吳京霖， 丁祥芝， 王寬明

(貴州師范大學數學科學學院，貴州 貴陽 550025)

1 問題提出

“連續(xù)自然數平方的求和公式”是2020年版人教版教材中的選擇性必修內容，出現于數列的數學歸納法部分，以結論的形式直接給出，不像其他例題讓學生經歷猜想、驗證后再用數學歸納法證明[1].如此安排有兩點原因：一是連續(xù)自然數平方的求和與等差、等比數列差異較大，求和方法上沒有共通之處，因此僅將其安排在數學歸納法部分，運用數學歸納法證明；二是由于連續(xù)自然數平方的求和結果的形式結構較為復雜，學生無法直接猜想其可能的形式.如此安排雖然可以解決上述兩個問題，但也產生了新的問題：首先，以發(fā)展學生數學學科核心素養(yǎng)的課程目標下，數學公式的教學應讓學生經歷猜想、發(fā)現、驗證、歸納等過程，而非以知識灌輸為目的，教材中例題的設計缺乏讓學生經歷對問題的發(fā)現和猜想過程，可能導致學生對公式的理解存在不足[2]；其次，連續(xù)自然數平方的求和問題的猜想過程為“連續(xù)自然數乘積的求和問題”“連續(xù)自然數立方的求和問題”的解決提供了重要思考方向.2022年全國數學新高考Ⅰ卷數列題就是以連續(xù)自然數之積的求和公式為背景進行命題，考查學生數列問題中的猜想、歸納能力.由此可見，連續(xù)自然數平方的求和公式雖然僅作為選學內容，但其蘊涵的數學思想方法具有重大價值.綜上所述，本研究嘗試從學生的知識水平出發(fā)，探究是否存在符合學生知識水平下的猜想方式，并結合核心素養(yǎng)的教學理念給出相應的教學設計.

2 猜想路徑分析

連續(xù)自然數平方的求和問題可以表示為Tn=12+22+…+n2.從結構上看求和通項an=n2，形式雖然簡單，但并非學生所掌握的等差或等比公式，因此在教學過程可以先引導學生應用倒序求和法、錯位相減法等進行嘗試，加深對倒序求和法、錯位相減法的本質理解，同時也為引出數學歸納法做好鋪墊.學生在經歷求和方法的類比嘗試失敗后，會回歸更加一般的方法，即寫出數列的前幾項來發(fā)現規(guī)律(見表1).

表1 {Tn}的前5項

從表1可知，數字雖然整體上呈現遞增的趨勢，但是很難發(fā)現其中的規(guī)律，嘗試再次失敗.觀察Tn=12+22+…+n2，教師引導學生思考：它既然是連續(xù)自然數平方的求和，不妨把連續(xù)自然數的求和(記Sn=1+2+…+n)列出來，觀察是否存在某種聯系[3].

表2 {Sn},{Tn}的前5項

表3 的前5項

表4 {Sn}與{Pn}的前5項

此外，對于連續(xù)自然數的立方和也可以按照上述猜想方法進行.記Kn=13+23+…+n3，將{Sn}與{Kn}的前5項列表(見表5)：

表5 {Sn}與{Kn}的前5項

通過上述分析發(fā)現，引入連續(xù)自然數的求和結果作為對比，可以很快猜想出連續(xù)自然數平方和、立方和以及乘積和，猜想方法具有很好的遷移性，且思維程度并不算高，可以作為進行數學歸納法證明連續(xù)自然數平方和的猜想方法對學生加以指導，提高學生猜想、發(fā)現數學結論的能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識.

3 教學設計

核心素養(yǎng)教學理念的核心之處在于讓學生經歷知識產生的探究過程，并在知識探究的過程中經歷“發(fā)現—猜想—驗證—證明”等環(huán)節(jié)，發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng)，讓數學知識由冰冷的皇冠轉化為火熱的思考.經過上述猜想路徑的分析，連續(xù)自然數平方的求和公式存在可以讓學生進行猜想發(fā)現的路徑.因此，基于上述路徑以發(fā)展學生的猜想、驗證、證明能力為目的進行教學設計.

3.1 環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設情境，發(fā)現問題

師：同學們，觀察圖1，思考兩個問題：第n個圖形中有多少個小正方形？n個圖形中一共有多少個正方形？嘗試用數學表達式表述上面的問題.

圖1 問題情境圖

生1：第n個圖形中有n2個正方形，它們共有12+22+…+n2個正方形.

設計意圖連續(xù)自然數的平方和的結果又稱為“四棱錐數”.通過創(chuàng)設情境，讓學生抽象出數學問題，教師適當進行學法的指導，更有利于學生良好學習習慣的養(yǎng)成.

3.2 環(huán)節(jié)2：類比聯想，試錯探究

師：這個求和表達式熟悉嗎？和我們學過的什么知識有聯系呢？

生2：有點像等差數列，但是多了個平方.

師：很好!請大家嘗試用學過的求和方法進行求解，給大家5分鐘的時間.

師：時間到，有同學求出結果了嗎？

生(眾)：沒有！

師：那你們有何想法或思路嗎？

生3：我用了倒序求和法來求，但是它們配對的和不相等.

生4：我是用錯位相減法來求，但是想不到要乘哪個數.

師：雖然未能做出結果，但是你們能學以致用，很好！前面我們所學的求和方法是有限制條件的，不滿足條件的情況下是求不出結果的.

生5：那該怎么做呢？

師：能否通過找規(guī)律進行求解呢？

生6：1，5，14，30，55，…，寫出前幾項后看不出有什么規(guī)律.

設計意圖啟發(fā)式教學的關鍵在于“不憤不啟，不悱不發(fā)”.在數學教學中，讓學生對問題進行嘗試，發(fā)現問題的難點后，教師再適當點撥，可以讓學生有“柳暗花明”之感，感受數學的魅力，提升數學學習的興趣[4].

3.3 環(huán)節(jié)3：適當點撥，思維碰撞

師：數學知識間普遍存在著聯系，通過掌握的知識去探索那些未知的知識是學習數學的重要方法.從形式上看，這與求連續(xù)n個自然數的和有一定的相似性，我們可以嘗試把前5項通過列表的形式展現，觀察數字間是否存在一定的規(guī)律(小組合作討論).

師：你們能把這個發(fā)現寫成一般的表達式嗎？

師：Sn是什么？這對求Tn有幫助嗎？

師：這個結果對嗎？請驗證一下.

生9：對的，把n從1取到5，結果和列表得到的結果是一致的.

設計意圖數學探究過程是發(fā)展數學學科核心素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié).通過小組合作的形式，讓學生集思廣益，在不斷的思考和嘗試中發(fā)現隱藏在數字背后的規(guī)律，發(fā)展學生的數學猜想能力.

3.4 環(huán)節(jié)4：猜非為真，嚴謹論證

師：這個結果只是我們在有限項里發(fā)現的結論，你能將這個猜想進行證明嗎？

生10：可以用數學歸納法進行證明.先假定當n=k時成立，然后再看當n=k+1時是否成立.如果成立，那么由k的一般性可知結論成立.

(證明略.)

設計意圖數學猜想的結果是否正確需要嚴謹的論證，讓學生經歷證明自己數學猜想的過程，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，發(fā)展學生的理性精神和科學態(tài)度.

3.5 環(huán)節(jié)5：類比遷移，感悟方法

師：連續(xù)自然數的平方和我們稱之為“四棱錐數”.自然地，我們還有“三棱錐數”“五棱錐數”等，請大家翻開課本的復習參考題中拓廣探究問題第13題，你能用剛才領悟的方法解決這個問題嗎？

生11：使用的方法是一樣的嗎？

師：回顧一下，剛才我們是如何探索得到新方法的？

生12：我們是先觀察，再猜想，最后證明.

師：對！探究一個數學問題前，我們往往不知道具體使用什么方法適合，可以不斷地去嘗試、去探索，這也正是數學的魅力.

設計意圖類比遷移是發(fā)現數學知識的重要思想方法，學生在掌握“四棱錐數”之后，引導學生積極運用掌握的猜想方法去發(fā)現“三棱錐數”，培養(yǎng)學生的類比思想方法，發(fā)展學生的數學創(chuàng)新意識.

3.6 環(huán)節(jié)6：課堂小結，提煉思想

師：通過這節(jié)課，同學們了解了發(fā)現數學結論的方法，能說說你們的收獲嗎？

生13：我認為最大的收獲是原來數學知識是這樣發(fā)現的，仔細地觀察，提出猜想，驗證它,證明它.數學真的好有趣！

設計意圖讓學生回顧整個知識探究的過程，提煉數學思想方法，為探究新的問題奠定良好的基礎，加深學生對知識的記憶和方法的掌握.

3.7 環(huán)節(jié)7：開放作業(yè)，減負增效

師：我們解決了連續(xù)自然數的和、連續(xù)自然數的乘積和、連續(xù)自然數的平方和，那么連續(xù)自然數的立方和該怎么求呢？請同學們把思考過程寫成數學日記.

設計意圖通過數學日記的形式不僅可以讓學生在課外深度運用課堂的知識和方法，教師還可以從數學日記中發(fā)現學生思維上的優(yōu)點和不足，避免無效的題海戰(zhàn)術，落實“減負增效”[5].

4 結語

通過學生的視角分析其探究的可能路徑，發(fā)現引入連續(xù)自然數之和作為對比，可以讓學生比較輕松地對求和公式進行猜想.根據該猜想路徑，開發(fā)了基于核心素養(yǎng)教學理念的連續(xù)自然數平方的求和公式教學設計.本文研究的意義在于一方面可以彌補教材中的不足，另一方面也為如何培養(yǎng)學生的猜想能力提供一定的參考.