朱倩

【摘要】在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種常用的數(shù)學(xué)方法.數(shù)學(xué)課堂需要在師生的互動(dòng)中呈現(xiàn)“數(shù)形”的學(xué)習(xí)策略，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用“圖形”來(lái)解題，見數(shù)擬形，見數(shù)思形，見數(shù)成形.文章通過(guò)例題切入，讓學(xué)生在解題過(guò)程中樹立“圖形”意識(shí)，感受數(shù)形結(jié)合的好處，理解從“數(shù)形”到“塑型”的數(shù)學(xué)思想形成，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具“數(shù)學(xué)味”.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合例題；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，若賦予數(shù)量關(guān)系、抽象概念和解析式幾何意義，往往會(huì)使相關(guān)內(nèi)容變得非常直觀，若通過(guò)數(shù)量關(guān)系研究一些圖形的屬性，則會(huì)使圖形的性質(zhì)更豐富、更深刻.但是，在學(xué)習(xí)初學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，很多學(xué)生往往沒(méi)有對(duì)“數(shù)”的含義進(jìn)行深度思考，常常出現(xiàn)見數(shù)就用，從而做錯(cuò)題的現(xiàn)象.同時(shí)，很多老師也是就題講題，忽略了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，沒(méi)有合理運(yùn)用策略.教師如果合理利用“數(shù)形”結(jié)合思想，并加以引導(dǎo)，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)解題途徑，并在操作中形成“模型”，這樣就避免了復(fù)雜的計(jì)算與推理，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，更有助于學(xué)生形成好的解題習(xí)慣，使學(xué)生在練習(xí)中掌握知識(shí)和技能，在探究中獲得經(jīng)驗(yàn)，在實(shí)踐中形成素養(yǎng)，使學(xué)生體驗(yàn)“獲得”的快樂(lè).

一、結(jié)合例題，引發(fā)思考

教師要經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生從簡(jiǎn)單問(wèn)題出發(fā)，積極引導(dǎo)思考，鼓勵(lì)“學(xué)有疑”的學(xué)生走上講臺(tái)，大膽提問(wèn)，把時(shí)間留給學(xué)生.評(píng)講如下例題時(shí)，筆者更關(guān)注學(xué)生的主動(dòng)思考.

例：一根木料鋸成4段要12分鐘，如果每鋸一段所用的時(shí)間相同，那么鋸成7段要花多少分鐘？

對(duì)于平時(shí)就不愛動(dòng)腦筋的學(xué)生，解這道題時(shí)，見數(shù)就用，很少動(dòng)手操作去發(fā)現(xiàn)解法.而作為教師，一無(wú)鋸二無(wú)木，如何生動(dòng)形象、妙趣橫生地講給學(xué)生聽呢？經(jīng)過(guò)考慮，決定把題目出示在黑板上，看看學(xué)生有什么反應(yīng).

二、積極引導(dǎo)，解決問(wèn)題

小學(xué)生思維發(fā)展的基本特點(diǎn)是由以具體形象思維為主要形式逐步過(guò)渡到以抽象邏輯思維為主要形式，但是這種抽象邏輯思維在很大的程度上仍然是直接與感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的，仍然具有很大成分的具體形象性.在實(shí)際教學(xué)中，利用好的案例，積極鼓勵(lì)學(xué)生參與操作，引發(fā)思考，有助于學(xué)生形成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（一）初探：撕

例題一出，課堂由安靜變得熱鬧起來(lái)，由無(wú)聲到竊竊私語(yǔ)，再由私語(yǔ)漸變成激烈討論.有兩名同學(xué)爭(zhēng)論得尤為激烈，一名同學(xué)左手拿著一張小紙條，右手高高揚(yáng)起，好像在做“撕”或“切”的動(dòng)作，另一名同學(xué)也是不甘示弱，喋喋不休，其他同學(xué)也是躍躍欲試.筆者在一旁靜觀其變，看著他們“演示”，眉頭舒展，這不就是自己想要的課堂嗎？

只見其中一名同學(xué)拿了紙條，匆匆走上來(lái)，左手將小紙條揚(yáng)起，嘴里念叨：“這好比木頭.”右手輕輕一撕，一節(jié)掉在地上，再一撕，又掉了一節(jié).

筆者進(jìn)一步提示：“撕的動(dòng)作像什么？”

同學(xué)們異口同聲：“鋸木頭.”

“鋸了幾次？”

“兩次.”

“分成了幾節(jié)？”

課堂上出現(xiàn)了兩種聲音：2和3.

“到底是幾節(jié)？”筆者見縫插針，然后環(huán)視課堂.

教室出現(xiàn)短暫安靜，引起了短時(shí)間沉思……

此時(shí)，只見撕紙條那名同學(xué)高高揚(yáng)起左手，“我手上還有一節(jié)呢！”他響亮的聲音在班上響起.

（二）驗(yàn)證：切

筆者趁熱打鐵：“還可以用什么學(xué)習(xí)用具來(lái)分一分？”話音剛落，學(xué)生一個(gè)個(gè)忙得不亦樂(lè)乎！有人找橡皮，有人找小刀，連平時(shí)不愛發(fā)言，思考不那么積極的學(xué)生也參與進(jìn)來(lái)了，忙著用小刀把橡皮切成4小塊……

筆者悄悄湊過(guò)去，輕輕問(wèn)：“通過(guò)操作驗(yàn)證，得到4塊，你切了幾次？明白段數(shù)與次數(shù)的數(shù)量關(guān)系了嗎？”

筆者轉(zhuǎn)身追問(wèn)：“考試沒(méi)有紙、小刀怎么辦？”

（三）演示：比

在筆者的鼓勵(lì)下，一名同學(xué)脫口而出：“五個(gè)指頭人人有，五指之間有四空.”邊說(shuō)邊張開右手，小手舉得高高，接著又說(shuō)：“指頭是段數(shù)，空是次數(shù).”這是筆者想看到的，在操作中，學(xué)生有了體驗(yàn)，也有了想法.

（四）深究：畫

接下來(lái)，筆者不急于點(diǎn)評(píng)和講解，而是鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)思考：“段數(shù)多，手指不夠用怎么辦？”引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫圖來(lái)解決問(wèn)題.

“由圖可知，段數(shù)=次數(shù)+1.”

“真是這樣?。　币黄澰S目光投向這名同學(xué).

隨即質(zhì)疑：為什么要加1？

學(xué)生聲音洪亮：我們是通過(guò)數(shù)來(lái)確定的.

“真的嗎？”接著反問(wèn)，環(huán)顧四周，全堂啞然.筆者舉起左手，張開五指，進(jìn)行示范.同學(xué)們也情不自禁地效仿起來(lái)，伸出左手，張開五指.

筆者接著舉起右手，伸出食指，先點(diǎn)在左手的大拇指上，慢慢移到指縫處，再將食指點(diǎn)在左手的食指上，慢慢移到指縫處進(jìn)行演示……提示：從大拇指開始，有第一個(gè)指縫與大拇指對(duì)應(yīng)，有第二個(gè)指縫與食指對(duì)應(yīng)，以此類推，無(wú)名指對(duì)應(yīng)第四個(gè)指縫，它們是不是都是一一對(duì)應(yīng)的？

“一一對(duì)應(yīng).”學(xué)生們大聲附和.

“那么小手指有沒(méi)有指縫與它對(duì)應(yīng)？”

“沒(méi)有.”

追問(wèn)：“怎么辦？”話音未落，“加1”，聲音響起.

此時(shí)，筆者趕緊趁熱打鐵：再來(lái)看黑板上的這個(gè)圖形，你們有什么發(fā)現(xiàn)？掃視課堂，同學(xué)們個(gè)個(gè)摩拳擦掌，手舉得一個(gè)比一個(gè)高.筆者指名回答.“下面的1次對(duì)應(yīng)的是上面的第1段，以此類推，6次對(duì)應(yīng)的是上面的第6段，7段就沒(méi)有對(duì)應(yīng)的次數(shù)了.”

追問(wèn)：怎么辦？

“加1.”鏗鏘有力的聲音在教室里回響！

“通過(guò)一一對(duì)應(yīng)地?cái)?shù)手指與指縫、段數(shù)與次數(shù)，同學(xué)們有什么體會(huì)或發(fā)現(xiàn)？”

“體會(huì)到它們之間是一一對(duì)應(yīng)的.”

質(zhì)疑：它們之間有什么關(guān)聯(lián)？

“沒(méi)有對(duì)應(yīng)的，就要加1.”同學(xué)們臉上露出會(huì)心的笑容.

請(qǐng)同學(xué)們閉上眼睛，想象自己正在聽一段自己最喜歡的悠揚(yáng)音樂(lè)，然后想一想段數(shù)與次數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系.

“現(xiàn)在同學(xué)們都會(huì)了嗎？”

學(xué)生們紛紛點(diǎn)頭，齊刷刷地寫出答案：4-1=3（次）；12÷3=4（分鐘）；7-1=6（次）；6×4=24（分鐘）.

（五）拓展：型

通過(guò)師生間的互動(dòng)，學(xué)生們有了初步的想法，也有了由“數(shù)”到“形”，再由“形”到“型”的體驗(yàn).接下來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生思考：是不是可以用上面的方法去解決樓梯、時(shí)間、栽樹等一系列問(wèn)題？

1.有了初體驗(yàn)，可以出幾個(gè)相關(guān)題目，讓學(xué)生練一練.

（1）如果每上一層樓梯需要1分鐘，那么從一層到四層需要多少分鐘？

（2）時(shí)鐘4點(diǎn)鐘敲4下，12秒敲完，那么6點(diǎn)鐘敲6下，幾秒敲完？

（3）在一塊三角形的空地邊上栽樹，每邊栽5棵，那么最少栽幾棵？

2.要求：學(xué)生根據(jù)題目意思，動(dòng)手畫一畫圖形.

從以上成果中不難看出學(xué)生學(xué)會(huì)了將數(shù)學(xué)文字轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)圖形，會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法去解決問(wèn)題.

筆者由數(shù)入手，引出“圖形”概念，通過(guò)圖形“形象”，讓學(xué)生辨析出鋸木頭中的數(shù)量關(guān)系，找出一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，然后通過(guò)三個(gè)相關(guān)題目拓展訓(xùn)練，讓學(xué)生找到解決一般性問(wèn)題的策略，由點(diǎn)到面，實(shí)現(xiàn)形象思維向抽象思維的突破，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，給學(xué)生滲透“數(shù)形結(jié)合”思想.

三、重視體驗(yàn)，融入思想

如何讓學(xué)生形成模型概念，逐漸萌生“數(shù)形結(jié)合”思想？筆者設(shè)置了撕、切、比、畫、型五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，前四個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)四個(gè)問(wèn)題串：“撕”有幾節(jié)？“切”有幾塊？“比”有幾空？“畫”有幾段？引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用演示、自主操作、驗(yàn)證、繪制圖形四種方法，使學(xué)生的思維層層遞進(jìn)、步步深入，從感知開始形成表象，再由表象逐步發(fā)展為抽象思維.有了前面的鋪墊，最后上升到第五個(gè)環(huán)節(jié)“型”，將抽象思維推向數(shù)學(xué)模型.這個(gè)過(guò)程既促進(jìn)了知識(shí)的形成和生長(zhǎng)，又助力了思維的發(fā)展，使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被激發(fā)，既獨(dú)立思考、主動(dòng)探究，又合作交流、積極參與，讓學(xué)生思維的火花發(fā)生碰撞，在自我探究中體驗(yàn)成功的快樂(lè).

（一）從分到“數(shù)形”———啟發(fā)思維，見數(shù)“擬形”

解題的關(guān)鍵：讓學(xué)生找到段數(shù)與次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.“授人以魚不如授人以漁”，通過(guò)兩名學(xué)生的爭(zhēng)論，通過(guò)“撕”或“切”的動(dòng)作，做出“鋸”的行為，將數(shù)學(xué)上如何“分”在講臺(tái)上演示出來(lái)，這樣的“具象”過(guò)程符合小學(xué)生具體形象思維的特點(diǎn)，為“數(shù)”做好鋪墊，之后小達(dá)人陳同學(xué)的“五個(gè)指頭人人有，五指之間有四空”，為“形”做出展示，“指頭是段數(shù)，空是次數(shù)”，為“形”做出結(jié)果，對(duì)“分”進(jìn)行驗(yàn)證.這樣像電影畫面一樣一幅一幅展現(xiàn)，可啟發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生學(xué)會(huì)“見數(shù)擬形”，從而滲透“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想的滲入離不開“形”.

（二）從畫到“數(shù)形”———助力思維，見數(shù)“思形”

良好的開端是成功的一半.看見“潛力生”和“無(wú)力生”都參與進(jìn)來(lái)，一個(gè)個(gè)都張開思維的翅膀，課堂探究的氣氛如此熱烈，筆者抓住學(xué)生認(rèn)知的生長(zhǎng)點(diǎn)，趕緊趁熱打鐵，一句“段數(shù)多，手指不夠用怎么辦？”的追問(wèn)，立馬達(dá)到“拋磚引玉”的效果，智慧星李同學(xué)的回答“這還不簡(jiǎn)單嗎，我可以畫圖呀！”像一只巨手，不知不覺地把學(xué)生的思維向前推進(jìn)了一大步.學(xué)生透過(guò)文字和數(shù)字可以想到圖形，畫出“圖形”，然后閱讀“圖形”，辨析出數(shù)量關(guān)系.學(xué)生通過(guò)“畫圖”找到一條由具體題目拓展延伸到一類數(shù)學(xué)題目的解決路徑.這個(gè)人人思考、層層探究的過(guò)程為學(xué)生提供一個(gè)“高德地圖”，使學(xué)生在遇到同類題型的不同數(shù)量關(guān)系時(shí)就會(huì)“按圖索驥”“見數(shù)思形”，進(jìn)而提升思維能力.數(shù)學(xué)思想的生長(zhǎng)離不開“形”.

（三）從想到“數(shù)形”———升華思維，見數(shù)“塑型”

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí).對(duì)于數(shù)與形，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”小學(xué)階段是數(shù)學(xué)教育的啟蒙階段，向小學(xué)生滲透一些數(shù)學(xué)思想是必要的.學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的過(guò)程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累的過(guò)程，當(dāng)這種量的積累達(dá)到一定程度時(shí)就會(huì)產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想.

相比教師枯燥抽象地“說(shuō)”，學(xué)生不停地“想”更有效！“想”就是一個(gè)人的大腦的思索過(guò)程.學(xué)生通過(guò)數(shù)手指與指縫，體會(huì)手指與指縫、段數(shù)與次數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)進(jìn)行拓展練習(xí)，在解決問(wèn)題中經(jīng)歷“想”的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用這種“一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”.“想”就是對(duì)這種“一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”進(jìn)行抽象的過(guò)程，抽象出結(jié)果的過(guò)程恰恰是數(shù)學(xué)模型形成的過(guò)程.這里“一”可以代表1個(gè)人、1盆花、1棵樹、1面旗、1個(gè)間隔……通過(guò)數(shù)形結(jié)合，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，形象思維升級(jí)成抽象思維.在解決不同題目時(shí)，“具象”到“抽象”的思維活動(dòng)得到復(fù)制與粘貼，推動(dòng)學(xué)生思維能力的升華，使學(xué)生在腦海里自然而然地樹立起模型意識(shí)，做到“見數(shù)塑型”，從而形成模型意識(shí).數(shù)學(xué)思想的形成更離不開“型”.

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生在自助、互助、師助中體驗(yàn)學(xué)習(xí)樂(lè)趣，教師鼓勵(lì)學(xué)生在交流、碰撞中掌握知識(shí)和技能，使學(xué)生在探究中獲得成功的喜悅，幫助學(xué)生建立模型意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生形成與發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張穎.基于數(shù)形結(jié)合思想的小學(xué)數(shù)學(xué)“四畫”教學(xué)策略研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（7）：43-44，47.

[2]范東萍.數(shù)形結(jié)合思想在低年級(jí)數(shù)學(xué)的實(shí)踐研究[J].教學(xué)管理與教育研究，2023，（5）：85-87.

[3]趙紅莉.立足核心素養(yǎng)感悟數(shù)形結(jié)合思想[J].試題與研究，2023（5）：141-143.

[4]張衛(wèi)星.數(shù)形結(jié)合讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可視化[J].教學(xué)與管理，2020（26）：34-36.