魏東升

(福建省廈門(mén)雙十中學(xué)漳州校區(qū) 363107)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的主要載體之一，其一直是高考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)內(nèi)容.在處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題時(shí)，對(duì)零點(diǎn)的處理往往是一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，有些超越函數(shù)(指不滿(mǎn)足任何以多項(xiàng)式作系數(shù)的多項(xiàng)式形式的函數(shù)，如三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)等)的零點(diǎn)確實(shí)存在，但無(wú)法精確求解，此謂之“隱零點(diǎn)”；有些導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)雖然可求，但因含參而需要討論.對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，常見(jiàn)的處理方式主要有虛設(shè)零點(diǎn)、化隱為顯和變更主元三大類(lèi).

本文主要探討這類(lèi)壓軸題中變更主元的幾種處理視角.所謂變更主元，是指有些數(shù)學(xué)問(wèn)題中常含變量，在某些情況下若按常規(guī)思路確定主元可能會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題復(fù)雜化，若能針對(duì)題目的結(jié)構(gòu)特征人為地突出某個(gè)變量的主體地位，將之當(dāng)作主元構(gòu)造新的函數(shù)，則可達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的.這種問(wèn)題解決的思想方法也稱(chēng)為主元法.

下面結(jié)合近幾年的部分高考導(dǎo)數(shù)壓軸題來(lái)感受這種策略，以供大家參考.

1 變更主元，構(gòu)超越函數(shù)

則g′(a)=lna-ln(2ex).

當(dāng)a<2ex時(shí)，g′(a)<0；

當(dāng)a>2ex時(shí)，g′(a)>0，

所以a=2ex時(shí)，g(a)取最小值為

g(2ex)=e2x-2ex.

令h(t)=e2t-2et，則h′(t)=2e2t-2e.

即g(a)≥0.

評(píng)注本題常規(guī)的一種做法是通過(guò)對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合第一問(wèn)的相關(guān)結(jié)論發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)有隱零點(diǎn)，再虛設(shè)零點(diǎn)后進(jìn)行消“超”代換(指的是把超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為普通函數(shù))，得到關(guān)于隱零點(diǎn)為自變量的一個(gè)雙勾函數(shù)，最終利用均值不等式或求導(dǎo)證得.這種方法對(duì)學(xué)生的能力要求較高，這里采用了重新構(gòu)造關(guān)于變量a的對(duì)數(shù)超越函數(shù)，此法很好地避免了隱零點(diǎn)的出現(xiàn).

2 變更主元，構(gòu)冪函數(shù)

例2 (2016年全國(guó)Ⅲ卷文)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1．設(shè)c>1，證明:當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，1+(c-1)x>cx.

證明當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，設(shè)h(c)=cx-cx+x-1，c>1,

則h′(c)=xcx-1-x=x(cx-1-1)>0.

所以h(c)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以h(c)>h(1)=0.

所以當(dāng)c>1，x∈(0,1)時(shí)，1+(c-1)x>cx.

評(píng)注本題常規(guī)的一種做法是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g(x)=cx-cx+x-1再進(jìn)行求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后，再結(jié)合前兩問(wèn)的相關(guān)結(jié)論對(duì)零點(diǎn)的范圍進(jìn)行放縮，最終利用g(x)的單調(diào)性證得.這種方法其實(shí)是命題者在“高考要體現(xiàn)選拔功能”的思想引領(lǐng)之下給出的一種證法，這里采用重新構(gòu)造關(guān)于變量c的冪函數(shù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)根本不需用到前兩問(wèn)的結(jié)論就使得問(wèn)題得到完美解決！

3 變更主元,構(gòu)雙勾函數(shù)

證明原不等式等價(jià)于證明

因?yàn)閍<0，

所以原不等式等價(jià)于證明

設(shè)h(t)=lnt-t+1，

當(dāng)t<1時(shí)，h′(t)>0；

當(dāng)t>1時(shí)，h′(t)<0，

所以h(t)≤h(1)=0．

評(píng)注這里的證明思路主要是重新構(gòu)造關(guān)于變量a的雙勾函數(shù)，再利用均值不等式實(shí)現(xiàn)消參的目的．較之本題的常規(guī)做法(即通過(guò)直接求導(dǎo)得到f(x)的最值)并沒(méi)有優(yōu)勢(shì)，這是因?yàn)閒′(x)的零點(diǎn)并非是隱零點(diǎn)，它可以直接求出來(lái).這也提醒我們?cè)诮忸}時(shí)不要盲目地進(jìn)行主元的變更，有時(shí)變更可以事半功倍，有時(shí)卻可能導(dǎo)致事倍功半，所以應(yīng)該具體問(wèn)題具體分析．

4 變更主元,構(gòu)二次函數(shù)

所以p(x)≥p(1)=0．

所以q(x)<0．

通過(guò)上述幾道真題我們知道，通過(guò)變更主元后構(gòu)造關(guān)于新元的超越函數(shù)、冪函數(shù)、雙勾函數(shù)和二次函數(shù)等函數(shù)進(jìn)行求解，是處理導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)等問(wèn)題的常見(jiàn)策略之一．在導(dǎo)數(shù)壓軸題的教學(xué)過(guò)程中，像這樣以專(zhuān)題的形式介紹隱零點(diǎn)問(wèn)題的處理策略，盡量一次性徹底地解決與其有關(guān)的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生解題水平的提升、邏輯思維的訓(xùn)練和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，想必都是極好的．