季曄 鄭昊天 王東峰 馬新忠

（①洛陽(yáng)理工學(xué)院智能制造學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023；②洛陽(yáng)軸承研究所有限公司，河南 洛陽(yáng) 471039）

角接觸球軸承（ACBB）在機(jī)床主軸中廣泛應(yīng)用，其旋轉(zhuǎn)精度直接決定機(jī)床加工精度。高檔精密機(jī)床中所使用的ACBB精度為P2或P4級(jí)，套圈采用超精密加工，但成品合格率仍然較低，往往需要多次合套選配。合套和拆套過(guò)程不僅耗費(fèi)工時(shí)，還可能引起精度下降，甚至喪失。因此，開展無(wú)裝配條件下的成品旋轉(zhuǎn)精度研究非常必要。

高精度機(jī)床市場(chǎng)需求旺盛，軸承精度直接決定機(jī)床加工精度，其旋轉(zhuǎn)精度引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注。王曉明等[1]根據(jù)角接觸球軸承的幾何和運(yùn)動(dòng)關(guān)系，建立了考慮外圈溝道圓度誤差的軸承外圈徑向跳動(dòng)、軸向跳動(dòng)數(shù)值仿真模型，分析了外圈溝道圓度誤差階次、圓度誤差幅值和鋼球個(gè)數(shù)對(duì)外圈旋轉(zhuǎn)精度的影響，并進(jìn)行了理論驗(yàn)證。魏建波等[2]建立了多種基于Copula函數(shù)數(shù)學(xué)分析模型，分別研究了兩組不同分布狀態(tài)的特征變量與軸承徑向跳動(dòng)的相關(guān)系數(shù)與條件概率。陳月等[3-4]針對(duì)機(jī)器人用四點(diǎn)接觸球軸承旋轉(zhuǎn)精度難以預(yù)測(cè)和控制的問(wèn)題，提出了同時(shí)考慮軸承內(nèi)圈溝道和外圈溝道圓度誤差的軸承旋轉(zhuǎn)精度數(shù)值計(jì)算方法。余永健等[5-6]針對(duì)圓柱滾子軸承旋轉(zhuǎn)精度，提出了軸承外圈徑向跳動(dòng)數(shù)值計(jì)算方法，并對(duì)外圈滾道形狀誤差進(jìn)行了試驗(yàn)研究，分析了外圈滾道圓度誤差幅值、諧波階次對(duì)軸承旋轉(zhuǎn)精度的影響規(guī)律。崔立等[7]建立了ACBB套圈溝道輪廓圓度誤差模型，考慮軸承圓度誤差、諧波次數(shù)等溝道參數(shù)將軸承組與主軸裝配，建立了高速電主軸動(dòng)力學(xué)仿真模型，分析了軸承溝道參數(shù)及預(yù)緊對(duì)主軸旋轉(zhuǎn)精度的影響以及軸承公差等級(jí)與溝道參數(shù)的匹配。周元坤等[8]根據(jù)圓柱滾子軸承各零件間的幾何關(guān)系，推導(dǎo)出軸承幾何協(xié)調(diào)方程，將幾何協(xié)調(diào)方程與載荷平衡方程聯(lián)立進(jìn)行迭代求解，建立基于載荷平衡與幾何協(xié)調(diào)共同作用下軸承旋轉(zhuǎn)精度的數(shù)學(xué)模型，研究了內(nèi)圈滾道圓度誤差諧波幅值、諧波階次對(duì)軸承內(nèi)圈徑向跳動(dòng)的影響。

目前判斷滾動(dòng)軸承旋轉(zhuǎn)精度是否滿足要求，需要合套后在專用儀器上檢測(cè)，現(xiàn)有的研究大多是旋轉(zhuǎn)精度預(yù)測(cè)及分析某些參數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)精度的影響。本文分析了ACBB工作狀態(tài)下的幾何學(xué)關(guān)系，建立了基于套圈精度要素的ACBB旋轉(zhuǎn)精度數(shù)學(xué)模型，提出了不合套條件下的旋轉(zhuǎn)精度測(cè)量方法，分析了套圈精度要素對(duì)成品ACBB的影響。通過(guò)ACBB旋轉(zhuǎn)精度檢測(cè)，證明了數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性，實(shí)現(xiàn)了無(wú)合套條件下成品軸承旋轉(zhuǎn)精度檢測(cè)。

1 ACBB旋轉(zhuǎn)精度測(cè)量原理

ACBB工作狀態(tài)如圖1所示，根據(jù)旋轉(zhuǎn)精度檢測(cè)方法[9]，將外圈基準(zhǔn)端面放置于一水平面，內(nèi)圈在重力和預(yù)載荷作用下下移，球與內(nèi)圈和外圈溝道接觸，形成接觸角α。測(cè)頭放置于內(nèi)圈內(nèi)徑面與溝底水平的A'處（測(cè)量點(diǎn)1）。內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，A'處表針擺動(dòng)量即為旋轉(zhuǎn)精度。

2 ACBB幾何學(xué)關(guān)系分析

ACBB工作狀態(tài)可以建立如圖1所示的幾何關(guān)系。O′O為軸承外圈確定的中心線，O為ACBB外圈的幾何中心，O′是內(nèi)圈溝底處水平中心線與外圈豎直中心線交點(diǎn)，O′O右側(cè)虛線為內(nèi)圈中心線；點(diǎn)m為內(nèi)圈溝道圓心，點(diǎn)n為外圈溝道圓心；Oi為球與內(nèi)圈接觸點(diǎn)，Oe為球與外圈接觸點(diǎn)；OKi為內(nèi)圈溝底，OKe為外圈溝底；ODw為球的中心，Of為球豎直中心線與外圈水平中心線交點(diǎn)；OiOe與O′O交點(diǎn)為O′′，與內(nèi)圈內(nèi)徑的交點(diǎn)為A′′，O′與m的連線與內(nèi)徑交點(diǎn)為A′，建立笛卡爾坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 ACBB工作狀態(tài)

不失一般性，在xoy面內(nèi)，如圖2所示，假設(shè)內(nèi)圈和外圈第1個(gè)檢測(cè)點(diǎn)均與x軸重合，內(nèi)圈其余點(diǎn)相對(duì)第1個(gè)檢測(cè)點(diǎn)的位置角用θi表示，外圈其余點(diǎn)相對(duì)第1個(gè)檢測(cè)點(diǎn)的位置角用θe表示。內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為ωi，θ表示相對(duì)于外圈第1個(gè)檢測(cè)點(diǎn)即A′處表針某時(shí)刻的位置角。

圖2 套圈初始位置

α為球與內(nèi)、外圈接觸點(diǎn)的作用線與垂直于軸承軸線的平面夾角；旋轉(zhuǎn)精度用徑向跳動(dòng)值Kia衡量，表示內(nèi)圈內(nèi)孔表面某測(cè)量位置相對(duì)外圈一固定點(diǎn)間的最大與最小徑向距離之差。OO′′表示線段OO′′長(zhǎng)度，其余同理；公式中變量下標(biāo)表示圖2中套圈或成品在位置角為θi,e或θ時(shí)的瞬時(shí)值。根據(jù)三角形關(guān)系，α滿足[10]

圖1中，△O′O′′m與△A′A′′m相似，且∠O′′O′m和∠A′′A′m均為直角。以外圈外徑為基準(zhǔn)，存在

根據(jù)幾何關(guān)系，OO′表示的軸向游隙(θ)，滿足

施加預(yù)緊力后，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，O′A′的變化量表示ACBB內(nèi)圈徑向跳動(dòng)值Kia（測(cè)量點(diǎn)1），表示為

對(duì)于第j個(gè)球?qū)?yīng)的O"點(diǎn)的坐標(biāo)[0;0;zO”(θ)]T滿足

式中：k1、k2為鏡頭徑向畸變參數(shù)；p1、p2為切向畸變參數(shù)。采用主流的相機(jī)標(biāo)定方法[12],可獲得相機(jī)的內(nèi)外參數(shù)及鏡頭畸變參數(shù)。

其中：di(θi)為 θi位置處的內(nèi)圈溝底直徑；de(θe)為 θe位置處的外圈溝底直徑。

O′O′′長(zhǎng)度為點(diǎn)O′′與點(diǎn)O′的z軸坐標(biāo)值之差，即

在△O′O′′m中，存在

A′OKi(θ)表示內(nèi)圈壁厚，表示為

根據(jù)幾何關(guān)系，存在

其中：d(θi)為 θi位置處的內(nèi)徑。

3 ACBB旋轉(zhuǎn)精度測(cè)量原理

考慮計(jì)算精度和檢測(cè)效率，在內(nèi)圈和外圈非基準(zhǔn)端面打9個(gè)均勻分布的標(biāo)記點(diǎn)，測(cè)量標(biāo)記點(diǎn)處精度參數(shù)，根據(jù)零件設(shè)計(jì)參數(shù)測(cè)量結(jié)果求解成品精度，步驟如圖3所示。

圖3 ACBB旋轉(zhuǎn)精度計(jì)算流程

4 算例

4.1 套圈精度檢測(cè)和成品精度分析

以7006-ACBB套圈為例，在9個(gè)檢測(cè)點(diǎn)處利用表面形貌測(cè)量?jī)x、圓度測(cè)量?jī)x，長(zhǎng)度測(cè)量?jī)x和旋轉(zhuǎn)精度測(cè)量?jī)x分別對(duì)套圈和成品進(jìn)行檢測(cè)和計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證。

（1）套圈精度檢測(cè)

用長(zhǎng)度測(cè)量?jī)x完成內(nèi)徑參數(shù)測(cè)量，9個(gè)點(diǎn)檢測(cè)結(jié)果如表1所示。

表1 內(nèi)徑測(cè)量結(jié)果

溝底直徑用圓度測(cè)量?jī)x檢測(cè)，9個(gè)標(biāo)記點(diǎn)檢測(cè)結(jié)果如表2所示。

表2 溝底直徑檢測(cè)結(jié)果

套圈的溝曲率半徑采用表面形貌測(cè)量?jī)x檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果如表3所示。

表3 溝曲率半徑檢測(cè)結(jié)果

（2）成品精度分析

根據(jù)圖3計(jì)算得到α最大值為17.98 °，最小值為17.17 °；Kia等于0.002 mm。利用旋轉(zhuǎn)精度測(cè)量?jī)x（圖4）檢測(cè)無(wú)潤(rùn)滑、不帶保持架的成品7006-ACBB徑向跳動(dòng)為0.002 mm，與計(jì)算結(jié)果一致。

圖4 旋轉(zhuǎn)精度測(cè)量?jī)x

4.2 ACBB旋轉(zhuǎn)精度分析

（1）ACBB旋轉(zhuǎn)精度變化趨勢(shì)預(yù)測(cè)

ACBB旋轉(zhuǎn)精度變化規(guī)律由套圈精度參數(shù)分布規(guī)律決定，影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)周期性變化規(guī)律。套圈精度測(cè)量參數(shù)為離散數(shù)據(jù)，分別采用指數(shù)擬合、多項(xiàng)式擬合、傅里葉擬合和線性擬合描述輪廓曲線，方程如式（18）～（21）所示。

其中：θ為套圈輪廓曲線某一點(diǎn)相對(duì)第1個(gè)測(cè)量點(diǎn)的位置角；其余字母為擬合曲線系數(shù)。

將內(nèi)圈精度參數(shù)ri、di、d和外圈精度參數(shù)re、de檢測(cè)的9個(gè)點(diǎn)用于擬合，每個(gè)參數(shù)可以得到4種不同的輪廓曲線。輪廓曲線方程代入第二部分，求解流程如圖5所示。

圖5 不同擬合輪廓的ACBB旋轉(zhuǎn)精度計(jì)算流程

運(yùn)用data1、data2、data3和data4擬合曲線得到的套圈輪廓計(jì)算得到的Kia分別為0.006 4 mm、0.003 2 mm、0.000 7 mm和0.001 8 mm，旋轉(zhuǎn)精度變化趨勢(shì)如圖6所示

圖6 不同擬合輪廓旋轉(zhuǎn)精度變化趨勢(shì)

與檢測(cè)結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，data1變化明顯偏大，data2略大且變化趨勢(shì)與檢測(cè)結(jié)果有差異，data3明顯偏小，data4與檢測(cè)結(jié)果最為接近。因此，采用data4得到的擬合輪廓與真實(shí)輪廓接近。

（2）溝曲率半徑對(duì)ACBB旋轉(zhuǎn)精度的影響

ri和re按data4的擬合輪廓，其余參數(shù)取9次檢測(cè)的平均值，計(jì)算得到的Kia為2.84×10-14mm，說(shuō)明溝曲率半徑對(duì)旋轉(zhuǎn)精度影響很小，非敏感因素。

（3）溝底直徑對(duì)旋轉(zhuǎn)精度的影響

di和de按data4的擬合輪廓，其余參數(shù)取9次檢測(cè)的平均值，計(jì)算得到的Kia為0.001 2 mm，旋轉(zhuǎn)精度變化規(guī)律如圖7所示。顯然，di和de為敏感因素，其精度直接決定ACBB旋轉(zhuǎn)精度。

圖7 di和de與旋轉(zhuǎn)精度關(guān)系

（4）內(nèi)徑對(duì)旋轉(zhuǎn)精度的影響

內(nèi)徑d按data4的擬合輪廓，其余參數(shù)取9次檢測(cè)的平均值，計(jì)算得到的Kia為0.000 7 mm，說(shuō)明d會(huì)影響旋轉(zhuǎn)精度。

5 結(jié)語(yǔ)

（1）通過(guò)對(duì)角接觸球軸承工作狀態(tài)下的幾何關(guān)系分析，建立了套圈精度參數(shù)與成品軸承的解析模型，可以充分研究?jī)?nèi)徑、溝曲率半徑和溝底直徑等因素對(duì)角接觸球軸承旋轉(zhuǎn)精度的綜合影響。

（2）本文所采用的計(jì)算方法可以在僅檢測(cè)套圈設(shè)計(jì)參數(shù)的條件下，得出成品旋轉(zhuǎn)精度，避免因合套和拆套引起的精度喪失，有助于提高成品合格率。

（3）通過(guò)對(duì)內(nèi)徑、溝底直徑與旋轉(zhuǎn)精度關(guān)系的分析，結(jié)合套圈設(shè)計(jì)精度參數(shù)，為了保證ACBB具有良好的旋轉(zhuǎn)精度，需嚴(yán)格控制內(nèi)徑變動(dòng)量和壁厚差。