施燕芬

(蕭山區(qū)高橋初級(jí)中學(xué)，浙江 杭州 311201)

1 問題的提出

筆者細(xì)細(xì)品讀《怦然心動(dòng)的人生整理魔法》，深受啟發(fā)：人通過整理找回人生決斷力，找到最初的夢(mèng)想，找到怦然心動(dòng)的幸福人生.一個(gè)生活井然有序的人，一定也擁有良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.著名教育學(xué)家葉圣陶先生曾說：“什么是教育？”一句話，教育就是培養(yǎng)習(xí)慣.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，及時(shí)有效地整理數(shù)學(xué)知識(shí)就是一個(gè)好的習(xí)慣.整理自己，讓自己更整潔；整理人生，讓人更出彩；整理知識(shí)，讓我們更優(yōu)秀！

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，整理知識(shí)是一種有效的學(xué)習(xí)方法.所謂的整理，顯然并不是純粹的“記”筆記，而是重在“理”與“通”.所謂“理”，就是將已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、整體化整理，讓知識(shí)點(diǎn)形成一個(gè)相互聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò).所謂“通”，就是融會(huì)貫通，明確知識(shí)的由來和去處，并積極展開反思，敢于質(zhì)疑.

然而，現(xiàn)實(shí)是很少有學(xué)生會(huì)主動(dòng)去整理數(shù)學(xué)知識(shí)，有的學(xué)生甚至從不整理數(shù)學(xué)知識(shí).縱觀當(dāng)下，學(xué)生所整理的數(shù)學(xué)知識(shí)，無非是對(duì)教師上課所講述的內(nèi)容(概念、定理、公式、解題方法、技巧、思想)的簡(jiǎn)單記錄.所謂的“整理”已退化成簡(jiǎn)單而機(jī)械的“記”“摘”“抄”，學(xué)生儼然成了“記錄員”[1].為此，在課堂教學(xué)中教給學(xué)生整理數(shù)學(xué)知識(shí)的方法，培養(yǎng)學(xué)生整理數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，已成為教師的緊迫任務(wù).

2 有效的策略

在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者.因此，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整理，同樣也應(yīng)該是以學(xué)生為主.學(xué)生掌握整理知識(shí)的主動(dòng)權(quán)，教師則只需適時(shí)的引導(dǎo).為了在教學(xué)中有效地培養(yǎng)學(xué)生整理數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，筆者認(rèn)為應(yīng)該從以下3個(gè)方面努力：

2.1 把握整體，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”[2]由此可見，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，離不開對(duì)“數(shù)”與“形”的研究.因此，數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，更應(yīng)是一種重要的整理知識(shí)的方法.在知識(shí)的整理過程中，不提倡僅有文字、符號(hào)，而提倡圖形、表格等方式有效結(jié)合將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)出來.

案例1在浙教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第二章“特殊的三角形”復(fù)習(xí)課結(jié)束后，筆者布置了整理該章節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的作業(yè).第二天，學(xué)生的作業(yè)不禁讓筆者大為“驚”“喜”.不得不驚嘆學(xué)生的創(chuàng)意，學(xué)生整理的結(jié)構(gòu)圖各式各樣，有知識(shí)樹、表格、框架圖、魚骨圖，還有一些圖文并茂的結(jié)構(gòu)圖等.他們以獨(dú)特的理解方式、淺顯易懂的圖示及極富個(gè)性的創(chuàng)意，展示了自己富有藝術(shù)性、觀賞性的“勞動(dòng)”成果.于是，筆者將計(jì)就計(jì)，將當(dāng)天的數(shù)學(xué)課改為了作業(yè)交流課，以小組為單位派代表展示組內(nèi)認(rèn)為最好的結(jié)構(gòu)圖，其余小組成員作為評(píng)委，發(fā)表看法.

師：同學(xué)們，這是我們班其中一位同學(xué)的作品(如圖1).請(qǐng)大家談?wù)勛约旱南敕?

圖1

生1：我認(rèn)為這棵知識(shí)樹所展現(xiàn)的內(nèi)容太少了，而且有點(diǎn)凌亂.

師：嗯，那你能否幫我們整理一下？

生1：本章我們主要學(xué)習(xí)了等腰三角形、等邊三角形、直角三角形這3種特殊的三角形.

師：能具體說說嗎？

生1：主要有定義、性質(zhì)和判定.

師：那我們能否將知識(shí)點(diǎn)整理成這3個(gè)方面的內(nèi)容？

學(xué)生們恍然大悟，很快小組成員之間討論起來.“這邊還少了直角三角形30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半的性質(zhì).”“還有勾股定理的逆定理，幾組常用的勾股數(shù).”……

生2：老師，我認(rèn)為在逆定理處還應(yīng)補(bǔ)充角平分線的性質(zhì)定理的逆定理.

師：為什么？

生2：雖然它出現(xiàn)在第2.8節(jié)“直角三角形全等的判定”這一課時(shí)中，但它也屬于逆定理這一知識(shí)點(diǎn).

師:你的思考很全面，出現(xiàn)在不同課時(shí)或章節(jié)的同一知識(shí)點(diǎn)我們也要把它串聯(lián)起來.

隨著展示的進(jìn)行，不時(shí)有學(xué)生舉手、發(fā)表新的看法、提出自己的質(zhì)疑、補(bǔ)充遺漏的知識(shí).學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情瞬間被激活，課堂上閃爍著智慧的光芒.這是一堂既有“溫度”又有“深度”的數(shù)學(xué)課.很快，通過班級(jí)學(xué)生的共同努力完成了一幅“完美”的作品(如圖2).

圖2

學(xué)生在構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)圖時(shí)，需要對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理、篩選、整合、修正、完善.在動(dòng)腦思考、動(dòng)手操作、小組合作交流中，學(xué)生不僅理解了知識(shí)的由來和去處，經(jīng)歷了知識(shí)的有序生長(zhǎng)、關(guān)聯(lián)與承接的過程，更提高了思維層次，激發(fā)了內(nèi)在潛能，培養(yǎng)了團(tuán)隊(duì)精神.同時(shí)教師也可以通過觀察學(xué)生制作知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的具體情況來深入了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并對(duì)自身的教學(xué)予以反思，積極改進(jìn)教學(xué)方式，有效提升教學(xué)效果.

2.2 突破關(guān)鍵點(diǎn)，繪制圖表比較

俗話說：“要區(qū)別就要有比較，有比較才會(huì)有鑒別.”的確，掌握知識(shí)不僅要整體構(gòu)建有效的知識(shí)結(jié)構(gòu)框架，同時(shí)還要明確各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系和區(qū)別.對(duì)于關(guān)鍵點(diǎn)可應(yīng)用比較法.

案例2在學(xué)習(xí)“圖形的軸對(duì)稱”時(shí)，呈現(xiàn)下面問題：

1)如圖3，直線l為一條草原河流，一位少年騎馬從A地去河邊，讓馬飲水之后再返回B地家中.那么他應(yīng)該走哪一條路線才可以用最短的路程完成這件事呢？

圖3 圖4 圖5

由于學(xué)生已經(jīng)在科學(xué)課上學(xué)習(xí)了平面鏡成像、光的反射等相關(guān)知識(shí)，解決這類幾何最值問題難度

并不大.不一會(huì)兒，學(xué)生馬上利用軸對(duì)稱變換知識(shí)順利解決了這一問題.于是，筆者又呈現(xiàn)下面兩道題：

2)如圖4，在小河的兩邊分別為A地和B地，河岸a,b為兩條平行線.在這種情況下要建造和河岸垂直的橋CD，為了讓A地到B地的距離最短，該如何選擇橋址？

3)如圖5，點(diǎn)P為一處牧馬營(yíng)地，每天牧童都會(huì)讓牧場(chǎng)的馬到河邊飲水，到草地吃草，再回到營(yíng)地.試設(shè)計(jì)出最短的放牧路線.

面對(duì)問題2)和問題3)，很多學(xué)生無從下手.對(duì)于初中生來說，在以前的幾何學(xué)習(xí)中，很少接觸最值問題，尤其是具有實(shí)際背景的最值問題.因此遇到這類問題，多數(shù)學(xué)生茫然不知所措.在講解完這3道題之后，不少學(xué)生反映知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)混淆，弄不清楚了.于是，筆者引導(dǎo)學(xué)生整理出以前碰到過的幾何最值問題，將基本圖形確定后，一一列出，師生合作整理繪制成一張表格(如表1).不少學(xué)生感嘆：“總算整理清楚了！”

表1 6類基本圖形

2.3 緊扣重難點(diǎn)，以題代理

初中生的學(xué)業(yè)壓力大，課業(yè)負(fù)擔(dān)重，這使得學(xué)生深陷題海戰(zhàn)術(shù).過重的負(fù)擔(dān)、過高的期望，使學(xué)生每天疲于應(yīng)付，完全擠不出時(shí)間消化吸收當(dāng)天所學(xué)的內(nèi)容.如此日積月累，容易把知識(shí)學(xué)“死”.事實(shí)上，知識(shí)是靜態(tài)的，思維是動(dòng)態(tài)的.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)當(dāng)適度放權(quán)，給學(xué)生自主出題、編題的機(jī)會(huì).

案例3已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-(2m+1)x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.

師：同學(xué)們，根據(jù)題目已有的信息，你如何解決這個(gè)問題？

生1：由一元二次方程，可以得到二次項(xiàng)系數(shù)m≠0；由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可以得到Δ>0.

師：假如現(xiàn)在你是命題者，請(qǐng)你改變題目中下劃線的條件，并由同組同學(xué)來說說自己的想法.

學(xué)生們興奮極了，你一言我一語地“爭(zhēng)論”起來.

生2：我將條件“兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”改為了“實(shí)數(shù)根”.

生3：由此可以得到Δ≥0且m≠0.

生4：我將“一元二次方程”改為了“方程”.

生5：此時(shí)需滿足Δ>0且m≠0.

生6：我改了兩個(gè)條件，將“一元二次方程”改成了“方程”，將“兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”改成了“實(shí)數(shù)根”.

學(xué)生們陷入了沉思.

生7：老師，現(xiàn)在要分類討論了.

師：為什么要分類？

生7：因?yàn)楝F(xiàn)在所給條件中沒有明確這個(gè)方程是“一元二次方程”，所以要分成“一元一次方程”和“一元二次方程”兩類來討論.

師(追問)：那么在什么情況下，我們能確定該方程是“一元二次方程”呢？

生7：有3種情況：1)m≠0；2)題目明確是一元二次方程；3)題目明確有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

教師放手讓學(xué)生自主開放地出題，不僅激發(fā)了學(xué)生的積極性，增強(qiáng)了學(xué)生的自信心，提高了自我價(jià)值感，更在一定程度上完成了知識(shí)點(diǎn)的整理.生1的問題是對(duì)一元二次方程判別式和根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系的辨析，生4的問題是對(duì)一元二次方程的概念進(jìn)行辨析，生6的問題是對(duì)數(shù)學(xué)中分類討論思想的靈活運(yùn)用.這種教師引導(dǎo)、學(xué)生自主出題變題的形式，既能使學(xué)生深刻理解知識(shí)的本質(zhì)，更能有效提升學(xué)生的分析力、思考力和問題解決能力，可謂一舉兩得.

3 研究的成效

3.1 習(xí)慣得以培養(yǎng)

整理是一種習(xí)慣，也是一種能力.通過對(duì)班級(jí)學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間且有意識(shí)地培養(yǎng)，多數(shù)學(xué)生養(yǎng)成了良好的整理習(xí)慣.每學(xué)完一個(gè)章節(jié)或到期中、期末復(fù)習(xí)階段，學(xué)生便會(huì)自覺拿出數(shù)學(xué)筆記本進(jìn)行相關(guān)知識(shí)的整理.這些書寫工整、語言精練、結(jié)構(gòu)清晰、層次分明的整理成果，無不凝聚著學(xué)生的智慧，這是知識(shí)和實(shí)踐的完美結(jié)晶，也彰顯他們正經(jīng)歷著“由厚到薄”和“由薄到厚”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.

3.2 成績(jī)得以提高

當(dāng)整理知識(shí)變成一種習(xí)慣時(shí)，筆者也欣喜地看到：學(xué)生在一次次檢測(cè)中，成績(jī)?cè)谥鸩缴仙?特別是以前成績(jī)不理想的學(xué)生，其進(jìn)步更是明顯.有學(xué)生興奮地和筆者分享：“老師，我通過整理已學(xué)的知識(shí)，不僅加深了對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，還理清了知識(shí)之間的聯(lián)系，更學(xué)會(huì)了有序地思考問題.”分析學(xué)生的試卷發(fā)現(xiàn)：對(duì)于基礎(chǔ)性的知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)誤率下降了，中檔題的正確率提高了，難題的得分率穩(wěn)中有升.

3.3 潛能得以激發(fā)

對(duì)每一個(gè)學(xué)生來說，天賦的差異是有限的，但潛能是無限的.因此，教師需要找到合適的途徑激發(fā)學(xué)生的潛能[3].學(xué)生在整理數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，往往會(huì)回顧、梳理、整合、完善所學(xué)知識(shí)，努力挖掘出自己與同伴的不同之處.在得到教師的肯定后，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動(dòng)性、自覺性得到進(jìn)一步提升.同時(shí)學(xué)生們?cè)谡n堂上會(huì)更加積極地思考和探索問題，并愿意將自己的觀點(diǎn)表達(dá)出來，提出的問題也更加有針對(duì)性、多樣性和創(chuàng)造性.

總之，在全面深化課程改革的今天，教師應(yīng)當(dāng)把培養(yǎng)學(xué)生整理知識(shí)的能力當(dāng)作重要的任務(wù)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)整理知識(shí)的重要性，掌握整理知識(shí)的方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力.唯有此，才能真正讓學(xué)生從學(xué)會(huì)知識(shí)走向?qū)W會(huì)學(xué)習(xí)，從而成為學(xué)習(xí)的主人.