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        “等差數(shù)列”教學(xué)設(shè)計

        2023-02-27 21:47:51張娜
        新課程·上旬 2023年22期
        關(guān)鍵詞:定義概念情境

        張娜

        等差數(shù)列是一個古老的數(shù)學(xué)課題,在數(shù)學(xué)發(fā)展早期已有許多人研究過數(shù)列這一課題。古埃及數(shù)學(xué)文獻《萊因特紙草書》中就有相關(guān)的問題。其中一個問題的大意是:

        把100個面包分給5人,使每人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的七分之一是較小的兩份之和,則最小的一份為多少?

        在巴比倫晚期的《泥板文書》中也有按級遞減分物的等差數(shù)列問題,其中有一個問題大意是:

        10個兄弟分100兩銀子,長兄最多,依次減少相同數(shù)目。現(xiàn)知老八分得6兩,問相鄰兩兄弟相差多少?

        印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多在公元7世紀末給出了求末項公式。在我國公元5世紀寫成的《張丘建算經(jīng)》中,也曾得出這個公式。自張丘建之后,我國對等差數(shù)列的計算日趨重視,特別是在天文學(xué)和堆棧求積等問題的推動下,從對一般的等差數(shù)列的研究發(fā)展成為對高階等差數(shù)列的研究。在北宋沈括的《夢溪筆談》中,“垛積術(shù)”就是第一個關(guān)于高階等差數(shù)列的求積法。東漢時期的劉徽在《九章算術(shù)》中已經(jīng)提出求等差數(shù)列各項以及已知首項、末項和項數(shù)求公差的問題。南宋數(shù)學(xué)家楊輝豐富和發(fā)展了沈括的成果。元朝數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》和《算學(xué)啟蒙》中得到一系列重要的高階等差數(shù)列求和公式。朱世杰的垛積根差術(shù),全面地推進了宋元數(shù)學(xué)家在這方面的研究工作。

        【教學(xué)目標】

        (1)通過生活中的實例理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義,知道等差中項的概念。(2)能在具體的情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,能判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列。(3)會利用定義推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式,體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系。

        【教學(xué)重點】

        等差數(shù)列的概念和通項公式。

        【教學(xué)難點】

        (1)通過運算發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的規(guī)律以及規(guī)律的符號化表達。(2)等差數(shù)列通項公式的歸納。

        【教學(xué)過程】

        環(huán)節(jié)一:創(chuàng)設(shè)情境,形成概念

        在前面的學(xué)習(xí)中,我們已經(jīng)了解了數(shù)列的定義、表示方法,在了解了數(shù)列的一般概念后,我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列。

        請看下面幾個問題中的數(shù)列。

        情境1:北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成,最中間是圓形的天心石,圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板,從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為

        9,18,27,36,45,54,63,72,81. ①

        情境2:S,M,L,XL,XXL,XXXL型號的女裝上衣對應(yīng)的尺碼分別是

        38,40,42,44,46,48. ②

        情境3:測量某地垂直地面方向上海拔500? m以下的大氣溫度,得到從距離地面20 m起每升高100 m處的大氣溫度(單位:℃)依次為

        25.0,24.4,23.8,23.2,22.6. ③

        情境4:某人向銀行貸款a萬元,貸款時間為n年,如果個人貸款月利率為r,那么按照等額本金方式還款,他從某月開始,每月應(yīng)還本金b

        =萬元,每月支付給銀行的利息(單位:萬元)依次為

        ar,ar-br,ar-2br,ar-3br… ④

        問題1:對于情境1中的數(shù)列,你能通過運算發(fā)現(xiàn)其中的取值規(guī)律嗎?

        對于數(shù)列9,18,27,36,45,54,63,72,81,學(xué)生可能很自然地想到“9+9=18,18+9=27…72+9=81”,我們把這種表達方式改成了“18-9=9,27-18=9,81-72=9”,并在教科書“邊空”的提示中指出“改變表達方式使數(shù)列的取值規(guī)律更突出了”。然后,用字母代替數(shù)列中的具體項,得到a2-a1=9,a3-a2=9,a4-a3=9…從而使“規(guī)律”呈現(xiàn)出了一般性,由此就容易概括出這個數(shù)列的取值規(guī)律:從第2項起每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)9。緊接著我們追問:你能仿照數(shù)列①的運算規(guī)律寫出情境2、3、4中數(shù)列的一般規(guī)律嗎?

        在這個過程中,學(xué)生要自己驗證,發(fā)現(xiàn)其共同的規(guī)律:從第2項起每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)。我們在此強調(diào)同一個常數(shù)。

        在上述基礎(chǔ)上,我們引導(dǎo)學(xué)生進行共性歸納,然后再用嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言抽象出等差數(shù)列的概念。

        問題2:你能描述等差數(shù)列的概念嗎?

        我們得到了等差數(shù)列的定義:一般,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的差是同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列,這個常數(shù)叫作公差,通常用字母d表示。

        在教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生得出定義,并體會定義中的關(guān)鍵詞,讓學(xué)生把握定義的關(guān)鍵點,為等差數(shù)列的判斷提供依據(jù)和方法。

        追問1:你能從等差數(shù)列的定義中得出等差數(shù)列相鄰兩項的遞推關(guān)系嗎?

        我們從定義中可以發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列相鄰兩項的遞推關(guān)系:an-an-1=d(n>1)或an+1-an=d。我們用數(shù)學(xué)符號表示了等差數(shù)列,得到了遞推關(guān)系。

        追問2:你能從等差數(shù)列的定義中得出等差數(shù)列相鄰三項的遞推關(guān)系嗎?

        學(xué)生經(jīng)過分析也可以得出相鄰三項的遞推關(guān)系:an-an-1=an+1-an(n>1)即2an=an+1+an-1(n>1)。在教學(xué)過程中,我們要強調(diào)n的范圍,讓學(xué)生形成習(xí)慣,為之后數(shù)列的進一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ),體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴謹性。

        接著,從一般到特殊,我們研究只含三項的等差數(shù)列,給出了“等差中項”的定義及其性質(zhì)。

        問題3:若三個數(shù)a,A,b成等差數(shù)列,你能得到a,A,b的關(guān)系嗎?

        如果a,A,b成等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的定義,我們可以得出A=,我們稱A為a,b的等差中項,由此我們引入了等差中項的概念。從數(shù)值上看,等差中項等于首項與末項的算術(shù)平均數(shù),這可以看成等差數(shù)列的一個重要性質(zhì)。這里要特別強調(diào)“兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)”在等差數(shù)列研究中的重要意義。實際上,對于一般的等差數(shù)列中的相鄰三項,滿足2an=an+1+an-1(n>1),與追問2一致。

        環(huán)節(jié)二:利用概念,推導(dǎo)通項

        研究了等差數(shù)列的概念與遞推公式之后,緊接著我們就想去探究一下等差數(shù)列的通項公式。

        問題4:設(shè){an}是首項為a1,公差為d的等差數(shù)列,你能從等差數(shù)列的定義出發(fā)推出等差數(shù)列的通項公式嗎?

        推導(dǎo)1

        a2=a1+d

        a3=a1+2d

        a4=a1+3d

        ...

        an=a1+(n-1)d

        這是一種迭代的思想,屬于歸納推理,其正確性需之后的數(shù)學(xué)歸納法進一步驗證。

        推導(dǎo)2

        a2-a1=d

        a3-a2=d

        a4-a3=d

        ...

        an-an-1=d(n≥2)

        累加:an=a1+(n-1)d

        當(dāng)n=1時,a1亦滿足上式,所以an=a1+(n-1)d。

        環(huán)節(jié)三:典例分析,形式特征

        我們得到了等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d,在教學(xué)中我們引導(dǎo)學(xué)生分析通項公式,探究通項公式中涉及的量,引導(dǎo)學(xué)生知三求一,引導(dǎo)學(xué)生明確首項a1和公差d為兩個基本量,為之后建立方程的思想做準備。在這個過程中,我們可以通過具體例題加以體現(xiàn)基本量的方法。

        例1.(1)已知等差數(shù)列{an}的通項公式an=5-2n,求{an}的公差和首項及a5;

        (2)求等差數(shù)列2,5,8…的第20項及通項公式;

        (3)已知數(shù)列{an}的通項公式an=6,求{an}的公差d和首項及a5;

        (4)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13…的項?如果是,是第幾項?

        學(xué)生借助等差數(shù)列的定義及通項公式,可以得到:

        (1)d=an+1-an=5-2(n+1)-5+2n=-2,a5=-5;

        (2)由題知a1=2,d=a2-a1=3,

        所以通項公式為an=2+(n-1)3=3n-1,a20=59;

        (3)d=an+1-an=0,a1=6,a5=6;

        (4)由題知a1=-5,d=a2-a1=-4,

        所以通項公式為an=-5+(n-1)(-4)=-4n-1,

        令-4n-1=-401,得n=100,所以-401是這個數(shù)列的項,是第100項。

        問題5:觀察上述(1)(2)(3)(4)4個等差數(shù)列的通項公式,你認為它與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)?

        學(xué)生通過表達式分析得到與一次函數(shù)有關(guān),但又區(qū)別于一次函數(shù),首先是數(shù)列這個特殊函數(shù)的定義域?qū)е碌膮^(qū)別,函數(shù)圖象是一系列點,但這些點分布在一條直線上。其次我們發(fā)現(xiàn)(3)這個常數(shù)列的通項公式不是一次函數(shù)。我們將通項公式做變形為an=dn+(a1-d),類比于一次函數(shù)y=dx+(a1-d),我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)d≠0時,{an}就是一次函數(shù)的自變量取正整數(shù)時的函數(shù)值(如圖1)。

        例2.判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列:

        (1)1,1,2,3,4…

        (2)1,1,1,1,1…

        (3)1,3,1,3,1,3…

        (4)1,3,5,7,9,…2n-1…

        (5)a1=1,an-an-1=2(n≥2)

        (6)a1=1,an-an-1=n(n≥2)

        (7)an=an+b(a,b為常數(shù))

        (8)2an=an-1+an+1(n≥2)

        (9)an=(-1)n

        通過此題學(xué)生可以進一步理解等差數(shù)列的定義及通項公式的形式特征,并總結(jié)判斷等差數(shù)列的方法:定義法、等差中項法、通項公式法。

        環(huán)節(jié)四:當(dāng)堂檢測,課堂小結(jié)

        1.已知等差數(shù)列{an}中,a10=10,a12=16,則這個數(shù)列的首項是(? )

        A.-6? ? ? B.6

        C.-17? ? ? D.17

        2.等差數(shù)列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=33,則n等于(? )

        A.48? ? ? ? B.49

        C.50? ? ? ? D.51

        3.已知數(shù)列{an}中,a1=,數(shù)列an=2-,(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=(n∈N*),求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列。

        課堂小結(jié):通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生理解了等差數(shù)列的概念,可以判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列并能解決等差數(shù)列的相關(guān)問題。

        環(huán)節(jié)五:課后作業(yè)

        教材P15(練習(xí))第1、2、3、4、5題。

        環(huán)節(jié)六:課后反思

        在本節(jié)課中,我通過具體例子引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列相鄰兩項的關(guān)系,進而直接得出等差數(shù)列的概念,在給出概念之后,引導(dǎo)學(xué)生對概念的關(guān)鍵字進行標注并解釋,由上節(jié)課所學(xué)的遞推關(guān)系提問學(xué)生兩項間的遞推關(guān)系,從而得出數(shù)學(xué)表達式,提問三項間的遞推關(guān)系得到等差中項的概念。在這節(jié)課中,我們可以先給出一道例題,讓學(xué)生完成填空,并提出更高的要求,求出數(shù)列的第20項,甚至第2023項。這時提出:“要有通項公式該有多好?。 边M而引導(dǎo)學(xué)生進行通項公式的推導(dǎo)。這樣的設(shè)計可能更為自然流暢,在推導(dǎo)過程中學(xué)生容易進行歸納總結(jié),所以在此需要強調(diào)歸納總結(jié)之后的結(jié)果需要進行驗證,在推導(dǎo)過程中,給出迭代和累加兩種方法,這也是數(shù)列中處理問題比較重要的方法。

        (作者單位:太原市常青藤中學(xué)校)

        編輯:李琴芳

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