苗興振

(山東省淄博市沂源縣第二中學)

立體幾何中的探究問題在高考和各類模擬考試中經(jīng)常出現(xiàn),這類題型有助于考查學生推理能力、探索能力和批判性思維能力,也有利于培養(yǎng)學生的空間想象能力、創(chuàng)新意識和綜合素質(zhì),具有一定的區(qū)分度,深受命題者的青睞.探究性問題常常涉及平行、垂直、距離和夾角等?？疾凰サ闹攸c內(nèi)容,常以解答題的形式出現(xiàn).這類問題的一個共同特點是要確定動點的位置使得問題具有某種數(shù)量關系或位置關系等屬性,而解決這類問題的難點和關鍵最后都歸結為如何確定動點的位置.若用向量法處理,尤其是通過建立空間直角坐標系利用待定系數(shù)法求解存在性問題則思路簡潔明了.下面我們通過典型例題解讀立體幾何探究問題中的引參法,供讀者參考.

1 與平行、垂直有關的問題

平行與垂直是立體幾何的兩種重要的位置關系,其中線線的平行與垂直是基礎,線面平行和垂直是重點考查內(nèi)容,應引起高度關注.

例1如圖1所示,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD＝NB＝1,E為BC的中點.

圖1

(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值;

(2)在線段AN上是否存在點S,使得ES⊥平面AMN? 若存在,求線段AS的長;若不存在,請說明理由.

圖2

所以異面直線NE與AM所成角的余弦值為

(2)假設在線段AN上存在點S,使得ES⊥平面AMN.連接AE,SE,如圖3所示.

圖3

2 與夾角有關的問題

夾角問題主要有線線角、線面角和面面角,其中線線角是基礎,線面角和面面角是高考重點考查內(nèi)容.

例2如圖4所示,在四棱錐P-ABCD中,側面PAB⊥ 底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,BC⊥AB,∠PAB＝120°,PA＝AD＝AB＝1,BC＝2.

圖4

(1)證明:平面PBC⊥平面PAB;

(2)在線段PB上是否存在點M,使得直線AM與平面PBD所成角的正弦值為.若存在,求出線段PM的長度;若不存在,請說明理由.

(2)存在.理由如下:如圖5 所示,在平面PAB內(nèi),過點A作AE⊥AB交PB于 點E,則AE⊥平面ABCD,以A為坐標原點,分別以AB,AD,AE的方向為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標系A-xyz.

圖5

3 與距離有關的問題

空間中的距離問題主要有點點距離、點線距離、點面距離、線線距離、線面距離和面面距離等,其中點面距離是高考重點考查內(nèi)容.

例3如圖6 所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,側棱AA1＝2,CA＝2,D是CC1的 中點,試問在線段A1B上是否存在一點E使得點A1到平面AED的距離為.若存在,試確定點E的位置;若不存在,請說明理由.

圖6

圖7

故存在滿足條件的點E,且這樣的點E有兩個,一個是線段A1B的中點,另一個就是點B.

4 變式練習

變式如圖8 所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B為正方形,AB＝BC＝2,E,F分別為AC和CC1的中點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1.

圖8

(1)證明:BF⊥DE;

(2)當B1D為何值時,平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小?

如圖9 所示,連接AF,由BF⊥A1B1,AB∥A1B1,得BF⊥AB,于 是,故由AB2＋BC2＝AC2,得BA⊥BC,故以B為坐標原點,以BA,BC,BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖9所示的空間直角坐標系B-xyz,則B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,

圖9

設B1D＝m(0≤m≤2),則D(m,0,2),于是,所以,故BF⊥DE.

(2)易知平面BB1C1C的一個法向量為n1＝(1,0,0),設平面DFE的一個法向量為n2＝(x,y,z),則

令x＝3,得y＝m＋1,z＝2－m,于是平面DFE的一個法向量為n2＝(3,m＋1,2－m),所以

當所確定的點在某條直線上運動時,通過建立空間直角坐標系,利用向量平行(共線)的充要條件,通過引入?yún)?shù)λ建立兩個向量的等式,從而用向量的坐標運算確定點的位置.這種確定點的位置的方法稱之為“引參法”,其理論依據(jù)是共線向量定理:非零向量a,b共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ,使得b＝λa.

立體幾何中探究問題的解決除了本文所用的方法外,還可用猜測探求、執(zhí)果索因、假定探索等方法,限于篇幅,這里就不贅述了.

(完)