這個(gè)坐標(biāo)系分別以正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸的正方向，并且綜合樓和食堂的坐標(biāo)分別是（4，1）和（5，4），則教學(xué)樓的坐標(biāo)是（? ）.

（A）（1，1） （B）（1，2）

（C）（2，1） （D）（2，2）

目標(biāo)解析：此題主要考查在實(shí)際問(wèn)題中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系描述物體的位置. 這類(lèi)試題直接考查點(diǎn)的位置與坐標(biāo)，以及基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，屬于簡(jiǎn)單題.

解法分析：如圖2，根據(jù)綜合樓和食堂的坐標(biāo)分別是（4，1）和（5，4），建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可得教學(xué)樓的坐標(biāo)是（2，2）. 故此題答案選D．

試題分析：這類(lèi)試題一般源于教材，在教材課后習(xí)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行改編. 平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可以建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，然后再用坐標(biāo)描述點(diǎn)的位置. 根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系是解決此類(lèi)試題的關(guān)鍵．

類(lèi)題賞析：類(lèi)似的試題還有山東煙臺(tái)卷第12題、浙江金華卷第7題、湖北宜昌卷第10題、甘肅蘭州卷第14題等，這些試題體現(xiàn)了實(shí)際生活與數(shù)學(xué)相聯(lián)系的特點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)既源于生活，又應(yīng)用于生活.

2. 用坐標(biāo)表示圖形的性質(zhì)

例2 （天津卷）如圖3，△OAB的頂點(diǎn)O（0，0），頂點(diǎn)A，B分別在第一、四象限，且AB⊥Ox，若AB = 6，OA = OB = 5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（? ）.

（A）（5，4） （B）（3，4）

（C）（5，3） （D）（4，3）

目標(biāo)解析：此題考查的是圖形的性質(zhì)與坐標(biāo)，以及學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力，旨在發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

解法分析：如圖4，設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)C.

因?yàn)镺A = OB，OC⊥ AB，AB = 6，

所以AC =[12]AB = 3.

由勾股定理，得OC =[OA2-AC2=52-32]= 4.

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3）.

故此題選擇D．

試題分析：此題是求點(diǎn)的坐標(biāo). 解題思路是先根據(jù)題意求出線(xiàn)段OC的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)的位置確定這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo). 解題過(guò)程中用到了等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)和勾股定理. 這類(lèi)試題的考查難度一般較小，但是涉及的圖形性質(zhì)較多，需要在熟練掌握?qǐng)D形性質(zhì)的基礎(chǔ)上求線(xiàn)段的長(zhǎng)度，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo).

類(lèi)題賞析：類(lèi)似地，青海卷第5題、吉林卷第12題、貴州銅仁卷第2題、貴州黔西南州卷第10題也考查了圖形的性質(zhì)與坐標(biāo)的知識(shí). 其中，吉林卷第12題還考查了圓的垂徑定理.

3. 用坐標(biāo)表示圖形的變化

（1）坐標(biāo)與圖形的對(duì)稱(chēng).

例3 （浙江·麗水卷）三個(gè)能夠重合的正六邊形的位置如圖5. 已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是（[-3]，3），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是? ? ? ?．

目標(biāo)解析：此題主要是用坐標(biāo)描述幾何圖形的對(duì)稱(chēng)性，考查學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

解法分析：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，可得點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng). 因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)是（[-3]，3），所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是（[3]，-3）. 故此題的答案為（[3]，-3）．

試題分析：此題中，利用正六邊形的對(duì)稱(chēng)性能夠知道點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng). 解決這類(lèi)試題既要能準(zhǔn)確判斷圖形的對(duì)稱(chēng)性，還要熟練掌握關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn).

類(lèi)題賞析：類(lèi)似地，浙江臺(tái)州卷第6題也考查了坐標(biāo)與圖形的對(duì)稱(chēng)的知識(shí).

（2）坐標(biāo)與圖形的平移.

例4 （山東·臨沂卷）如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（0，2），B（2，-1）. 平移△ABC得到△A′B′C′，若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-1，0），則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是

目標(biāo)解析：此題考查的是用坐標(biāo)描述圖形的平移. 這類(lèi)試題利用平面直角坐標(biāo)系將幾何與代數(shù)完美地結(jié)合在了一起，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

解法分析：由題意可知，將點(diǎn)A從（0，2）平移至（-1，0），可以看作是將△ABC先向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（或者先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度）. 再由點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（2，-1），可得平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′（1，-3）. 故此題的答案為（1，-3）．

試題分析：此題由點(diǎn)A的平移可以判斷出點(diǎn)B的平移規(guī)律，從而利用平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題. 解決這類(lèi)試題最重要的是掌握平移的性質(zhì)和平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律.

類(lèi)題賞析：類(lèi)似地，山東泰安卷第14題、遼寧大連卷第13題、廣西百色卷第10題、山東威海卷第6題等也考查了坐標(biāo)與圖形平移的知識(shí)點(diǎn). 其中，山東泰安卷第14題需要利用平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行的性質(zhì)，可以看作將線(xiàn)段DC平移到線(xiàn)段AB，從而利用平移的性質(zhì)解決問(wèn)題.

（3）坐標(biāo)與圖形的旋轉(zhuǎn).

例5 （黑龍江·綏化卷）如圖7，線(xiàn)段OA在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)A坐標(biāo)為A（2，5），線(xiàn)段OA繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線(xiàn)段OA′，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（? ）.

目標(biāo)解析：此題考查的是用坐標(biāo)描述圖形的旋轉(zhuǎn). 學(xué)生在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，體會(huì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)思維的深刻性，彰顯數(shù)學(xué)的本質(zhì).

解法分析：如圖8，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥Ox于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A′作A′C⊥Ox于點(diǎn)C.

因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為A（2，5），

所以O(shè)B = 2，AB = 5.

由題意，得∠AOA′ = 90°，OA = OA′．

所以∠AOB + ∠A′OC = 90°．

因?yàn)椤螦′OC + ∠A′ = 90°，

所以∠A′ = ∠AOB．

在△A′OC和△OAB中，

因?yàn)閇∠A′= ∠AOB，∠A′CO=∠OBA=90°，OA′=AO，]

所以△A′OC ≌ △OAB（AAS）．

所以A′C = OB = 2，OC = AB = 5.

所以點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-5，2）．

故此題選擇A．

試題分析：此題是在過(guò)點(diǎn)A作AB⊥Ox于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A′作A′C⊥Ox于點(diǎn)C后，利用“一線(xiàn)三等角”和三角形全等，求出A′C和OC的長(zhǎng)度，從而得出點(diǎn)A′的坐標(biāo). 這類(lèi)試題往往具有以下特點(diǎn)：（1）旋轉(zhuǎn)角度為特殊角或者旋轉(zhuǎn)到某個(gè)特殊位置；（2）問(wèn)題設(shè)置一般是求圖形旋轉(zhuǎn)前后點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）有時(shí)會(huì)在網(wǎng)格的背景下進(jìn)行旋轉(zhuǎn). 解決這類(lèi)試題常作的輔助線(xiàn)是過(guò)某點(diǎn)向x軸或y軸作垂線(xiàn)，利用圖形的性質(zhì)求解相應(yīng)的線(xiàn)段長(zhǎng)度，這是解題的關(guān)鍵. 這里要注意抓住旋轉(zhuǎn)的兩大特點(diǎn)：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)所夾的角相等. 解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)還經(jīng)常會(huì)用到三角形全等的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí).

類(lèi)題賞析：類(lèi)似地，江蘇蘇州卷第8題、黑龍江牡丹江卷第19題、四川內(nèi)江卷第9題、湖南湘潭卷第17題也考查了坐標(biāo)與圖形旋轉(zhuǎn)的知識(shí)點(diǎn). 其中，江蘇蘇州卷第8題要分別過(guò)點(diǎn)C作x軸、y軸的垂線(xiàn)段，然后利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理，把相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度用含m的代數(shù)式進(jìn)行表示，再利用線(xiàn)段之間的關(guān)系建立方程模型，求出m的值．

（4）坐標(biāo)與圖形的位似.

例6 （貴州·黔西南州卷）如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB與△OCD位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O. 若點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（2，0），則△OAB與△OCD周長(zhǎng)的比值是? ? ? ?．

目標(biāo)解析：此題考查的是用坐標(biāo)描述圖形的位似，以及學(xué)生的識(shí)圖能力，旨在發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

解法分析：因?yàn)椤鱋AB與△OCD位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，而點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（2，0），

所以相似比為4∶2 = 2∶1.

所以△OAB與△OCD周長(zhǎng)的比值為2．

故此題的答案為2．

試題分析：此題考查平面直角坐標(biāo)系中的圖形位似的問(wèn)題. 如果位似變化是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之比等于k或-k．熟練掌握位似變化前后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.

類(lèi)題賞析：類(lèi)似地，四川巴中卷第6題也考查了位似圖形與平面直角坐標(biāo)系相結(jié)合的問(wèn)題.

（5）坐標(biāo)與銳角三角函數(shù).

例7 （湖北·荊州卷）如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC∶BC = 1∶2，連接AC，過(guò)點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（? ? ）.

（A） [33] （B） [22]

（C） [13] （D） 3

目標(biāo)解析：此題屬于圖形的變化與坐標(biāo)的內(nèi)容，這里主要考查的是坐標(biāo)與銳角三角函數(shù)的結(jié)合.

解法分析：如圖11，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥Ox于點(diǎn)Q，

因?yàn)镺P∥AB，

所以∠CAB = ∠CPO，∠ABC = ∠COP.

所以△OCP ∽ △BCA.

所以CP∶AC = OC∶BC = 1∶2 .

因?yàn)椤螦OC = ∠AQP = 90°，

所以CO∥PQ.

所以O(shè)Q∶AO = CP∶AC = 1∶2 .

因?yàn)镻（1，1），所以PQ = OQ = 1.

所以AO = 2.

所以tan∠OAP =[PQAQ=12+1=13].

故此題答案選C.

試題分析：解決這類(lèi)試題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件發(fā)現(xiàn)圖形中的相似或全等模型，利用常用的輔助線(xiàn)作法“向坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)”構(gòu)建直角三角形，利用圖形的性質(zhì)求解相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度，然后利用銳角三角函數(shù)的定義解決問(wèn)題.

類(lèi)題賞析：四川瀘州卷第11題也考查了平面直角坐標(biāo)系與銳角三角函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題.

4. 用坐標(biāo)表示動(dòng)點(diǎn)的變化規(guī)律

例8 （河南卷）如圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，AB∥Ox，交y軸于點(diǎn)P. 將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2 022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（? ）.

（A）（[3]，-1） （B）（-1，[-3]）

（C）（[-3]，-1） （D）（1，[3]）

目標(biāo)解析：此題主要考查點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與坐標(biāo)的變化規(guī)律，以及學(xué)生的觀察能力、推理能力、歸納概括能力等，屬于綜合類(lèi)試題.

解法分析：如圖13，由正六邊形的性質(zhì)可得A（1，[3]）. 再由每次旋轉(zhuǎn)90°，可知每旋轉(zhuǎn)4次為一個(gè)循環(huán). 由2 022 ÷ 4 = 505…2，可知點(diǎn)A2 022與點(diǎn)A2重合，故求出點(diǎn)A2的坐標(biāo)可得答案. 因?yàn)辄c(diǎn)A2與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，所以A2（-1，[-3]）. 因此第2 022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，[-3]）. 故此題答案選B.

試題分析：此題以正六邊形為背景，由正六邊形的性質(zhì)可以得出坐標(biāo)的變化規(guī)律．解決這類(lèi)試題的關(guān)鍵是正確識(shí)別圖形，利用圖形的性質(zhì)等知識(shí)找到動(dòng)點(diǎn)的變化規(guī)律，難度較大.

類(lèi)題賞析：類(lèi)似地，黑龍江齊齊哈爾卷第17題、貴州畢節(jié)卷第20題、湖北荊門(mén)卷第15題、貴州黔西南州卷第20題、山東菏澤卷第14題也都考查了坐標(biāo)與動(dòng)點(diǎn)的變化規(guī)律. 其中，黑龍江齊齊哈爾卷第17題先利用函數(shù)解析式可得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，從而得出∠BAO = 30°，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的定義，得出點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，最終得到答案.

5. 用坐標(biāo)表示動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象

例9 （山東·濰坊卷）如圖14，在[?]ABCD中，∠A = 60°，AB = 2，AD = 1，點(diǎn)E，F(xiàn)在?ABCD的邊上，從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，分別沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止，線(xiàn)段EF掃過(guò)區(qū)域的面積記為y，運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為x，能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（? ）.

目標(biāo)解析：此題主要考查的是動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象問(wèn)題. 這類(lèi)試題考查學(xué)生的畫(huà)圖、識(shí)圖能力，以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于綜合類(lèi)試題，難度較大.

解法分析：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H. 如圖15，當(dāng)0 ≤ x ≤ 1時(shí)，在Rt△FAH中，AF = x，∠A = 60°，則FH = AF·sin A =[32]x. 所以線(xiàn)段EF掃過(guò)區(qū)域的面積y =[12]x·[32]x =[34]x2，圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)的一部分.

如圖16，當(dāng)1 < x ≤ 2時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AB于點(diǎn)P，則DP = AD·sin A =[32]. 所以線(xiàn)段EF掃過(guò)區(qū)域的面積y =[12]（x - 1 + x） ×[32]=[32x]-[34]，圖象是y隨x的增大而增大的線(xiàn)段.

如圖17，當(dāng)2 < x ≤ 3時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD于點(diǎn)G，則CE = CF = 3 - x. 所以EG =[32]（3 - x）. 所以線(xiàn)段EF掃過(guò)區(qū)域的面積y = 2 ×[32-12]（3 - x） ×[32]（3 - x） =[3-34]（3 - x）2，圖象是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)的一部分.

試題分析：此題以平行四邊形為背景，考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的函數(shù)圖象、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，具有較強(qiáng)的綜合性. 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的特點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分類(lèi)討論，通過(guò)分析各個(gè)時(shí)間段的圖形特點(diǎn)，分別寫(xiě)出各個(gè)時(shí)間段的函數(shù)表達(dá)式. 在考場(chǎng)上，對(duì)于此類(lèi)選擇題，有時(shí)候并不需要寫(xiě)出最終的函數(shù)表達(dá)式，可以通過(guò)排除法判斷各個(gè)時(shí)間段的函數(shù)圖象特點(diǎn)，從而得出答案.

類(lèi)題賞析：遼寧鞍山卷第8題、山東菏澤卷第8題、內(nèi)蒙古鄂爾多斯卷第10題都考查了動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象問(wèn)題.

6. 平面直角坐標(biāo)系中圖形性質(zhì)與函數(shù)圖象的綜合問(wèn)題

例10 （四川·瀘州卷）如圖18，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，4），四邊形ABEF是菱形，且tan∠ABE =[43]. 若直線(xiàn)l把矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，則直線(xiàn)l的解析式為（? ）.

（A）y = 3x （B）y =[-34x+152]

（C）y = -2x + 11 （D）y = -2x + 12

目標(biāo)解析：此題考查的是坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和函數(shù)圖象相結(jié)合的綜合問(wèn)題. 這類(lèi)試題考查了學(xué)生的推理能力及建立函數(shù)模型的能力，是對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度考查.

解法分析：如圖19，連接OB，AC，交于點(diǎn)M，連接AE，BF，交于點(diǎn)N，則直線(xiàn)MN為符合條件的直線(xiàn)l.

因?yàn)樗倪呅蜲ABC是矩形，所以O(shè)M = BM．

因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為B（10，4），

所以M（5，2），AB = 10，BC = 4．

因?yàn)樗倪呅蜛BEF為菱形，所以BE = AB = 10．

過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，

在Rt△BEG中，因?yàn)閠an∠ABE =[43]，所以[EGBG=43].

設(shè)EG = 4k，則BG = 3k.

所以BE =[EG2+BG2]= 5k.

因?yàn)?k = 10，所以k = 2.

所以EG = 8，BG = 6. 所以AG = 4．

所以E（4，12）．

因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為B（10，4），且AB∥Ox，

所以A（0，4）．

因?yàn)辄c(diǎn)N為AE的中點(diǎn)，所以N（2，8）．

設(shè)直線(xiàn)l的解析式為y = ax + b（a ≠ 0），

所以[5a+b=2，2a+b=8.] 解得[a=-2，b=12.]

所以直線(xiàn)l的解析式為y = -2x + 12.

故此題選擇D．

試題分析：此題要平分一個(gè)矩形和一個(gè)菱形所組合圖形的面積，利用兩個(gè)圖形的中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，分別求出矩形OABC和菱形ABEF的中心的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，求經(jīng)過(guò)兩個(gè)圖形中心的直線(xiàn)解析式即可得到答案. 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用圖形的性質(zhì)和函數(shù)圖象性質(zhì)求解出特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，難度較大.

類(lèi)題賞析：類(lèi)似地，黑龍江齊齊哈爾卷第15題、浙江紹興卷第15題、浙江寧波卷第16題、四川樂(lè)山卷第16題等，都考查了平面直角坐標(biāo)系中的綜合問(wèn)題.

7. 平面直角坐標(biāo)系中的作圖問(wèn)題

例11 （廣西·河池卷）如圖20，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

（1）畫(huà)出與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1；

（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)畫(huà)一個(gè)△A2B2C2，使它與△ABC的相似比為2∶1，并寫(xiě)出點(diǎn)B2的坐標(biāo)．

目標(biāo)解析：此題考查了在平面直角坐標(biāo)系和網(wǎng)格中的作圖問(wèn)題. 此題既考查了作軸對(duì)稱(chēng)圖形和位似圖形. 除此之外，還可以考查作中心對(duì)稱(chēng)圖形、旋轉(zhuǎn)后的圖形等. 這類(lèi)試題主要考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力，要想畫(huà)出準(zhǔn)確的圖形，必須熟練掌握?qǐng)D形的性質(zhì).

解法分析：（1）如圖21，△A1B1C1為所求；

（2）如圖21，△A2B2C2為所求，點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（-4，-6）.

試題分析：此類(lèi)試題還可以與圓的知識(shí)結(jié)合，如弧長(zhǎng)公式、扇形的面積等. 解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)D形變化前后的坐標(biāo)變化規(guī)律，先確定關(guān)鍵點(diǎn)，再確定圖形.

類(lèi)題賞析：陜西卷第19題、黑龍江龍東地區(qū)卷第22題也考查了在平面直角坐標(biāo)系和網(wǎng)格中的作圖問(wèn)題.

三、復(fù)習(xí)備考建議

1. 注重基礎(chǔ)，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)

“圖形與坐標(biāo)”這部分內(nèi)容的本質(zhì)是用坐標(biāo)表達(dá)圖形的性質(zhì)和圖形的對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、平移變化的規(guī)律. 在中考復(fù)習(xí)備考時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重基礎(chǔ)知識(shí). 學(xué)生要熟練掌握三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形等基本圖形的性質(zhì)；充分理解平面直角坐標(biāo)系中各象限點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，以及將圖形進(jìn)行對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)變化時(shí)坐標(biāo)的變化規(guī)律；要熟練掌握建立平面直角坐標(biāo)系、描點(diǎn)、畫(huà)圖等基本操作. 復(fù)習(xí)這些基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，要以教材為主，充分發(fā)揮教材的導(dǎo)向作用；要重視坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和變化等知識(shí)之間的聯(lián)系，從“大單元”的角度深度學(xué)習(xí)，注重知識(shí)的整體性. 教師要引導(dǎo)學(xué)生用好平面直角坐標(biāo)系這個(gè)聯(lián)系代數(shù)和幾何的橋梁，能用代數(shù)方法表達(dá)圖形的性質(zhì)和變化.

例如，內(nèi)蒙古赤峰卷第18題考查了拋物線(xiàn)與[x]軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí). 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)等數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)容．解決此題不僅要利用數(shù)形結(jié)合思想直觀感知試題中的一些關(guān)系，而且要注意利用二次函數(shù)進(jìn)行計(jì)算和說(shuō)理時(shí)，需要在求函數(shù)解析式的基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理，從而探究出所求點(diǎn)的坐標(biāo). 這也落實(shí)了《標(biāo)準(zhǔn)》中的新增內(nèi)容——了解代數(shù)推理.

2. 注重方法，提高思維品質(zhì)

眾所周知，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)是思維的體操. 數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)之一是要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)感知、觀察、歸納、類(lèi)比、想象、抽象、概括、推理、證明和反思的邏輯思考的基本方法.

對(duì)于“圖形與坐標(biāo)”這部分內(nèi)容，在復(fù)習(xí)備考時(shí)，要注意解題方法的提煉. 在解題時(shí)，要注意對(duì)條件展開(kāi)合理的聯(lián)想，形成條件關(guān)系網(wǎng). 例如，看到求點(diǎn)的坐標(biāo)的題目，對(duì)條件展開(kāi)聯(lián)想：能否作坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)？能否構(gòu)造三角形全等或相似？能否利用勾股定理建立方程？對(duì)于給出的一個(gè)問(wèn)題需要嘗試從不同的角度去思考，從而得出不同的解決問(wèn)題的方法.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷優(yōu)化的過(guò)程，只有通過(guò)不同方法的比較，才能優(yōu)化解題的思路. 在平時(shí)做題時(shí)，學(xué)生要注意總結(jié)如何思考、如何轉(zhuǎn)化、如何作輔助線(xiàn)等問(wèn)題，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)超越具體的知識(shí)和技能，由反思解決具體題目的過(guò)程和方法，過(guò)渡到提煉出一般性的思維策略，在訓(xùn)練過(guò)程中把邏輯思維能力推向多方向、多層次，舉一反三，觸類(lèi)旁通，從題海中解脫出來(lái)，從而減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)思維的品質(zhì).

3. 注重理解，提升運(yùn)算能力

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：運(yùn)算能力，主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力. 能夠明晰運(yùn)算的對(duì)象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系；能夠理解運(yùn)算的問(wèn)題，選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問(wèn)題；能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的發(fā)展，運(yùn)算能力有助于形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.

“圖形與坐標(biāo)”這部分的試題往往需要結(jié)合勾股定理、銳角三角函數(shù)、三角形全等或相似、圓的相關(guān)性質(zhì)、弧長(zhǎng)和扇形面積公式等知識(shí)，求解相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度或圖形的面積. 在這個(gè)過(guò)程中會(huì)應(yīng)用到解方程、二次根式的化簡(jiǎn)、銳角三角函數(shù)的計(jì)算等代數(shù)推理. 因此，提升運(yùn)算能力對(duì)這部分試題的解答會(huì)有很大的幫助. 在復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，要認(rèn)真總結(jié)運(yùn)算錯(cuò)誤的原因，如公式記憶不準(zhǔn)、缺乏簡(jiǎn)便運(yùn)算的技巧、算理不清等. 例如，對(duì)弧長(zhǎng)及扇形面積公式記憶不準(zhǔn)確，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤. 對(duì)此，在學(xué)習(xí)時(shí)要重視公式的形成過(guò)程，在徹底了解公式的來(lái)龍去脈后，對(duì)公式的記憶會(huì)更加準(zhǔn)確，即便生疏了，自己也能推導(dǎo)出來(lái). 又如，用勾股定理計(jì)算PA7 =[242-122]，可以運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，即[242-122=24+12×24-12=][36×12=123]. 這樣的運(yùn)算過(guò)程顯然計(jì)算量更小，不易出錯(cuò). 所以在學(xué)習(xí)平方差公式或者勾股定理的課程時(shí)，要注意掌握類(lèi)似的計(jì)算方法，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性，從而提升運(yùn)算能力.

四、典型模擬題

以上總結(jié)了2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷針對(duì)“圖形與坐標(biāo)”這一模塊的考查方向，下面向大家展示四道模擬試題，有不妥之處，還望各位同仁批評(píng)指正.

1. 點(diǎn)[M-tan60°，cos45°]關(guān)于[x]軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（? ? ）.

（A）[32， 12] （B）[-33，-12]

（C）[-3， 22] （D）[-3，-22]

答案：D.

【評(píng)析】此題將點(diǎn)的坐標(biāo)與三角函數(shù)相結(jié)合，考查了學(xué)生對(duì)相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況.

2. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y = 2x + 3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（? ? ）.

（A）（0，3） （B）（3，0）

（C）[0，-32] （D）[-32，0]

答案：D.

【評(píng)析】此題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，是對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查.

3. 如圖22，矩形[OABC]的頂點(diǎn)[O]與原點(diǎn)重合，點(diǎn)[A]，[C]分別在[x]軸，[y]軸上，點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[B-5，4]，點(diǎn)[D]為邊[BC]上一動(dòng)點(diǎn)，連接[OD]，若線(xiàn)段[OD]繞點(diǎn)[D]順時(shí)針旋轉(zhuǎn)[90°]后，點(diǎn)[O]恰好落在邊[AB]上的點(diǎn)[E]處，則點(diǎn)[E]的坐標(biāo)為（? ? ）.

（A）[-5，3] （B）[-5，4]

（C）[-5， 52] （D）[-5，2]

答案：A.

【評(píng)析】解決此題可以利用三角形全等得到BE = CD = 1，從而求得點(diǎn)[E]的坐標(biāo). 一般地，在求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，往往可以轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)段的長(zhǎng)度，進(jìn)而借助三角形全等或相似、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)構(gòu)建方程求解.

4. 如圖23，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)[A0，2]為位似中心，在[y]軸右側(cè)作將[△ABC]放大2倍后的位似圖形[△AB′C′]，若點(diǎn)[C]的坐標(biāo)為[C-3，4]，則點(diǎn)[C]的對(duì)應(yīng)點(diǎn)[C′]的坐標(biāo)為（? ? ）.

（A）[-6，8] （B）[6，-8]

（C）[6，-2] （D）[6，-4]

答案：C.

【評(píng)析】此題對(duì)學(xué)生的能力要求較高，可以借助三角形的相似，將求點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長(zhǎng)；也可以先將圖形平移，使位似中心平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，以原點(diǎn)為位似中心求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將圖形平移回原位即可.

參考文獻(xiàn)：

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［2］王晶晶. 深研細(xì)究? 尋求根本：2021年中考“圖形與坐標(biāo)”專(zhuān)題解題分析［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2022（3）：20-27.

［3］張新民，李思蒙. 數(shù)形結(jié)合，舞動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)：2020年中考“圖形與坐標(biāo)”專(zhuān)題解題分析［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2021（3）：6-9.

［4］章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄（下卷）［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

作者簡(jiǎn)介：繳志清（1961— ），男，正高級(jí)教師，主要從事課程、教學(xué)與考試評(píng)價(jià)研究；

郝旭嵐（1971— ），女，高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.