韓江 周廣鑫 夏鏈 黃曉勇 李彥青 田曉青

（①合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 合肥 230009；②安徽省智能數(shù)控技術(shù)及裝備工程實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230009）

展成磨齒是齒輪一種常見的主要精加工手段，數(shù)控磨齒實(shí)際加工中，其運(yùn)動(dòng)參數(shù)、受力狀態(tài)、熱變形以及轉(zhuǎn)矩實(shí)時(shí)變化，使得工件在進(jìn)行磨削時(shí)出現(xiàn)形位偏差以及磨齒機(jī)床運(yùn)動(dòng)偏差明顯增加。磨齒高速高精度加工對(duì)多軸控制精度提出更高的要求，研究利用電子齒輪箱（EGB）進(jìn)行磨齒機(jī)多軸控制就顯得尤為重要。在展成磨齒過程中，工件回轉(zhuǎn)軸、刀具回轉(zhuǎn)軸和各進(jìn)給軸按照電子齒輪箱約束關(guān)系進(jìn)行聯(lián)動(dòng)，共同完成齒輪的磨削加工，但是由于整個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)出現(xiàn)的響應(yīng)延遲、加工過程中產(chǎn)生擾動(dòng)、傳動(dòng)絲桿自身制造誤差等導(dǎo)致磨齒機(jī)床各軸無法按照嚙合規(guī)則同時(shí)完成理想動(dòng)作，這是產(chǎn)生齒輪加工誤差的主要原因[1]。采用合適的控制策略保障多軸聯(lián)動(dòng)精度，補(bǔ)償系統(tǒng)的控制誤差，對(duì)于提高實(shí)際工況齒輪加工具有重要意義。

在高速磨齒時(shí)，磨削力實(shí)時(shí)波動(dòng)，使得主軸轉(zhuǎn)速跟蹤誤差變大問題逐漸凸顯，目前主要研究方法包括建立轉(zhuǎn)速跟蹤誤差與齒形誤差之間的數(shù)學(xué)模型方法、磨削加工中的插補(bǔ)控制以及誤差補(bǔ)償?shù)萚2]。上述方法對(duì)于提高系統(tǒng)控制精度有一定參考價(jià)值，但展成磨齒在高速高精度工況下，由于多軸聯(lián)動(dòng)延遲、擾動(dòng)等因素，減小單軸跟蹤誤差并不能保證整體控制精度，各運(yùn)動(dòng)軸并未至理想位置。針對(duì)多軸同步運(yùn)動(dòng)控制問題，Sarachik P等人[3]提出交叉耦合（CCC）概念，使用計(jì)算產(chǎn)生的同步誤差逐步調(diào)整被控軸達(dá)到同步運(yùn)動(dòng)。Koren Y等人[4]對(duì)交叉耦合模型進(jìn)行完善，首次實(shí)現(xiàn)了在數(shù)控系統(tǒng)中的應(yīng)用。田曉青等人[5]提出了一種將軟件式電子齒輪箱與交叉耦合控制策略相結(jié)合電子齒輪箱交叉耦合控制器（ECCC），結(jié)果顯示交叉耦合控制模型取得了較好的控制效果，能夠迅速、實(shí)時(shí)消除工況中的擾動(dòng)，但為了得到合適的反饋信號(hào)，計(jì)算各軸軌跡輪廓誤差仍是難點(diǎn)。為了降低控制難度，簡(jiǎn)化計(jì)算模型，學(xué)者們采用多種控制方法相結(jié)合來實(shí)現(xiàn)多軸之間高性能同步控制。其中包括PID控制、魯棒控制、最優(yōu)化控制和干擾觀測(cè)器等[6-7]。彭曉燕等人[8]提出一種適用多個(gè)電機(jī)同步PI補(bǔ)償控制的改進(jìn)型偏差耦合控制結(jié)構(gòu)，仿真結(jié)果說明，該結(jié)構(gòu)具有更高同步精度。Jeong S K等人[9]提出了一種多軸回轉(zhuǎn)系統(tǒng)同步位置控制方法，保證魯棒性同時(shí)，使用最大誤差比較法減少各軸之間同步誤差，仿真與實(shí)驗(yàn)表明可有效提高控制精度。為了解決實(shí)際工況系統(tǒng)性能參數(shù)的實(shí)時(shí)波動(dòng)，干擾觀測(cè)器和自適應(yīng)控制是學(xué)者們主要選擇的控制方法，徐壯等人[10]比較了滑模觀測(cè)器與卡爾曼觀測(cè)器之間的特點(diǎn)，研究表明卡爾曼觀測(cè)器對(duì)外界噪聲等干擾更加敏感，位置感知更加優(yōu)秀，適合高速高精度的場(chǎng)合。

磨齒加工精度由機(jī)床同步精度直接決定，常見能夠有效確保同步精度策略包括交叉耦合、最優(yōu)化控制、模糊控制與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、干擾觀測(cè)器等，通過對(duì)磨齒工藝分析，針對(duì)實(shí)際工況中時(shí)變擾動(dòng)特點(diǎn)，選擇干擾觀測(cè)器中的擴(kuò)展卡爾曼觀測(cè)器作為該系統(tǒng)的控制策略。本文針對(duì)磨齒工況中磨削力等擾動(dòng)引起的同步精度問題，建立了一種基于電子齒輪箱的多軸聯(lián)動(dòng)模型，給出加工齒輪誤差與工件軸誤差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，設(shè)計(jì)了一種針對(duì)實(shí)際工況磨削力波動(dòng)具有自適應(yīng)功能的擴(kuò)展卡爾曼觀測(cè)器，將磨削力波動(dòng)作為擾動(dòng)參數(shù)輸入系統(tǒng)，對(duì)多軸聯(lián)動(dòng)過程產(chǎn)生的磨削力進(jìn)行觀測(cè)，并使用設(shè)計(jì)并驗(yàn)證的前饋模型對(duì)其磨削力產(chǎn)生的位置誤差進(jìn)行補(bǔ)償，大幅度降低系統(tǒng)控制誤差，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本方法的有效性。

1 磨齒原理與電子齒輪箱結(jié)構(gòu)

1.1 磨齒加工運(yùn)動(dòng)原理

蝸桿砂輪磨齒加工原理及運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。實(shí)現(xiàn)磨齒運(yùn)動(dòng)包括：砂輪回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)B軸、工件回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)C軸、軸向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)Z軸、切向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)Y軸、徑向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)X軸與刀架回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)A軸。其中各進(jìn)給軸控制磨削進(jìn)給量，刀架回轉(zhuǎn)A軸控制刀具安裝角度。

圖1 蝸桿砂輪磨齒加工原理及運(yùn)動(dòng)關(guān)系

1.2 磨齒加工數(shù)學(xué)模型

根據(jù)蝸桿砂輪磨齒原理，加工過程中，砂輪和工件在電子齒輪箱控制下，按照一定速比關(guān)系實(shí)現(xiàn)展成磨削運(yùn)動(dòng)，刀具沿著工件軸線方向進(jìn)行進(jìn)給完成齒面磨削，為了磨削加工效果，在磨削量和加工速度較大時(shí)，需要砂輪沿自身軸線（Y軸）作竄刀運(yùn)動(dòng)。整個(gè)加工過程，被加工齒輪不僅需要與蝸桿砂輪保持一定嚙合關(guān)系，還必須和刀具進(jìn)給運(yùn)動(dòng)保持一定約束關(guān)系。

在磨齒過程中，砂輪和工件之間相互運(yùn)動(dòng)遵循嚙合原理，C軸跟隨Z軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)為[11]

C軸跟隨Y軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)為

則工件回轉(zhuǎn)C軸與其他各軸的聯(lián)動(dòng)關(guān)系為

式中：k為砂輪頭數(shù)；z為齒輪齒數(shù)；λ為砂輪安裝角；β為工件齒輪螺旋角；mn為齒輪法面模數(shù)；Ki(i=b、z、y)為各軸方向系數(shù)，取值為“1”或“-1”；Δi(i=Z、Y)為i軸跟蹤誤差，Δnic(i=z、y、b)為i軸附加在C軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)。

1.3 電子齒輪箱控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

在磨齒中，設(shè)計(jì)電子齒輪箱結(jié)構(gòu)如圖2所示。

電子齒輪箱結(jié)構(gòu)模型采用主從式和平行式相結(jié)合的結(jié)構(gòu)模型，其中刀具主軸采用速度控制模式，各主動(dòng)軸輸入插補(bǔ)信息經(jīng)過相應(yīng)的模塊后由編碼器反饋至電子齒輪箱模塊進(jìn)行保存，在電子齒輪箱中根據(jù)各軸間展成關(guān)系運(yùn)算后得到工件軸輸入插補(bǔ)信息，從而加工出符合要求的齒輪。由于電子齒輪箱使用主切削軸實(shí)際反饋位置對(duì)從運(yùn)動(dòng)軸進(jìn)行控制，從運(yùn)動(dòng)必然相對(duì)主運(yùn)動(dòng)存在滯后，而系統(tǒng)各軸又為獨(dú)立控制，各軸同步精度取決于各軸對(duì)插補(bǔ)指令的跟蹤精度，為了進(jìn)一步提升電子齒輪箱控制精度，必須要設(shè)計(jì)控制策略對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化。

1.4 電子齒輪箱控制誤差模型

齒輪的加工精度直接由電子齒輪箱同步精度決定，當(dāng)系統(tǒng)同步精度較差時(shí)，所加工齒輪存在嚴(yán)重誤差，如圖3所示，分別對(duì)齒形和齒向造成不同程度誤差，嚴(yán)重影響齒輪精度。為了提高系統(tǒng)同步精度，減小電子齒輪箱控制誤差，需研究系統(tǒng)控制誤差與齒輪加工誤差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

圖3 齒輪加工誤差示意圖

由于齒廓偏差受螺旋角、刀具等綜合影響，電子齒輪箱控制誤差在加工齒輪過程中主要體現(xiàn)在齒輪齒距偏差和螺旋線偏差上，對(duì)于圖2所示的電子齒輪箱結(jié)構(gòu)，由于采用主從式結(jié)構(gòu)跟隨主軸運(yùn)動(dòng)，主軸跟蹤誤差不會(huì)對(duì)電子齒輪箱精度造成影響，根據(jù)加工過程中刀具與工件相對(duì)位姿關(guān)系，綜合考慮安裝角、螺旋角、X、Y、Z軸跟蹤誤差等，得到齒距偏差Fp的數(shù)學(xué)模型為[1]

圖2 磨齒加工電子齒輪箱控制模型

綜合考慮得到螺旋線偏差Fβ數(shù)學(xué)模型為

根據(jù)磨齒過程中實(shí)際多軸聯(lián)動(dòng)關(guān)系，綜合式（3）、（4）、（5），得到齒距偏差和螺旋線偏差相對(duì)于工件轉(zhuǎn)軸誤差的表達(dá)式分別為

式中：z為加工齒輪的齒數(shù)；λ為砂輪安裝角；β為工件齒輪螺旋角；mn為加工齒輪法面模數(shù)；Ki(i=b、z、y)為各軸方向系數(shù)；Kpi（i=c、y）、Kβi（i=c、y、z）為偏差方向系數(shù)，取“1”或“-1”；Ei(i=c、x、y)為i軸誤差。

分析式（6）和式（7）可得，在磨齒多軸聯(lián)動(dòng)中，可以將各軸誤差通過聯(lián)動(dòng)關(guān)系的方式累積到工件軸上，推導(dǎo)出電子齒輪箱控制誤差與齒輪展成加工誤差之間的映射關(guān)系，為加工過程中實(shí)時(shí)估算齒輪相關(guān)精度情況提供了可能。

為了能夠準(zhǔn)確地實(shí)時(shí)估算出電子齒輪箱控制精度，確保系統(tǒng)的魯棒性，需要實(shí)時(shí)讀取能夠反應(yīng)磨齒過程中受到的擾動(dòng)，并利用該參數(shù)保障系統(tǒng)同步精度，設(shè)計(jì)了一款能夠觀測(cè)該參數(shù)的濾波觀測(cè)器。

2 自適應(yīng)卡爾曼觀測(cè)器設(shè)計(jì)

2.1 觀測(cè)器模型原理與設(shè)計(jì)

在磨齒工況中，作用在工件運(yùn)動(dòng)軸上時(shí)變的等效磨削力會(huì)在電機(jī)內(nèi)部的電流中引入對(duì)應(yīng)擾動(dòng)，使得電機(jī)在運(yùn)行過程中出現(xiàn)干擾信號(hào)，從而引起誤差。為了探究工況中磨削力與電機(jī)最終輸出誤差之間的關(guān)系，設(shè)計(jì)補(bǔ)償策略，搭建工件運(yùn)動(dòng)軸觀測(cè)器如圖4，輸入信息為電子齒輪箱運(yùn)算得到的插補(bǔ)，由傳感器得到的電流iq和轉(zhuǎn)速 ωc作為輸入?yún)?shù)進(jìn)入觀測(cè)器中，觀測(cè)器將觀測(cè)得到的磨削力矩進(jìn)行輸出。電流環(huán)部分按照永磁同步電機(jī)的運(yùn)行原理進(jìn)行搭建。

圖4 PMSM觀測(cè)器-控制器結(jié)構(gòu)框圖

其中電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程為

工件回轉(zhuǎn)軸采用閉環(huán)控制，因?yàn)殡姶艜r(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于機(jī)械時(shí)間常數(shù)，電流環(huán)穩(wěn)態(tài)時(shí)間相對(duì)速度環(huán)可以忽略。測(cè)量轉(zhuǎn)速和電流由傳感器返回。

綜上所述可以把電磁轉(zhuǎn)矩和摩擦轉(zhuǎn)矩引起的擾動(dòng)全部等效為負(fù)載擾動(dòng)。根據(jù)式（8）可得系統(tǒng)離散系統(tǒng)狀態(tài)空間和測(cè)量方程分別為

式中：xk為二維狀態(tài)向量；uk為輸入電流iq；Ts為離散時(shí)間常數(shù)取0.1ms；Ke為電流系數(shù)；?、B、H為狀態(tài)空間的系數(shù)矩陣。

由于建模偏差和測(cè)量誤差等問題，考慮動(dòng)態(tài)噪聲與測(cè)量噪聲系統(tǒng)狀態(tài)方程與測(cè)量方程修正為

式中：ωk和vk+1vk+1為系統(tǒng)模型擾動(dòng)與測(cè)量誤差。

由于卡爾曼觀測(cè)器對(duì)外界噪聲等干擾更加敏感，且在協(xié)方差矩陣合適情況下具有更高的觀測(cè)精度，適合高速高精度場(chǎng)合。因此針對(duì)磨齒選擇擴(kuò)展卡爾曼觀測(cè)器進(jìn)行控制。擴(kuò)展卡爾曼觀測(cè)器可以使用相應(yīng)的協(xié)方差矩陣對(duì)輸出進(jìn)行濾波，如圖5所示，包括預(yù)測(cè)和修正過程兩部分。其預(yù)測(cè)過程表達(dá)式為

圖5 自適應(yīng)卡爾曼觀測(cè)器原理框圖

修正過程表達(dá)式為：

為了能使得協(xié)方差矩陣Q能夠根據(jù)擾動(dòng)和突變進(jìn)行自適應(yīng)變化，建立k時(shí)刻協(xié)方差矩陣Qk為

2.2 前饋設(shè)計(jì)

為了運(yùn)用改進(jìn)觀測(cè)器觀測(cè)的磨削力，設(shè)計(jì)基于磨削力觀測(cè)值運(yùn)算的前饋補(bǔ)償，需要建立以力矩形式反應(yīng)在工件軸磨削力與加工工件偏差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。在Simulink中搭建工件軸仿真模型，通過前述研究將磨齒中磨削力進(jìn)行疊加，得到反應(yīng)在工件整體上的磨削力數(shù)據(jù)，選取該參數(shù)為模型擾動(dòng)引入，觀測(cè)模型輸出位置量與引入擾動(dòng)之間數(shù)學(xué)關(guān)系，基于此邏輯設(shè)計(jì)前饋補(bǔ)償，來平衡擾動(dòng)所帶來的誤差。結(jié)果如圖6所示，輸出位置加速度與引入擾動(dòng)呈線性關(guān)系，選取適當(dāng)比例系數(shù)k1積分補(bǔ)償模型為

圖6 輸入磨削力與輸出加速度示意圖

其中：T為輸入磨削力，a為輸出加速度，可以據(jù)此對(duì)工況中實(shí)時(shí)變化的擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償。

3 仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)系統(tǒng)的性能，在MATLAB Simulink環(huán)境下對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證，并在基于DSP28335的多電機(jī)控制平臺(tái)上進(jìn)行試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖7所示，電機(jī)參數(shù)如表1所示。編碼器線數(shù)為2 500 PPR，四倍頻。系統(tǒng)工作頻率10 kHz，電流環(huán)周期0.1 ms。

圖7 多電機(jī)驅(qū)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

表1 電機(jī)參數(shù)

3.1 仿真結(jié)果分析

分別對(duì)觀測(cè)性能以及補(bǔ)償前后進(jìn)行仿真試驗(yàn)，給定電機(jī)轉(zhuǎn)速為60 r/min，接入擾動(dòng)為前述磨削力參數(shù)，采樣周期為0.1 ms。圖8、圖9為在仿真條件下，傳統(tǒng)卡爾曼觀測(cè)器和改進(jìn)自適應(yīng)觀測(cè)器，對(duì)于引入模型輸入磨削力和觀測(cè)器觀測(cè)到的磨削力之間的對(duì)比。由圖中可以看出，在最開始極短時(shí)間受啟動(dòng)電流影響后，改進(jìn)的自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼觀測(cè)器有效對(duì)電機(jī)產(chǎn)生的磨削力矩進(jìn)行了觀測(cè)，誤差峰值不超過20 N ·cm，平均誤差小于3 N ·cm,且觀測(cè)系統(tǒng)整體滯后周期小于1 ms，可以得出其性能良好，觀測(cè)值可靠性高。圖10、圖11為在仿真環(huán)境下，系統(tǒng)引入擾動(dòng)后是否進(jìn)行前饋補(bǔ)償，加工齒輪螺旋線偏差和齒距偏差對(duì)比，可以看出，系統(tǒng)引入合適前饋，選擇適當(dāng)補(bǔ)償系數(shù)k2，補(bǔ)償后偏差值減小到擾動(dòng)情況下1/5以內(nèi)并且向0收斂，螺旋線平均偏差由26.32 μm降至3.77 μm，偏差幅值不超過7 μm；齒距平均偏差由41.63 μm降至6.92 μm，偏差幅值不超過11 μm。證明所建立的前饋補(bǔ)償?shù)挠行浴?/p>

圖8 傳統(tǒng)觀測(cè)器系統(tǒng)磨削力與觀測(cè)磨削力對(duì)比圖

圖9 改進(jìn)觀測(cè)器系統(tǒng)磨削力與觀測(cè)磨削力對(duì)比圖

圖10 補(bǔ)償前后螺旋線偏差對(duì)比圖

圖11 補(bǔ)償前后齒距偏差對(duì)比圖

從仿真結(jié)果中可以看出，改進(jìn)觀測(cè)器和前饋補(bǔ)償明顯減少了加工工件的誤差，提高系統(tǒng)的同步精度和魯棒性，確保了磨齒工況中的抗擾動(dòng)性。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了在實(shí)驗(yàn)中驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的前饋補(bǔ)償有效性，將前述磨削力參數(shù)作為負(fù)載輸入到電機(jī)中，分別將系統(tǒng)在未加載、加載未補(bǔ)償、加載帶前饋補(bǔ)償3種不同情況下對(duì)工件偏差進(jìn)行對(duì)比，將轉(zhuǎn)速控制在60 r/min情況下得到相應(yīng)數(shù)據(jù)，通過實(shí)驗(yàn)平臺(tái)反饋的偏差對(duì)前饋補(bǔ)償進(jìn)行檢驗(yàn)。圖12是在上述3種情況下由傳感器和編碼器所獲得整個(gè)系統(tǒng)誤差，可以看出，未加載系統(tǒng)本身由于靜摩擦、粘性摩擦等，使得系統(tǒng)自初始即帶有一定的誤差。而在磨削力接入系統(tǒng)后，由于磨削力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于系統(tǒng)靜摩擦等擾動(dòng)，可以將其均等效到磨削力上，將其引入系統(tǒng)后對(duì)工件偏差產(chǎn)生了較大的波動(dòng)，使得加工工件的精度受到巨大影響。在運(yùn)用觀測(cè)值運(yùn)算出適合的前饋補(bǔ)償并接入后，可以看出，由等效磨削力引起的工件偏差明顯被所設(shè)計(jì)的前饋補(bǔ)償平衡，在取樣時(shí)間內(nèi)，偏差幅值由488 μm降至13 μm，極差由591 μm降至13 μm。

圖12 三種情況下偏差對(duì)比圖

對(duì)比仿真與實(shí)驗(yàn)過程中出現(xiàn)的擾動(dòng)與補(bǔ)償效果，研究表明進(jìn)行的仿真與試驗(yàn)有較好的吻合性，也說明仿真與試驗(yàn)的有效性。

綜上所述，該前饋能夠較好地吸收工況中出現(xiàn)的實(shí)時(shí)波動(dòng)干擾并有效做出補(bǔ)償，減小系統(tǒng)偏差，明顯增加系統(tǒng)抗擾動(dòng)性，魯棒性大幅提高。

4 結(jié)語(yǔ)

通過研究電子齒輪箱控制模型與磨齒基本原理，基于齒輪螺旋線偏差、齒距偏差相對(duì)于同步等效工件運(yùn)動(dòng)軸偏差之間數(shù)學(xué)關(guān)系，結(jié)合擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，構(gòu)建了具有自適應(yīng)功能的觀測(cè)器與前饋，實(shí)現(xiàn)了磨齒中動(dòng)態(tài)擾動(dòng)觀測(cè)與補(bǔ)償。為了貼近實(shí)際工況，引入的磨削力數(shù)據(jù)為工況下多齒受到的實(shí)時(shí)波動(dòng)磨削力疊加的擾動(dòng)。運(yùn)用磨削力觀測(cè)值，進(jìn)行處理形成前饋對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償，在高速高精度的環(huán)境下具有更好的控制效果。通過仿真和實(shí)驗(yàn)研究，所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器擁有較好的觀測(cè)效果，可以準(zhǔn)確地追蹤工況中實(shí)時(shí)波動(dòng)的擾動(dòng)。結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的前饋補(bǔ)償系統(tǒng)顯著減小了加工工件的螺旋線偏差和齒距偏差，提升了系統(tǒng)的同步精度和抗擾動(dòng)性。