許志盛

(江蘇省江陰市第一中學(xué) 214400)

立體幾何的考查與應(yīng)用是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見的基本知識(shí)點(diǎn)之一，解決問題的關(guān)鍵是緊扣題目條件中立體幾何的核心信息，通過對(duì)應(yīng)的立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)，利用立體幾何中的空間點(diǎn)、直線、平面等之間相關(guān)的位置關(guān)系，以及邊、角等相關(guān)信息，合理強(qiáng)化邏輯推理，正確數(shù)學(xué)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)立體幾何問題的合理推理與應(yīng)用．

1 問題呈現(xiàn)

問題(多選題)三棱錐V-ABC中，△ABC是等邊三角形，頂點(diǎn)V在底面ABC的投影是底面的中心，側(cè)面VAB⊥側(cè)面VAC，則( ).

2 試題分析

本題是一道立體幾何的多選題，根據(jù)題意條件以及創(chuàng)新情境，考生可以直接猜想該立體幾何題為一特殊模型——“墻角”，即VA,VB,VC兩兩垂直，后面4個(gè)選項(xiàng)的相應(yīng)運(yùn)算和推理判斷便不太困難了．另一方面，如果我們需要準(zhǔn)確判斷這是一個(gè)“墻角”問題，或者把這個(gè)問題改編為一道解答題， 我們?cè)撊绾巫C明?

由題目的條件，三棱錐V-ABC中，△ABC是等邊三角形，頂點(diǎn)V在底面ABC的投影是底面的中心，可以比較容易證得這是一個(gè)正三棱錐，最后側(cè)面VAB⊥側(cè)面VAC便成為了關(guān)鍵的一個(gè)條件，即使我們事先還沒意識(shí)到這是一個(gè)“墻角”問題，但如何運(yùn)用面面垂直的條件，去進(jìn)一步挖掘幾何體的關(guān)系，正是命題人希望考查考生的關(guān)鍵環(huán)節(jié)!另外還要用到正三棱錐的重要性質(zhì)：底面正三角形的各邊分別與相對(duì)的側(cè)棱垂直．

3 問題破解

圖1

4 追根溯源

以上問題作為多項(xiàng)選擇題，如果考生能借助立體幾何中的特殊模型——立體幾何中的“墻角”意識(shí)，可直接利用“墻角”的基本性質(zhì)與直觀圖形加以計(jì)算并判斷選項(xiàng)．如果考生沒有上述意識(shí)，我們從破解核心條件的角度來看，回歸教材，追根溯源，同時(shí)也是對(duì)上述“墻角”的證明．

題1 (人教版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》(必修第二冊(cè))第164頁第17題)求證：三個(gè)兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直．(“墻角”模型)

題2(人教版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》(必修第二冊(cè))第160頁例10)已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB．

5 鏈接高考

在歷年的高考數(shù)學(xué)試卷的真題中，也經(jīng)常有立體幾何中的“墻角”模型及其綜合應(yīng)用，或出現(xiàn)在選擇題、填空題這類小題中，或出現(xiàn)在解答題這類大題中，以問題背景的形式或合理轉(zhuǎn)化來體現(xiàn)．

高考真題(2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷理科·12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為( ).

6 變式拓展

結(jié)合創(chuàng)新情境的立體幾何背景與數(shù)學(xué)文化的綜合應(yīng)用，從不同思維視角、不同問題背景來巧妙創(chuàng)設(shè)，拓展思維，并結(jié)合多選題的特征，從多個(gè)層面加以發(fā)散思維，得到相應(yīng)的變式拓展問題．

變式1(2021屆湖南模擬)(多選題)截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟牵唇厝ニ拿骟w的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體．如圖2所示，將棱長(zhǎng)為3a的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長(zhǎng)均為a的截角四面體，則下列說法正確的是( ).

圖2 圖3

二面角A-BC-D的余弦值應(yīng)該為負(fù)值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

故選ABC．

變式2(多選題)將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C，點(diǎn)P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是( ).

A．異面直線AC與BD所成的角為60°

B．△ACD是等邊三角形

D．四面體ABCD的外接球的表面積為8π

解析對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)锽D⊥OA，BD⊥OC，OA∩OC=O，所以BD⊥平面AOC，AC?平面AOC.

所以BD⊥AC，異面直線AC與BD所成的角為90°，不是60°，所以選項(xiàng)A錯(cuò)；

在平時(shí)的訓(xùn)練中，我們要及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在答題中存在問題的“癥結(jié)”原因，對(duì)癥下藥，合理選題，展開針對(duì)性的訓(xùn)練．熟悉掌握一些基本的立體幾何特殊模型，如“墻角”模型，組合體模型，在解決選擇題或填空題時(shí)可以根據(jù)題目條件與立體幾何模型的關(guān)系加以直接應(yīng)用，在應(yīng)對(duì)解答題時(shí)也可以利用條件合理引導(dǎo)，指導(dǎo)推理論證的目標(biāo)．