石婷,張輝

(安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院,安徽 安慶 246133)

1.引言及主要結(jié)果

其中u(u1,u2,u3)表示流體的速度,ω(ω1,ω2,ω3)是微旋轉(zhuǎn)速度場,b(b1,b2,,b3)是磁場,p(t,x)R表示流體的壓力,μ,κ,σ,χ,ν是各種粘性系數(shù),(u0,ω0,b0)是給定的初始值,且在分布意義下滿足?·u0?·b00.

分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子Λ可以通過傅里葉變換定義,即

磁場微極流方程組已經(jīng)被許多學(xué)者所研究,ZHANG,YAO與WANG[1]建立了Triebel-Lizorkin空間中三維磁場微極流方程組的正則性準(zhǔn)則.Gala[2]建立了Morrey-Campanto空間中在三維情況下不可壓磁場微極流方程組的正則性準(zhǔn)則.YUAN[3]研究了三維不可壓磁場微極流方程組弱解的正則性準(zhǔn)則和光滑解的爆破準(zhǔn)則.LIU,SUN和MENG[4]證明了在三維情形下帶阻尼的磁場微極流方程組的整體適定性.

磁場微極流方程組是不可壓縮流體力學(xué)方程組中一個相當(dāng)完整的系統(tǒng).在一定條件下,可以退化成一些經(jīng)典的方程組.如NS方程組(ωb0;χ0),MHD方程組(ω0;χ0)和微極流方程組(b0).由于上述流體模型在數(shù)學(xué)和物理上有很重要的應(yīng)用,數(shù)學(xué)研究者關(guān)于上述流體模型產(chǎn)生了濃厚的興趣,其整體適定性問題受到了廣泛的關(guān)注.對于MHD方程組的一些結(jié)果可參考文[5-9],微極流方程組的一些結(jié)果可參考文[10-14].對于二維情形下的磁場微極流方程組(1.1)其適定性問題已經(jīng)得到了廣泛的研究,如Yamazaki[15]利用方程組的特殊結(jié)構(gòu)和Littlewood-Paley分解技術(shù),成功得到了方程組解的整體正則性(σ0).SHANG和WU[16]研究了不同耗散情況下的二維廣義不可壓磁場微極流體方程組的整體正則性.

本文考慮三維情形下帶有分?jǐn)?shù)階耗散項的廣義磁場微極流方程組解的的整體適定性問題.最近,文[17]建立了當(dāng)

時解的整體適定性.

受到上述研究的啟發(fā),本文通過對方程組的結(jié)構(gòu)進行細(xì)致分析并結(jié)合能量方法建立了如下的結(jié)論：

5) 加強控制系統(tǒng)的密碼管理，對操作系統(tǒng)、應(yīng)用軟件、控制設(shè)備等密碼制訂定期更改計劃。加強口令強度，密碼要求設(shè)置口令長度至少8位，由非純數(shù)字或字母組成。

定理1.1假設(shè)(u0(x),ω0(x),b0(x))3(R3)且?·u0?·b00,則對帶有分?jǐn)?shù)階耗散項的磁場微極流方程組

若α ≥則對任意的T>0,有(u,ω,b)(0,T;H3(R3))是方程組(1.3)唯一的整體解.

注1.1相對于文[17],本文的微旋度場和磁場沒有耗散項,得到的結(jié)果可以看成是文[17]關(guān)于分?jǐn)?shù)階磁場微極流方程解的適定性結(jié)論的一個補充,即使對于分?jǐn)?shù)階微極流方程組(b0),定理1.1也是一個新的結(jié)果.

注1.2為了使計算簡便,本文假設(shè)方程組(1.3)中的粘性系數(shù)μχ;κ1,函數(shù)的Lp-范數(shù)用∥·∥Lp表示,Hs-范數(shù)用∥·∥Hs表示.

2.定理1.1的證明

為了獲得更高的能量估計,需要如下的交換子估計[18]:

引理2.1令s>0,1

其中q1,p2(1,∞)和p1,q2[1,∞]且滿足

定理1.1的證明證明分成三步,第一步是對(u,ω,b)做H1估計;第二步是對(u,ω,b)做H2估計;第三步是對(u,ω,b)做H3估計.為了簡便,令α

第一步：為了獲得H1-估計,首先做L2估計,將方程組(1.3)的第一個方程乘上u,第二個方程乘上ω,第三個方程乘上b,在R3上積分,并結(jié)合分部積分方法,有

其次,對(u,ω,b)做H1-估計,將方程組(1.3)的第一個方程乘上?u,第二個方程乘上?ω,第三個方程乘上?b,在R3上積分,并通過分部積分得到

下面利用?·u0,并結(jié)合H?lder不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式,Young不等式等對(2.6)式右邊分別進行逐項估計

聯(lián)立上面所有的結(jié)果代入(2.6),有

第二步:H2-估計,用算子?作用于方程組(1.3)的前三個方程,然后將方程組(1.3)的第一個方程乘上?u,第二個方程乘上?ω,第三個方程乘上?b,在R3上積分,并通過分部積分有

利用引理2.1,并結(jié)合H?lder不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式,Young不等式等對(2.12)式右邊分別進行逐項估計

綜合上面的各項估計,代入(2.12)可得

第三步:H3-估計,用算子??作用到方程組(1.3)的前三個方程,然后將方程組(1.3)的第一個方程乘上??u,第二個方程乘上??ω,第三個方程乘上??b,在R3上積分,并通過分部積分得到

注意到?·u0,利用引理2.1,并結(jié)合H?lder不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式,Young不等式等對(2.20)式右邊分別進行逐項估計

將上述不等式(2.21)-(2.25)都加到一起,代入(2.20)有

綜合估計式(2.5)、(2.11)、(2.19)和(2.26),可得到

由經(jīng)典的對數(shù)型Sobolev不等式[19]有

代入(2.27)可得到

由Gronwall不等式和基本能量估計(2.5),有

從而完成了定理1.1的證明.