李平香

（1.三明市第二中學(xué)，福建 三明 365000；2.福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所，福建 福州 350001）

涂榮豹教授指出：所謂“探究”，顧名思義就是要“探”要“究”.何為“探”？試探、摸索、探索，不知前方深淺曲折，摸索前進(jìn)，“摸著石頭過(guò)河”；何為“究”？深究、追究、窮究，非得弄個(gè)明白，搞個(gè)水落石出不可，不達(dá)目的誓不罷休.［1］“探究”要如何“探”才能預(yù)知前方深淺曲折呢？摸著哪些“石頭”才能順利“過(guò)河”呢？要“究”什么才能“水落石出”“達(dá)到目的”呢？章建躍博士指出：“大概念”對(duì)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式對(duì)事物進(jìn)行觀察、思考、分析以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題等都具有“指路明燈”的作用.所謂大概念（big idea）就是對(duì)內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進(jìn)一步提煉和概括，是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義方式、幾何性質(zhì)指什么、代數(shù)性質(zhì)指什么、函數(shù)性質(zhì)指什么、概率性質(zhì)指什么等問(wèn)題的一般性回答，是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法論［2］.

這一輪課改的顯著特征是“強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的整體性，以具有整體性的知識(shí)單元為載體，從知識(shí)的聯(lián)系性出發(fā)進(jìn)行‘單元—課時(shí)’教學(xué)設(shè)計(jì)與開(kāi)展課堂教學(xué)”.［3］“單—課時(shí)”整體教學(xué)的難點(diǎn)在于如何將核心素養(yǎng)落實(shí)到教學(xué)中，以“什么”作為統(tǒng)領(lǐng)單元整體教學(xué)的具體目標(biāo).于是，理論界和實(shí)踐界都將目光聚焦到大概念，但是，如何把大概念引領(lǐng)下的“單元—課時(shí)”教學(xué)等“理想課程”“理想觀點(diǎn)”落實(shí)在“課時(shí)”的課堂教學(xué)中，這需要一線教師努力提升專業(yè)發(fā)展水平，提升教學(xué)設(shè)計(jì)能力，增強(qiáng)課堂實(shí)踐能力，通過(guò)大概念揭示教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系，把基于數(shù)學(xué)整體性的“單元—課時(shí)”教學(xué)進(jìn)行積極實(shí)踐，不斷提供有參考價(jià)值的實(shí)踐課例.本文以《直線與平面垂直的定義、判定》為例，談?wù)動(dòng)么蟾拍钜I(lǐng)的數(shù)學(xué)探究的教學(xué).

一、創(chuàng)設(shè)情境明確研究對(duì)象，進(jìn)行“單元整體”的探究

問(wèn)題1：你能從圖1、圖2 中交警執(zhí)勤的場(chǎng)景、姿勢(shì)、動(dòng)作等現(xiàn)場(chǎng)情境中抽象出直線與平面的位置關(guān)系嗎？

圖1

圖2

追問(wèn)1：你能在教室內(nèi)找到直線與平面相交的實(shí)例嗎？

追問(wèn)2：直線與平面的相交方式有幾種？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在交警執(zhí)勤的場(chǎng)景、姿勢(shì)、動(dòng)作的現(xiàn)實(shí)情境中，抽象出直線與平面的位置關(guān)系，用生活實(shí)例直觀地認(rèn)識(shí)直線與平面相交的兩種方式：垂直交與斜交，獲取研究對(duì)象，明確“為什么學(xué)”.

問(wèn)題2：“直線與平面垂直”與上一節(jié)學(xué)習(xí)的“直線與平面平行”都是研究?jī)深?lèi)不同維數(shù)空間基本圖形的位置關(guān)系，根據(jù)研究對(duì)象的這一共同特點(diǎn)，類(lèi)比“直線與平面平行”，你認(rèn)為要具體研究“直線與平面垂直”的哪些內(nèi)容？按怎樣的過(guò)程展開(kāi)研究？采取什么研究方法？

【師生活動(dòng)】讓學(xué)生回顧總結(jié)直線與平面平行關(guān)系的研究?jī)?nèi)容、研究方法，教師幫助完善.研究?jī)?nèi)容是直線與平面垂直的定義、判定、性質(zhì)等；研究過(guò)程是沿著“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證—度量計(jì)算”的認(rèn)知展開(kāi)；研究方法是“把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題”即“平面化”，這也是學(xué)習(xí)立體幾何問(wèn)題的基本方法.

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)“直線與平面垂直”是研究?jī)深?lèi)不同維數(shù)空間基本圖形的位置關(guān)系這一特征，找到與其具有類(lèi)似結(jié)構(gòu)的“直線與平面平行”一課進(jìn)行關(guān)聯(lián)思考和整體設(shè)計(jì)，明確具體要研究“直線與平面垂直”的定義、判定與性質(zhì)等內(nèi)容，設(shè)計(jì)研究思路，尋找研究方法，讓學(xué)生進(jìn)一步明確“學(xué)什么”“怎么學(xué)”，整體規(guī)劃直線與平面垂直的學(xué)習(xí)與探究活動(dòng).

二、揭示現(xiàn)實(shí)生活現(xiàn)象本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“從無(wú)到有”的探究

問(wèn)題3：研究一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象，定義是出發(fā)點(diǎn).那么，該如何對(duì)“直線與平面垂直”下定義呢？

追問(wèn)1：你還能舉出生活中直線與平面相交的例子嗎？日常生活中，人們是如何刻畫(huà)直線與平面斜交與垂直交呢？

【師生活動(dòng)】學(xué)生說(shuō)出了一些實(shí)例后，教師展示圖3、圖4，意在提示學(xué)生日常生活中對(duì)直線與平面斜交與垂直交的具體刻畫(huà).如圖3，比薩斜塔是“斜”的，即斜塔向地面的某一面傾斜；如圖4，旗桿是“直”的，即“旗桿沒(méi)有向地面的任何一面傾斜”.進(jìn)而提煉：生活中對(duì)直線與平面斜交的刻畫(huà)是直線向平面的某一面傾斜，或直線歪向平面的某一面；生活中對(duì)直線與平面垂直交的刻畫(huà)是“不斜”“不歪”，即直線不向平面的任何一面傾斜，或者說(shuō)直線不歪向平面的任何一面.事實(shí)上，一條直線不向平面的任何一面傾斜，則直線與平面垂直，這也是18 世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家克萊羅在《幾何基礎(chǔ)》中對(duì)直線與平面垂直的定義.

圖3

圖4

追問(wèn)2：“直線與平面垂直”“直線與平面平行”都是研究?jī)深?lèi)不同維數(shù)空間基本圖形的特殊位置關(guān)系.請(qǐng)回顧“直線與平面平行”的定義，定義中蘊(yùn)藏的思維方法、思想方法是什么？

【師生活動(dòng)】學(xué)生回顧，教師補(bǔ)充并用課件展示，尤其注意挖掘內(nèi)隱的思想方法：“降維”“平面化”.

追問(wèn)3：如圖4，如何“數(shù)學(xué)地”刻畫(huà)旗桿的“直”呢？

【師生活動(dòng)】讓學(xué)生觀察陽(yáng)光下直立于地面的旗桿（圖4），隨著時(shí)間的變化，旗桿影子所在的直線也在不斷地變化，但旗桿所在直線與其影子所在直線形成的位置關(guān)系中出現(xiàn)確定的垂直關(guān)系.進(jìn)而，提出猜想：“若一條直線垂直于平面，則這條直線垂直于該平面內(nèi)與這條直線相交的所有直線”.然后，設(shè)計(jì)試驗(yàn)進(jìn)行操作確認(rèn).

問(wèn)題4：如圖6，在手機(jī)手電筒移動(dòng)光源的照射下，觀察直立于桌面的不透明圓柱體水杯AB及它在桌面的影子BC.隨著光源的移動(dòng)變化，影子BC的位置也在不斷地變化，觀察并檢驗(yàn)水杯所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直？

圖6

【師生活動(dòng)】請(qǐng)同學(xué)甲用手機(jī)手電筒光源照射水杯，同學(xué)乙拿著白板筆與直尺畫(huà)出水杯在桌面上的影子所在的直線，同學(xué)丙用直角尺驗(yàn)證垂直.隨著光源的移動(dòng)變化，影子BC的位置也在不斷地變化，水杯所在直線AB與其影子BC所在直線總保持垂直.這樣就確認(rèn)了：“若一條直線垂直于平面，則這條直線垂直于該平面內(nèi)與這條直線相交的所有直線.”

追問(wèn)：我們知道數(shù)學(xué)定義是充要條件.接下來(lái)，同學(xué)們要驗(yàn)證什么？又該如何操作確認(rèn)呢？

【師生活動(dòng)】根據(jù)充要條件的雙向性，學(xué)生知道要驗(yàn)證：“若一條直線垂直于平面內(nèi)與這條直線相交的所有直線，則這條直線垂直于該平面.”依據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面”，教師拿著直角三角板，并將其繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)，用動(dòng)作演示并滲透研究“某種位置關(guān)系性質(zhì)”的思想方法，就是探索在這種位置關(guān)系下的幾何圖形組成元素之間以及與其他同類(lèi)幾何圖形所形成的位置關(guān)系中出現(xiàn)的確定關(guān)系（不變性）.具體方法是讓“其他幾何圖形”動(dòng)起來(lái)，看“變化中的不變性”.

問(wèn)題5：如圖7，將PA 繞直角邊PO旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，什么位置關(guān)系沒(méi)有發(fā)生改變？圓錐的軸與底面垂直嗎？

圖7

【師生活動(dòng)】讓學(xué)生先用直角三角板操作確認(rèn)，教師再用課件動(dòng)畫(huà)演示，觀察得到結(jié)論：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直角三角形的兩條直角邊PO，OA的垂直關(guān)系始終沒(méi)有改變，又圓錐的軸與底面垂直.這樣就確認(rèn)了：“若一條直線垂直于平面上與該直線相交的所有直線，則該直線與平面垂直.”

追問(wèn)1：你能?chē)L試給直線與平面垂直下定義嗎？

【師生活動(dòng)】通過(guò)上面的操作確認(rèn)，學(xué)生能抽象概括直線與平面垂直的定義：“若一條直線垂直于平面上與該直線相交的所有直線，則該直線與平面垂直.”事實(shí)上，這也是歐幾里得《幾何原本》中線面垂直的定義.學(xué)生進(jìn)一步會(huì)想到：對(duì)于平面上不過(guò)點(diǎn)B的任意一條直線也與該直線垂直嗎？答案是肯定的，因?yàn)閷?duì)于平面上不過(guò)點(diǎn)B的任意一條直線B′C′，總能在平面上找到過(guò)點(diǎn)B的一條直線與之平行（圖8），再根據(jù)異面直線垂直的定義可知AB⊥B′C′.因此，AB垂直于平面內(nèi)的任意一條直線.進(jìn)而，完善直線與平面垂直的定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任何一條直線，則直線垂直于平面.

圖8

追問(wèn)2：如何畫(huà)圖表示直線與平面垂直？又如何用符號(hào)表示？

【師生活動(dòng)】學(xué)生自由發(fā)言，并相互補(bǔ)充，教師在關(guān)鍵點(diǎn)處進(jìn)行點(diǎn)評(píng).

追問(wèn)3：請(qǐng)回顧總結(jié)直線與平面垂直定義的探究過(guò)程.

【師生活動(dòng)】學(xué)生回顧，教師補(bǔ)充并用流程圖展示外顯的探究歷程、內(nèi)隱的思維、思想、方法.

【設(shè)計(jì)意圖】用“比薩斜塔”的“斜”襯托“旗桿”的“直”，用“斜”的對(duì)立面——“不斜”“不歪”來(lái)刻畫(huà)直；用“降維”“平面化”，以及讓組成平面的基本元素——直線“動(dòng)”起來(lái)，觀察“變化中的不變性”等數(shù)學(xué)的方式方法研究“直”，經(jīng)歷“從無(wú)到有”的探究；濃縮直線與平面垂直定義發(fā)展的歷史過(guò)程，像專家一樣地思考，讓學(xué)生了解如何定義基本圖形的位置關(guān)系？定義一種位置關(guān)系要完成哪幾件事情.［1］

三、構(gòu)建判定定理的發(fā)現(xiàn)模式，呈現(xiàn)“從有到有”的探究

問(wèn)題6：用定義來(lái)判定直線與平面垂直方便嗎？“判定”要研究的問(wèn)題是什么？發(fā)現(xiàn)判定定理的思想方法是什么？

【師生活動(dòng)】學(xué)生容易感知：用定義可以判斷，但很難驗(yàn)證一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直.那么，尋找能判定直線與平面垂直的“更好用”“更簡(jiǎn)便”的方法就很有必要.教師再引導(dǎo)學(xué)生分析：“判定”要研究的問(wèn)題是尋找使直線與平面垂直成立的充分條件，發(fā)現(xiàn)判定定理的思想方法是從定義出發(fā)探究使“直線與平面垂直”所需要的“最少條件”.

追問(wèn)1：請(qǐng)觀察實(shí)物模型：教室內(nèi)相鄰墻面的柱子與地面的關(guān)系（圖10）；翻開(kāi)一本書(shū)立在桌面，書(shū)脊AB與桌面的關(guān)系（圖11）；直立的落地衣架桿與地面的關(guān)系（圖12）.從這些實(shí)物模型中直觀感知，猜想要滿足“什么條件”，才能使直線與平面垂直.

圖10

圖11

圖12

【師生活動(dòng)】學(xué)生從實(shí)物直觀得到充分感知，自然會(huì)提出猜想：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線垂直于平面.

追問(wèn)2：如何設(shè)計(jì)試驗(yàn)進(jìn)行操作確認(rèn)呢？請(qǐng)同學(xué)們用桌面上準(zhǔn)備好的3 張全等的硬卡紙三角形紙片ABC折紙確認(rèn).過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起來(lái)放置在桌面上（BD,BC與桌面接觸）.（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？為什么？（3）與桌面垂直的折痕AD能折出幾條？你能合理解釋嗎？

【師生活動(dòng)】讓學(xué)生帶著問(wèn)題動(dòng)手折紙確認(rèn)，獨(dú)立思考后，再進(jìn)行自由發(fā)言.得出結(jié)論：折痕AD不一定與桌面垂直（圖15）；當(dāng)且僅當(dāng)沿著底邊BC的高線折起，才能使折痕AD與桌面垂直，而且與桌面垂直的折痕AD有且只能折一條（圖16）；因?yàn)樵谕黄矫鎯?nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直（圖14），通過(guò)折紙?jiān)囼?yàn)，還操作確認(rèn)了這一結(jié)論可以推廣到空間，即過(guò)一點(diǎn)垂直與已知平面的直線有且只有一條.教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生定義垂線段、點(diǎn)到平面的距離（圖17）.

圖17

追問(wèn)3：通過(guò)上述操作確認(rèn)，你能得出直線與平面垂直的判定方法嗎？聯(lián)系基本事實(shí)中確定一個(gè)平面的方法，你能給自己得出的判定方法一個(gè)合理的解釋嗎？

【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，歸納判定方法，即“一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么直線與該平面垂直”，再聯(lián)想到基本事實(shí)的推論2，平面α可以看成是由兩條相交直線DB,DC所唯一確定的平面.所以，當(dāng)直線AD垂直與這兩條相交直線時(shí)，就能保證直線AD與平面α內(nèi)所有直線都垂直.學(xué)生自然也會(huì)想到：兩條相交直線可以確定一個(gè)平面，兩條平行線也可以確定一個(gè)平面，繼續(xù)追問(wèn).

追問(wèn)4：能把“兩條相交直線”改為“兩條平行線”嗎？你能從向量的角度解釋原因嗎？如果改為“無(wú)數(shù)條直線”呢？

【師生活動(dòng)】請(qǐng)學(xué)生用直角三角板進(jìn)行實(shí)物直觀演示（如圖18、圖19），采用“反例證偽法”很快能判斷改為“兩條平行線”“無(wú)數(shù)條直線”都不行.教師再引導(dǎo)學(xué)生從向量的角度進(jìn)行解釋，因?yàn)椤皟蓷l相交直線確定一個(gè)平面”與“平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量構(gòu)成一個(gè)基底”是等效的.如圖16，平面α可以看成是直線DB,DC確定的平面，因?yàn)椴还簿€，平面α也可以看成滿足的點(diǎn)P的集合；而當(dāng)兩條直線平行時(shí)，這兩條直線的方向向量也平行，兩個(gè)平行向量不能構(gòu)成基底，因?yàn)槲恢藐P(guān)系歸根到底是“方向的關(guān)系”，平行線的方向一致，所以，平行關(guān)系具有傳遞性，與方向相關(guān)的問(wèn)題中，平行線與一條直線等效［4］.因此，只增加直線的“數(shù)量”不行，關(guān)鍵要增加“方向”.

圖18

圖19

追問(wèn)5：請(qǐng)用文字、圖形、符號(hào)三種語(yǔ)言表示直線與平面垂直的判定定理.

【師生活動(dòng)】學(xué)生自由發(fā)言，教師補(bǔ)充并提煉注意點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生感知研究“判定”的必要性，明確“判定”要研究的問(wèn)題是尋找使直線與平面垂直的充分條件，發(fā)現(xiàn)判定定理的思想方法是從定義出發(fā)探究垂直關(guān)系所需要的“最少條件”，引導(dǎo)學(xué)生“回到定義去”，在“定義”的基礎(chǔ)上，去掉“冗余條件”，探究直線與平面垂直所需要的“最少條件”.讓學(xué)生“往回找根”“回到原始而不失重要的地方去”“回到基本事實(shí)去”［4］，對(duì)直線與平面垂直的判定進(jìn)行“從有到有”的探究，經(jīng)歷“化繁為簡(jiǎn)”“以簡(jiǎn)馭繁”的研究問(wèn)題的一般思路.

四、鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐求證，引導(dǎo)“從有到富有”的探究

問(wèn)題7：如圖21，如何驗(yàn)證門(mén)軸與地面垂直？與門(mén)軸平行的另一條邊與地面垂直嗎？由此，你可以得出什么猜想？請(qǐng)證明你的猜想.

圖21

【師生活動(dòng)】讓學(xué)生想到通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)門(mén)即可根據(jù)線面垂直的判定定理證明門(mén)軸與地面垂直.進(jìn)而，引導(dǎo)學(xué)生思考：既然門(mén)軸與地面垂直，那么，與門(mén)軸平行的另一條門(mén)的邊框所在的直線也與地面垂直，從而提出猜想：如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.

證明：如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.

【師生活動(dòng)】請(qǐng)學(xué)生先畫(huà)出圖形（如圖22），再用符號(hào)語(yǔ)言表示已知、求證，引導(dǎo)學(xué)生尋找證明思路要“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，溝通已知的條件和求證的結(jié)論，本題可以用判定定理證明（如圖23），也可以用定義證明（如圖24），再請(qǐng)學(xué)生規(guī)范書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程.

圖22

圖23

圖24

學(xué)生提問(wèn)：如圖21，注意到兩邊的門(mén)框所在直線與地面都垂直，兩邊的門(mén)框又互相平行.所以，提出猜想：垂直與同一平面的兩條直線平行.

【師生活動(dòng)】引導(dǎo)學(xué)生先分析上面猜想的研究起點(diǎn)是以a⊥α,b⊥α為大前提，研究目標(biāo)是直線a,b具有怎樣確定的位置關(guān)系，這是研究直線與平面垂直的性質(zhì)問(wèn)題，也是下一節(jié)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.教學(xué)中要讓學(xué)生明確什么是性質(zhì)？什么是判定？什么是數(shù)學(xué)定義？以直線與平面垂直位置關(guān)系為例，判定要研究的問(wèn)題是：探究已知的直線以及與平面有關(guān)的直線、平面要具備什么樣的位置關(guān)系時(shí)，該直線才與平面垂直；其性質(zhì)要研究的問(wèn)題是：探究在已知直線與平面垂直的情況下，與之有關(guān)的直線和平面具有什么樣確定的位置關(guān)系；定義是界定一類(lèi)對(duì)象的共同特征，這些特征是這類(lèi)對(duì)象的最基本性質(zhì).［5］

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生準(zhǔn)確分析已知求證、精確作圖、規(guī)范表達(dá)，體會(huì)空間平行與垂直之間的內(nèi)在聯(lián)系以及相互轉(zhuǎn)化，經(jīng)歷“從有到富有”的探究活動(dòng)，“富有”不僅僅是“數(shù)量”的豐富，還指“研究視角”的豐富.平行與垂直是整個(gè)定量幾何的基礎(chǔ)所在，所以，不論是研究平行還是垂直，都要既從平行又從垂直的視角進(jìn)行研究.同時(shí)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版2020 年修訂）》第一次對(duì)理解三種條件與性質(zhì)、判定和數(shù)學(xué)定義之間的關(guān)系提出了具體的教學(xué)要求.盡管學(xué)生在平面幾何的學(xué)習(xí)中學(xué)過(guò)許多數(shù)學(xué)定義、判定、性質(zhì)，但學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定義、判定、性質(zhì)到底要研究什么還是“不甚了了”，始終“朦朦朧朧”；通過(guò)上一節(jié)“空間直線、平面的平行”這一單元學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)定義、判定、性質(zhì)與三種條件的關(guān)系“似有所悟”.這里，再直觀、明確地呈現(xiàn)并加以對(duì)比，能幫助學(xué)生從“似有所悟”開(kāi)始走向“明朗清晰”.

本節(jié)課對(duì)直線與平面垂直的定義與判定的教學(xué)經(jīng)歷了“獲取對(duì)象，整體探究”“從無(wú)到有”“從有到有”“從有到富有”等探究活動(dòng).在“抽象數(shù)學(xué)對(duì)象-探索數(shù)學(xué)性質(zhì)—構(gòu)建知識(shí)體系”等大概念的引領(lǐng)下，先從現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景中獲取研究對(duì)象，再根據(jù)研究對(duì)象的特征（兩類(lèi)不同維數(shù)空間基本圖形的特殊位置關(guān)系），規(guī)劃研究?jī)?nèi)容、尋找研究方法、設(shè)計(jì)研究思路，進(jìn)行單元整體探究，讓學(xué)生明白“為什么學(xué)”“學(xué)什么”“怎么學(xué)”，構(gòu)建先行組織者，形成“導(dǎo)游圖”，確保在課時(shí)探究中能始終保持正確的學(xué)習(xí)路徑和明確的學(xué)習(xí)方向；在“幾何元素之間的確定關(guān)系就是性質(zhì)”等一般觀念的引領(lǐng)下，根據(jù)研究“某種位置關(guān)系性質(zhì)”的思想方法，就是讓組成平面的基本元素——直線“動(dòng)”起來(lái)，觀察“變化中的不變性”，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察“直”，用數(shù)學(xué)的思維分析“直”，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)“直”，經(jīng)歷“現(xiàn)象描述—本質(zhì)刻畫(huà)—精致完善”的抽象概括定義的過(guò)程，對(duì)定義進(jìn)行“從無(wú)到有”的探究；在“判定就是從定義出發(fā)探究垂直關(guān)系所需要的‘最少條件’”等一般觀念的引領(lǐng)下，讓學(xué)生“回到定義去”，“化繁為簡(jiǎn)”“以簡(jiǎn)馭繁”，在“定義”的基礎(chǔ)上，去掉“冗余條件”，“往回找根”“回到原始而不失重要的地方去”“回到基本事實(shí)去”［4］，對(duì)判定進(jìn)行“從有到有”的探究；在“判定是什么、性質(zhì)是什么、定義是什么”等一般觀念的引領(lǐng)下，讓學(xué)生體會(huì)空間平行與垂直之間的內(nèi)在聯(lián)系以及相互轉(zhuǎn)化，對(duì)平行與垂直的關(guān)系進(jìn)行“從有到富有”的探究，“富有”不僅僅是“數(shù)量”的豐富，還指“研究視角”的豐富.另一方面，在大概念的引領(lǐng)下，本節(jié)課的探究活動(dòng)都沿著“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的認(rèn)知過(guò)程展開(kāi)，在連續(xù)地、一脈相承地、同構(gòu)迭代的探究活動(dòng)中，讓學(xué)生有了“發(fā)現(xiàn)事物的眼光”“洞察本質(zhì)的智慧”“析解問(wèn)題的方法”，能自覺(jué)地運(yùn)用“大概念”指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.［6］