吳京霖， 丁祥芝， 王寬明

(貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025)

1 問(wèn)題提出

“連續(xù)自然數(shù)平方的求和公式”是2020年版人教版教材中的選擇性必修內(nèi)容，出現(xiàn)于數(shù)列的數(shù)學(xué)歸納法部分，以結(jié)論的形式直接給出，不像其他例題讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證后再用數(shù)學(xué)歸納法證明[1].如此安排有兩點(diǎn)原因：一是連續(xù)自然數(shù)平方的求和與等差、等比數(shù)列差異較大，求和方法上沒(méi)有共通之處，因此僅將其安排在數(shù)學(xué)歸納法部分，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明；二是由于連續(xù)自然數(shù)平方的求和結(jié)果的形式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，學(xué)生無(wú)法直接猜想其可能的形式.如此安排雖然可以解決上述兩個(gè)問(wèn)題，但也產(chǎn)生了新的問(wèn)題：首先，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)下，數(shù)學(xué)公式的教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證、歸納等過(guò)程，而非以知識(shí)灌輸為目的，教材中例題的設(shè)計(jì)缺乏讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和猜想過(guò)程，可能導(dǎo)致學(xué)生對(duì)公式的理解存在不足[2]；其次，連續(xù)自然數(shù)平方的求和問(wèn)題的猜想過(guò)程為“連續(xù)自然數(shù)乘積的求和問(wèn)題”“連續(xù)自然數(shù)立方的求和問(wèn)題”的解決提供了重要思考方向.2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷數(shù)列題就是以連續(xù)自然數(shù)之積的求和公式為背景進(jìn)行命題，考查學(xué)生數(shù)列問(wèn)題中的猜想、歸納能力.由此可見(jiàn)，連續(xù)自然數(shù)平方的求和公式雖然僅作為選學(xué)內(nèi)容，但其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法具有重大價(jià)值.綜上所述，本研究嘗試從學(xué)生的知識(shí)水平出發(fā)，探究是否存在符合學(xué)生知識(shí)水平下的猜想方式，并結(jié)合核心素養(yǎng)的教學(xué)理念給出相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì).

2 猜想路徑分析

連續(xù)自然數(shù)平方的求和問(wèn)題可以表示為T(mén)n=12+22+…+n2.從結(jié)構(gòu)上看求和通項(xiàng)an=n2，形式雖然簡(jiǎn)單，但并非學(xué)生所掌握的等差或等比公式，因此在教學(xué)過(guò)程可以先引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用倒序求和法、錯(cuò)位相減法等進(jìn)行嘗試，加深對(duì)倒序求和法、錯(cuò)位相減法的本質(zhì)理解，同時(shí)也為引出數(shù)學(xué)歸納法做好鋪墊.學(xué)生在經(jīng)歷求和方法的類(lèi)比嘗試失敗后，會(huì)回歸更加一般的方法，即寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律(見(jiàn)表1).

表1 {Tn}的前5項(xiàng)

從表1可知，數(shù)字雖然整體上呈現(xiàn)遞增的趨勢(shì)，但是很難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，嘗試再次失敗.觀察Tn=12+22+…+n2，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：它既然是連續(xù)自然數(shù)平方的求和，不妨把連續(xù)自然數(shù)的求和(記Sn=1+2+…+n)列出來(lái)，觀察是否存在某種聯(lián)系[3].

表2 {Sn},{Tn}的前5項(xiàng)

表3 的前5項(xiàng)

表4 {Sn}與{Pn}的前5項(xiàng)

此外，對(duì)于連續(xù)自然數(shù)的立方和也可以按照上述猜想方法進(jìn)行.記Kn=13+23+…+n3，將{Sn}與{Kn}的前5項(xiàng)列表(見(jiàn)表5)：

表5 {Sn}與{Kn}的前5項(xiàng)

通過(guò)上述分析發(fā)現(xiàn)，引入連續(xù)自然數(shù)的求和結(jié)果作為對(duì)比，可以很快猜想出連續(xù)自然數(shù)平方和、立方和以及乘積和，猜想方法具有很好的遷移性，且思維程度并不算高，可以作為進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法證明連續(xù)自然數(shù)平方和的猜想方法對(duì)學(xué)生加以指導(dǎo)，提高學(xué)生猜想、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

3 教學(xué)設(shè)計(jì)

核心素養(yǎng)教學(xué)理念的核心之處在于讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的探究過(guò)程，并在知識(shí)探究的過(guò)程中經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)—猜想—驗(yàn)證—證明”等環(huán)節(jié)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)知識(shí)由冰冷的皇冠轉(zhuǎn)化為火熱的思考.經(jīng)過(guò)上述猜想路徑的分析，連續(xù)自然數(shù)平方的求和公式存在可以讓學(xué)生進(jìn)行猜想發(fā)現(xiàn)的路徑.因此，基于上述路徑以發(fā)展學(xué)生的猜想、驗(yàn)證、證明能力為目的進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

3.1 環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

師：同學(xué)們，觀察圖1，思考兩個(gè)問(wèn)題：第n個(gè)圖形中有多少個(gè)小正方形？n個(gè)圖形中一共有多少個(gè)正方形？嘗試用數(shù)學(xué)表達(dá)式表述上面的問(wèn)題.

圖1 問(wèn)題情境圖

生1：第n個(gè)圖形中有n2個(gè)正方形，它們共有12+22+…+n2個(gè)正方形.

設(shè)計(jì)意圖連續(xù)自然數(shù)的平方和的結(jié)果又稱為“四棱錐數(shù)”.通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師適當(dāng)進(jìn)行學(xué)法的指導(dǎo)，更有利于學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成.

3.2 環(huán)節(jié)2：類(lèi)比聯(lián)想，試錯(cuò)探究

師：這個(gè)求和表達(dá)式熟悉嗎？和我們學(xué)過(guò)的什么知識(shí)有聯(lián)系呢？

生2：有點(diǎn)像等差數(shù)列，但是多了個(gè)平方.

師：很好!請(qǐng)大家嘗試用學(xué)過(guò)的求和方法進(jìn)行求解，給大家5分鐘的時(shí)間.

師：時(shí)間到，有同學(xué)求出結(jié)果了嗎？

生(眾)：沒(méi)有！

師：那你們有何想法或思路嗎？

生3：我用了倒序求和法來(lái)求，但是它們配對(duì)的和不相等.

生4：我是用錯(cuò)位相減法來(lái)求，但是想不到要乘哪個(gè)數(shù).

師：雖然未能做出結(jié)果，但是你們能學(xué)以致用，很好！前面我們所學(xué)的求和方法是有限制條件的，不滿足條件的情況下是求不出結(jié)果的.

生5：那該怎么做呢？

師：能否通過(guò)找規(guī)律進(jìn)行求解呢？

生6：1，5，14，30，55，…，寫(xiě)出前幾項(xiàng)后看不出有什么規(guī)律.

設(shè)計(jì)意圖啟發(fā)式教學(xué)的關(guān)鍵在于“不憤不啟，不悱不發(fā)”.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行嘗試，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的難點(diǎn)后，教師再適當(dāng)點(diǎn)撥，可以讓學(xué)生有“柳暗花明”之感，感受數(shù)學(xué)的魅力，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣[4].

3.3 環(huán)節(jié)3：適當(dāng)點(diǎn)撥，思維碰撞

師：數(shù)學(xué)知識(shí)間普遍存在著聯(lián)系，通過(guò)掌握的知識(shí)去探索那些未知的知識(shí)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法.從形式上看，這與求連續(xù)n個(gè)自然數(shù)的和有一定的相似性，我們可以嘗試把前5項(xiàng)通過(guò)列表的形式展現(xiàn)，觀察數(shù)字間是否存在一定的規(guī)律(小組合作討論).

師：你們能把這個(gè)發(fā)現(xiàn)寫(xiě)成一般的表達(dá)式嗎？

師：Sn是什么？這對(duì)求Tn有幫助嗎？

師：這個(gè)結(jié)果對(duì)嗎？請(qǐng)驗(yàn)證一下.

生9：對(duì)的，把n從1取到5，結(jié)果和列表得到的結(jié)果是一致的.

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)探究過(guò)程是發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié).通過(guò)小組合作的形式，讓學(xué)生集思廣益，在不斷的思考和嘗試中發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)字背后的規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力.

3.4 環(huán)節(jié)4：猜非為真，嚴(yán)謹(jǐn)論證

師：這個(gè)結(jié)果只是我們?cè)谟邢揄?xiàng)里發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，你能將這個(gè)猜想進(jìn)行證明嗎？

生10：可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.先假定當(dāng)n=k時(shí)成立，然后再看當(dāng)n=k+1時(shí)是否成立.如果成立，那么由k的一般性可知結(jié)論成立.

(證明略.)

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)猜想的結(jié)果是否正確需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C，讓學(xué)生經(jīng)歷證明自己數(shù)學(xué)猜想的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，發(fā)展學(xué)生的理性精神和科學(xué)態(tài)度.

3.5 環(huán)節(jié)5：類(lèi)比遷移，感悟方法

師：連續(xù)自然數(shù)的平方和我們稱之為“四棱錐數(shù)”.自然地，我們還有“三棱錐數(shù)”“五棱錐數(shù)”等，請(qǐng)大家翻開(kāi)課本的復(fù)習(xí)參考題中拓廣探究問(wèn)題第13題，你能用剛才領(lǐng)悟的方法解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

生11：使用的方法是一樣的嗎？

師：回顧一下，剛才我們是如何探索得到新方法的？

生12：我們是先觀察，再猜想，最后證明.

師：對(duì)！探究一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題前，我們往往不知道具體使用什么方法適合，可以不斷地去嘗試、去探索，這也正是數(shù)學(xué)的魅力.

設(shè)計(jì)意圖類(lèi)比遷移是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要思想方法，學(xué)生在掌握“四棱錐數(shù)”之后，引導(dǎo)學(xué)生積極運(yùn)用掌握的猜想方法去發(fā)現(xiàn)“三棱錐數(shù)”，培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí).

3.6 環(huán)節(jié)6：課堂小結(jié)，提煉思想

師：通過(guò)這節(jié)課，同學(xué)們了解了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的方法，能說(shuō)說(shuō)你們的收獲嗎？

生13：我認(rèn)為最大的收獲是原來(lái)數(shù)學(xué)知識(shí)是這樣發(fā)現(xiàn)的，仔細(xì)地觀察，提出猜想，驗(yàn)證它,證明它.數(shù)學(xué)真的好有趣！

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生回顧整個(gè)知識(shí)探究的過(guò)程，提煉數(shù)學(xué)思想方法，為探究新的問(wèn)題奠定良好的基礎(chǔ)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶和方法的掌握.

3.7 環(huán)節(jié)7：開(kāi)放作業(yè)，減負(fù)增效

師：我們解決了連續(xù)自然數(shù)的和、連續(xù)自然數(shù)的乘積和、連續(xù)自然數(shù)的平方和，那么連續(xù)自然數(shù)的立方和該怎么求呢？請(qǐng)同學(xué)們把思考過(guò)程寫(xiě)成數(shù)學(xué)日記.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)數(shù)學(xué)日記的形式不僅可以讓學(xué)生在課外深度運(yùn)用課堂的知識(shí)和方法，教師還可以從數(shù)學(xué)日記中發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維上的優(yōu)點(diǎn)和不足，避免無(wú)效的題海戰(zhàn)術(shù)，落實(shí)“減負(fù)增效”[5].

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)學(xué)生的視角分析其探究的可能路徑，發(fā)現(xiàn)引入連續(xù)自然數(shù)之和作為對(duì)比，可以讓學(xué)生比較輕松地對(duì)求和公式進(jìn)行猜想.根據(jù)該猜想路徑，開(kāi)發(fā)了基于核心素養(yǎng)教學(xué)理念的連續(xù)自然數(shù)平方的求和公式教學(xué)設(shè)計(jì).本文研究的意義在于一方面可以彌補(bǔ)教材中的不足，另一方面也為如何培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力提供一定的參考.