張湘林

一、類比法概述

數(shù)學(xué)類比法的起源可以追溯到古希臘時期。古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就曾通過對音樂和幾何學(xué)的類比研究，發(fā)現(xiàn)了許多數(shù)學(xué)規(guī)律和定理。例如，他認(rèn)為音程和弦的和諧比例與幾何中比例的概念相似，通過這種類比，他發(fā)現(xiàn)了許多幾何比例關(guān)系，如黃金比例等。

另一位古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯也曾使用類比法解決數(shù)學(xué)問題。他通過將立方體的分割類比到平面上，推導(dǎo)出了“常見比率”的思想，從而在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。

隨著時間的推移，類比法不斷地被應(yīng)用于數(shù)學(xué)研究中。在19世紀(jì)末和20世紀(jì)初，很多數(shù)學(xué)家在研究連續(xù)函數(shù)和多項(xiàng)式的性質(zhì)時都應(yīng)用了類比法的思想和方法。

近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和人工智能技術(shù)的飛速發(fā)展，類比法的研究領(lǐng)域也在不斷拓展，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)類比法已經(jīng)不僅僅是一種解題技巧，更成為一種有益的思維方式和工具，其在各個領(lǐng)域的問題解決和創(chuàng)新研究中都有著廣泛的應(yīng)用。

類比是一種常用的數(shù)學(xué)猜想方法，它是將所研究的對象與已知的或想象的對象進(jìn)行比較，從而發(fā)現(xiàn)它們之間存在某種相似之處。這種數(shù)學(xué)猜想方法在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用，我們通過對教學(xué)全過程的設(shè)計(jì)探討，就可以了解到學(xué)生具體是如何在課堂上運(yùn)用類比法的。通過類比方法的運(yùn)用，學(xué)生不僅可以更加深入地理解數(shù)學(xué)中的一些重要概念，還可以構(gòu)建新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)知識系統(tǒng)化。

類比法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。通過類比法，可以把已知的數(shù)學(xué)問題和概念與未知的問題和概念聯(lián)系起來，從而使解決未知問題的難度降低，理解數(shù)學(xué)概念的深度增加。運(yùn)用類比法，可以將具有共同點(diǎn)的知識點(diǎn)或章節(jié)聯(lián)系起來，進(jìn)行歸類，有助于學(xué)生建立脈絡(luò)清晰的知識體系。類比法可以讓學(xué)生產(chǎn)生熟悉感，學(xué)會知識遷移，建立邏輯思考。類比法可以幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)內(nèi)容和思想，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，并提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。當(dāng)人們沒有可靠論證的思路時，類比這種方式常?？梢砸龑?dǎo)人們前進(jìn)。

二、運(yùn)用類比法的教學(xué)設(shè)計(jì)——以“函數(shù)的單調(diào)性”為例

（一）教材分析

函數(shù)是高中階段最基本的概念之一，是貫穿高中數(shù)學(xué)課堂的主線，也是高中數(shù)學(xué)學(xué)科中最為復(fù)雜的知識點(diǎn)。函數(shù)是以自身特有的方式反映現(xiàn)實(shí)世界大量事物變化規(guī)律的抽象的數(shù)學(xué)模型，函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)概念的拓展，對于深入理解函數(shù)概念、運(yùn)用函數(shù)模型分析和解決函數(shù)問題起著承前啟后的作用。必修一中的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)，選修中的導(dǎo)數(shù)均有涉及函數(shù)，可見函數(shù)這部分內(nèi)容十分重要。本課時內(nèi)容是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的基本性質(zhì)為函數(shù)學(xué)習(xí)的第一階段，而本課時內(nèi)容則為函數(shù)基本性質(zhì)的第一課時，通過本課時對函數(shù)性質(zhì)的研究，為后面初等函數(shù)性質(zhì)的研究做鋪墊。

（二）學(xué)情分析

學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)過了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，并且研究過函數(shù)的增減性問題，能夠通過圖象直觀地理解增減性，可以用不成熟的語言描述y隨著x的增大而增大（減小），但是不能用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)符號進(jìn)行闡述。

（三）教學(xué)目標(biāo)

掌握函數(shù)單調(diào)性的概念和基本定義，了解單調(diào)性的分類和幾何意義，能夠掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟。

能夠應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行證明和推導(dǎo)，提高數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力。

（四）教學(xué)過程

1.導(dǎo)入新課

教師通過多媒體出示函數(shù)y=x，y=-x2+4圖象，要求學(xué)生觀察并思考問題：觀察下面這兩個我們初中學(xué)習(xí)過的函數(shù)，它們的圖象有什么變化規(guī)律？

■

圖1 y=x圖象

■

圖2 y=-x2+4圖象

學(xué)生自主觀察函數(shù)圖象，就教師提出的問題展開獨(dú)立思考，并作答：y=x從左往右看是上升的，y=-x2+4在y軸左側(cè)是上升的，即當(dāng)x<0時，y會隨著x不斷增大而增大；y=-x2+4在y軸右側(cè)是下降的，即當(dāng)x>0時，y會隨著x不斷增大而減小。

（設(shè)計(jì)意圖：通過引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象、觀察函數(shù)變化、回憶初中學(xué)過的知識，引入課題，也為接下來類比初中知識引入函數(shù)單調(diào)性的概念奠定基礎(chǔ)；用較簡單的問題引起學(xué)生的注意和思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，預(yù)警課堂已經(jīng)開始，又能保障學(xué)生在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的主體地位。）

2.講授新課

教師引導(dǎo)學(xué)生將y=x轉(zhuǎn)化為高中數(shù)學(xué)的函數(shù)表達(dá)形式f（x）=x2，并要求學(xué)生在練習(xí)本上描點(diǎn)連線，獨(dú)立畫出該圖象。

學(xué)生在教師指導(dǎo)下獨(dú)立作圖。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自主探究、獨(dú)立作圖，可以提高學(xué)生的動手操作能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。）

教師組織學(xué)生以四人小組為單位討論、合作交流與分析，思考f（x）=x2函數(shù)的圖象變化，教師巡視指導(dǎo)。

學(xué)生：思考后選取代表匯報討論結(jié)果。小組討論發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x≤0時，y隨x的增大而減小，即任取x1，x2∈（-∞，0］，當(dāng)x1f（x2）。

當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大。即任取x1，x2∈（0，+∞），當(dāng)x1

教師：在上一章我們用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)暮瘮?shù)概念。對于函數(shù)的單調(diào)性，我們也可以類比上一章，類似地嘗試用符號語言給出嚴(yán)格的形式化定義。

教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)語言表達(dá)該圖象的變化趨勢，就可以順勢引出函數(shù)的單調(diào)性。

任取x1，x2∈（-∞，0］，我們就可以得出f（x1）=x12，f（x2）=x22。當(dāng)x1f（x2）時，我們就稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0］上單調(diào)遞減，即f（x）=x2在區(qū)間（-∞，0］上是減函數(shù)。同理，任取x1，x2∈（0，+∞），我們就可以得出f（x1）=x12，f（x2）=x22。當(dāng)x1

（設(shè)計(jì)意圖：教師借助類比法，類比初中知識，引入高中知識，類比第一章巧妙地用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，引入函數(shù)單調(diào)性的定義，將學(xué)生的知識聯(lián)系到一起，有助于形成脈絡(luò)，使學(xué)生更容易地理解這部分知識，從而提高了課堂的效率。）

3.鞏固練習(xí)

教師利用PPT展示例題，根據(jù)定義研究函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0）的單調(diào)性，學(xué)生自主完成，請學(xué)生代表進(jìn)行板演，教師對其進(jìn)行點(diǎn)評并講解解題思路，板書解題過程。

學(xué)生自主完成例題，并總結(jié)解題思路。函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0）的定義域是R。任意x1，x2∈R，且x1

由x1

①當(dāng)k>0時，k（x1-x2）<0

于是f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）

這時f（x）=kx+b是增函數(shù)。

②當(dāng)k<0時，k（x1-x2）>0

于是f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）.

這時f（x）=kx+b是減函數(shù)。

（設(shè)計(jì)意圖：鞏固本節(jié)所學(xué)，讓學(xué)生進(jìn)行板演，旨在體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，這有助于教師了解學(xué)生的掌握程度以及學(xué)習(xí)情況。教師板書有利于規(guī)范學(xué)生解題思路，讓學(xué)生掌握答題技巧。）

4.課堂小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)本節(jié)課所學(xué)知識，鼓勵學(xué)生暢談本節(jié)課的收獲，鼓勵學(xué)生提出疑問并給予解答。學(xué)生總結(jié)完成之后，教師給予適當(dāng)補(bǔ)充。

學(xué)生自主總結(jié)單調(diào)遞減、單調(diào)遞增的概念，用上課所學(xué)定義來證明函數(shù)單調(diào)性的方法。

（設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生系統(tǒng)地梳理本節(jié)知識和思想方法，形成脈絡(luò)清晰的知識網(wǎng)絡(luò)，同時也讓學(xué)生學(xué)會利用某些事物的已知特性去探索未知事物的方法。）

5.布置作業(yè)

作業(yè)：完成以下課后練習(xí)題：

（1）根據(jù)定義證明函數(shù)y=x+■在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增。

（2）根據(jù)定義證明函數(shù)f（x）=3x+2是增函數(shù)。

（設(shè)計(jì)意圖：布置課后習(xí)題，鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，加深學(xué)生對知識的理解，同時也讓學(xué)生通過做習(xí)題了解自己對本節(jié)課知識的掌握程度，及時發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行改正。在以后的教學(xué)中，教師還可以根據(jù)學(xué)生作業(yè)完成情況來及時調(diào)整自己的教學(xué)方法，改進(jìn)教學(xué)思路。）

三、結(jié)論與建議

數(shù)學(xué)知識的難度系數(shù)雖然在逐漸加大，但是這些知識之間是存在一定聯(lián)系的。經(jīng)上述討論我們發(fā)現(xiàn)，類比法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中較為高效的一種方式方法。通過同類知識類比、相似知識類比以及新舊知識類比，教師可以更好地優(yōu)化自身的教學(xué)方式，并深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和記憶，慢慢增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

在運(yùn)用類比法進(jìn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)時，需要注意以下幾點(diǎn)：

（一）類比的對象

類比法是一種思維方法，它是將某一事物或概念與另一事物或概念進(jìn)行比較，然后將其屬性或特征進(jìn)行類比，從而認(rèn)識事物或概念的方法。在應(yīng)用類比法進(jìn)行教學(xué)時，我們首先要明確需要進(jìn)行類比的對象，其次要理解兩個對象之間的相似之處和差異之處。

（二）突出相似點(diǎn)和差異點(diǎn)

在類比教學(xué)中，兩個對象雖然不可能完全相同，但至少有部分相似，因此在教學(xué)中一定要突出相似點(diǎn)與差異點(diǎn)。相似點(diǎn)主要用于推導(dǎo)、類比和歸納，而差異點(diǎn)則能夠使學(xué)生深入理解概念和事物的本質(zhì)。

（三）尋找問題的本質(zhì)

類比法是幫助學(xué)生更好地理解知識點(diǎn)的一種方法，但是由于學(xué)生缺乏相應(yīng)的知識背景，在進(jìn)行類比教學(xué)時往往會陷入只看表面的誤區(qū)，導(dǎo)致無法深入理解知識點(diǎn)。因此，在進(jìn)行類比教學(xué)時，教師需要引導(dǎo)學(xué)生思考問題的本質(zhì)，從而達(dá)到深刻理解知識點(diǎn)的目的。

（四）類比的適用范圍

類比法是一種常用的教學(xué)方法，但并不是所有的知識點(diǎn)都可以采用類比法進(jìn)行教學(xué)。在使用類比法進(jìn)行教學(xué)時，要根據(jù)具體情況判斷是否可以采用類比法，而且要注意類比的適用范圍。

綜上所述，類比法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用效果非常顯著，在教學(xué)過程中教師要注重對類比方法進(jìn)行靈活運(yùn)用，將相似點(diǎn)和差異點(diǎn)凸顯出來，引導(dǎo)學(xué)生通過比較和分析去尋找問題本質(zhì)。同時，在進(jìn)行類比法應(yīng)用時還要注意類比的適用范圍。

（作者單位：陽江市陽東區(qū)鳳凰中學(xué)）

編輯：趙飛飛