作者簡(jiǎn)介：方天佑（1976—），男，漢族，甘肅慶陽人，大學(xué)學(xué)歷，一級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教育。

相較于其他學(xué)科，高中數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性顯著，尤其三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)是高考重點(diǎn)內(nèi)容，不僅需要學(xué)生扎實(shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)，還要靈活運(yùn)用解題技巧，切實(shí)提升教學(xué)成效。

下面以“三角函數(shù)”為例，闡述深度學(xué)習(xí)理念下高效課堂的建設(shè)，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的同時(shí)提高學(xué)生綜合實(shí)踐能力。

一、教材分析

高中三角函數(shù)主要包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象和應(yīng)用。其中，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)主要討論周期性、最值、對(duì)稱性等方面，而正切函數(shù)則主要討論定義域、值域、單調(diào)性等方面。從代數(shù)、幾何兩個(gè)角度分析函數(shù)，可將三角函數(shù)內(nèi)容分為運(yùn)算主線和函數(shù)主線，并將兩個(gè)主線整理如下，見圖1。

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圖1

二、學(xué)情分析

學(xué)生在三角函數(shù)之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些基本的函數(shù)知識(shí)，對(duì)函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象有一定的了解。同時(shí)，學(xué)生也掌握了一些基本的數(shù)學(xué)思想和方法，如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化和歸納等。部分學(xué)生對(duì)三角函數(shù)感到新鮮和陌生，但也有一些學(xué)生可能對(duì)三角函數(shù)有所了解，因此不同的學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度和興趣可能會(huì)有所不同。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)的概念和性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，并使其在實(shí)踐中應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。

2.使學(xué)生掌握三角函數(shù)的計(jì)算方法，包括角度轉(zhuǎn)換、三角函數(shù)值的計(jì)算、三角函數(shù)的圖象表示等，并能夠解決一些實(shí)際問題，鍛煉問題解決能力。

3.培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，包括觀察、分析、綜合、抽象、概括等能力，并使其解決一些實(shí)際問題。

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：（1）理解三角函數(shù)的概念和基本性質(zhì)。（2）掌握三角函數(shù)的值域和解析式。（3）能夠應(yīng)用三角函數(shù)解決實(shí)際問題。

教學(xué)難點(diǎn)：（1）理解和應(yīng)用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，如周期性、最值、對(duì)稱性等。（2）正確地掌握正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能夠?qū)⑵鋺?yīng)用到具體的解題中。（3）正確地掌握三角恒等式和三角不等式，并能夠?qū)⑵鋺?yīng)用到具體的題目中。

五、基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)——以“三角函數(shù)”為例

（一）情境導(dǎo)入

教師：大家好，你們坐過摩天輪嗎？摩天輪上的纜車是如何運(yùn)動(dòng)的？（播放摩天輪視頻，讓學(xué)生觀察摩天輪并思考。）

學(xué)生A：摩天輪是一個(gè)圓，而纜車則是圓上的一個(gè)點(diǎn)，纜車的運(yùn)動(dòng)軌跡就是圓周。

教師：這位同學(xué)回答得很好，但請(qǐng)同學(xué)們?cè)偕钊胨伎?，纜車在摩天輪上的具體位置該怎樣確定呢？

問題探究：如何理解“具體的位置”？

教師：將摩天輪比作圓，并假設(shè)圓的半徑為r，某一點(diǎn)（纜車）以角速度ω（度/min）運(yùn)動(dòng)了t（min）的位置為“具體的位置”。采用何種方法可以將“位置”清晰表示出來？

學(xué)生A：基于以往數(shù)學(xué)知識(shí)，可以利用直角坐標(biāo)系表示位置，水平方向?yàn)閤軸，垂直方向?yàn)閥軸。

學(xué)生B：將圓的圓心與原點(diǎn)O重合，假設(shè)圓的半徑r=1，點(diǎn)的起始位置為圓與x軸正半軸的交點(diǎn)是（1，0）。

學(xué)生C：圓的半徑為1，起始位置P（1，0），點(diǎn)圍繞原點(diǎn)進(jìn)行逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)后達(dá)到P（x，y）點(diǎn)，角速度ω、時(shí)間t、位置P（x，y）又存在什么關(guān)系呢？

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圖2 摩天輪簡(jiǎn)化模型

教師：如果我們僅考察x軸、y軸，又該如何用函數(shù)表示呢？

學(xué)生A：在x軸上，可以設(shè)計(jì)函數(shù)f（0+ωt）=f（ωt）=x。

學(xué)生B：在y軸上，可以設(shè)計(jì)函數(shù)g（0+ωt）=g（ωt）=y。

教師：對(duì)于ωt，同學(xué)們有什么想法呢？

學(xué)生A：隨著時(shí)間t的增大，ωt也會(huì)隨之增大，但會(huì)超出0～360°的范圍。

教師：同學(xué)們可以嘗試著從旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度兩個(gè)方面定義角。（任意角定義的教學(xué)）

教師：對(duì)于f（ωt）=x，各位同學(xué)有什么想法呢？（弧度制教學(xué)）

學(xué)生A：ω為度，圓周為弧度，度和弧度兩者該怎么轉(zhuǎn)化呢？

學(xué)生B：我們可以利用初中經(jīng)驗(yàn)完成度和弧度的轉(zhuǎn)化，利用初中經(jīng)驗(yàn)得到■=■，再利用不變量思想實(shí)現(xiàn)弧度制的定義。

教師：那我們來重新認(rèn)識(shí)一下f（ωt）=x。設(shè)ωt=α，則會(huì)得到函數(shù)關(guān)系f（α）=x，g（α）=y。同學(xué)們可以回憶一下初中銳角三角函數(shù)，高中f（α）=x，g（α）=y與初中銳角三角函數(shù)有什么異同之處？

學(xué)生A：在第一象限中，f（α）、g（α）和初中三角函數(shù)表達(dá)式一致。

學(xué)生B：自變量的范圍不一樣了。

（設(shè)計(jì)意圖：都是關(guān)于“角”的函數(shù)，在學(xué)習(xí)過程中使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用類比思想。）

（二）探究新知

教師：設(shè)α為弧度制，若處于銳角范圍內(nèi)，同學(xué)們思考一下f（α）=x與cosα=■是一致的嗎？怎么辨析兩者？

學(xué)生：兩者是一樣的?？梢詮暮瘮?shù)的三要素著手思考，自變量α和對(duì)應(yīng)關(guān)系一致就可以?？梢赃\(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法分析兩個(gè)函數(shù)，明確兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系。假設(shè)角α與單位圓相交于A（x1，y1），作A點(diǎn)垂直于x軸相交于B點(diǎn)，構(gòu)成三角形OAB；在角α終邊上取一點(diǎn)，記為P（x，y），作點(diǎn)P垂直于x軸相交于M點(diǎn)，構(gòu)成三角形OPM。運(yùn)用相似三角形性質(zhì)，可得cosα=■=x1，說明對(duì)應(yīng)關(guān)系一致。

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圖3 探究三角函數(shù)定義

（設(shè)計(jì)意圖：三角函數(shù)是函數(shù)領(lǐng)域的重要主題，認(rèn)真學(xué)習(xí)三角函數(shù)，可由淺入深地理解函數(shù)性質(zhì)，幫助學(xué)生樹立辯證思維，明晰三角函數(shù)的辯證關(guān)系。）

教師：剛剛研究的是在銳角內(nèi)兩個(gè)函數(shù)是一樣的，那在鈍角內(nèi)，同學(xué)們思考一下f（α）=x與cosα=■是一致的嗎？怎么辨析兩者？

學(xué)生A：可能是一樣的吧。

學(xué)生B：兩者不一樣。f（α）在第二象限內(nèi)的值為“-”，而在初中函數(shù)知識(shí)中，cosα的值為比值，始終為正數(shù)。

教師：有了不同的想法，這說明了什么？

教師：我們要清楚初中的三角函數(shù)知識(shí)是低階的，是“三角比”，根據(jù)已知角求邊。如果斜邊固定為1，在0～90°內(nèi)，兩者一致，得到f（α）=cosx=x。其中的cos與初中cos則是不同的。

（設(shè)計(jì)意圖：在任意角、弧度制的定義教學(xué)中，使學(xué)生對(duì)f（α）、g（α）兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式有更加深入的認(rèn)識(shí)。）

教師：設(shè)角α是任意角，在角α終邊上取一點(diǎn)，記為P（x，y），該點(diǎn)不與原點(diǎn)O重合，P點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為r。請(qǐng)同學(xué)們求證：cosα=■，sinα=■，tanα=■，并總結(jié)任意角三角函數(shù)實(shí)質(zhì)。

學(xué)生：實(shí)質(zhì)為“R→［1，1］”的對(duì)應(yīng)，即角與角終邊與單位圓焦點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)。

（三）總結(jié)回顧

學(xué)習(xí)了新的知識(shí)點(diǎn)后，教師要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，為學(xué)生布置課堂練習(xí)題，可在PPT上將三角函數(shù)練習(xí)題呈現(xiàn)出來。

教師：請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用剛剛課堂上學(xué)習(xí)的新知識(shí)點(diǎn)計(jì)算PPT上的練習(xí)題，求得三角函數(shù)值。

PPT上呈現(xiàn)的練習(xí)題：計(jì)算sin150°的三角函數(shù)值。

（四）作業(yè)設(shè)計(jì)

作業(yè)一：求■的正弦值、余弦值與正切值。

作業(yè)二：求證：角θ為第三象限角的充要條件是sinθ<0tanθ>0。

作業(yè)三：若sinα=-■，求α值。

（設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生理解、掌握三角函數(shù)定義，并靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式求得三角函數(shù)值。）

六、“深度學(xué)習(xí)”評(píng)價(jià)體系的多元

在三角函數(shù)深度學(xué)習(xí)課堂中，可采用過程性三角函數(shù)單元學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)模式，具體如表1（見文末）。

七、教學(xué)反思

（一）因材施教，感知數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》鼓勵(lì)教師創(chuàng)新教學(xué)方法，以學(xué)生實(shí)際學(xué)情作為基準(zhǔn)，踐行因材施教原則。高中數(shù)學(xué)教師要全面了解學(xué)生，為學(xué)生制訂個(gè)性化學(xué)習(xí)方式，提升學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量。因數(shù)學(xué)知識(shí)較為抽象，學(xué)習(xí)難度較高，教師需斟酌問題的提出方式，既包含課程教學(xué)要點(diǎn)，又蘊(yùn)含趣味性，讓學(xué)生產(chǎn)生自主探究的欲望，并付諸行動(dòng)。深度學(xué)習(xí)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，有助于鍛煉學(xué)生獨(dú)立自主解決問題的能力，對(duì)學(xué)生綜合實(shí)踐能力提升有重要意義。

（二）層層遞進(jìn)，實(shí)現(xiàn)高階思維發(fā)展

深度學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，而是層層遞進(jìn)的學(xué)習(xí)過程，由淺入深，實(shí)現(xiàn)學(xué)生高階思維的發(fā)展。高中數(shù)學(xué)教師要通過深度學(xué)習(xí)教學(xué)活動(dòng)提高學(xué)生認(rèn)知水平，實(shí)現(xiàn)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生扎實(shí)掌握知識(shí)，利用知識(shí)點(diǎn)層層解析問題，抽絲剝繭，直至問題核心，快速解決問題。這樣，學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握愈加扎實(shí)，能了解知識(shí)本質(zhì)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，對(duì)自身高階思維的培養(yǎng)具有重要意義。

（三）深化問題，掌握問題解決辦法

深度學(xué)習(xí)教學(xué)模式能引導(dǎo)學(xué)生了解知識(shí)來源，在深挖知識(shí)來源過程中強(qiáng)化學(xué)生自我批判意識(shí)，使其不斷自省，積累豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。處于高中階段的學(xué)生，思維發(fā)展較為成熟，但水平不一，高中數(shù)學(xué)教師設(shè)計(jì)問題時(shí)要遵循學(xué)生這一特點(diǎn)，設(shè)計(jì)難度不同的問題，學(xué)生可依據(jù)自身情況選取問題并予以解決，也可鼓勵(lì)學(xué)生挑戰(zhàn)高難度數(shù)學(xué)問題，鍛煉學(xué)生問題解決能力。

（作者單位：甘肅省慶陽市慶陽第四中學(xué)）

編輯：趙飛飛