魏祖成, 趙 濤

(1.竹溪縣教師學(xué)習(xí)與資源發(fā)展中心，湖北 竹溪 442300；2.竹溪縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)，湖北 竹溪 442300)

2022年湖北省十堰市初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試第9題是一道以圓內(nèi)接四邊形為背景的試題.對全縣3 366位考生答題情況的統(tǒng)計(jì)分析引發(fā)了筆者對此題的較多思考，尤其是對學(xué)生中豐富的解題思路有了更多的了解，進(jìn)而引發(fā)了筆者對數(shù)學(xué)教學(xué)工作進(jìn)行探索與思考.

1 一題——真題呈現(xiàn)

例1如圖1，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠A=90°，∠B=60°，BC=3，AD=2，則AB的長為

圖1

( )

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知∠A=90°，則∠C=90°；由∠B=60°，可知∠D=120°.由此可知在四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥DC，不妨稱這種四邊形為“雙垂四邊形”.它是一種特殊的四邊形，在四邊形“家族”中特別引人注目.

2 一課——解法探析

解答“雙垂四邊形”時要用到圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、含30°的“特殊”直角三角形的相關(guān)性質(zhì)、勾股定理和解直角三角形相關(guān)知識.在已知和未知難以直接產(chǎn)生關(guān)系時，應(yīng)采取“割”與“補(bǔ)”的辦法添加輔助線，將其轉(zhuǎn)化成熟悉的圖形(如三角形、矩形、梯形等)來解答，考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力[1].

2.1 延長增補(bǔ)法

圖2 圖3

方法2類比方法1，延長BA和CD交于點(diǎn)E(如圖3),下同方法1.

評注“雙垂四邊形”的兩組對邊都不平行，延長每一組對邊都一定相交，那么該“雙垂四邊形”就是一個含30°特殊直角三角形的一部分.通過解“直角三角形”，所求問題便可迎刃而解.

2.2 垂線分割法

方法3過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F(如圖4),則△BEC和△CFD都是直角三角形，四邊形AEFD是矩形.在Rt△BEC中，BC=3，易得BE和CE的長度，易求EF的長度，進(jìn)而可知CF的長度，故可求得AB的長度.

圖4 圖5

方法4過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F(如圖5),則△ABE和△ADF都是直角三角形，四邊形CEFD是矩形，易求AB的長.

方法5過點(diǎn)D作DE⊥DC交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BC交BC于點(diǎn)F(如圖6),則△AED和△BEF都是直角三角形，四邊形EDCF是矩形，易求AB的長.

圖6 圖7

方法6過點(diǎn)D作DE⊥AD交BC于E，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F(如圖7),則△CED和△BEF都是直角三角形，四邊形EDAF是矩形，易求AB的長.

評注以“雙垂四邊形”中A,C,D為端點(diǎn)，分別引相應(yīng)的“垂線”，把“雙垂四邊形”分割成直角三角形、直角梯形、矩形，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為在一些“規(guī)則”的幾何圖形中來求解[2].

2.3 割補(bǔ)結(jié)合法

方法7過點(diǎn)B作BF⊥BC交⊙O于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF，DF交AB于點(diǎn)E(如圖8),則△AED和△EBF都是直角三角形，四邊形BFDC是矩形,易知∠ADE=∠FBE=30°.在Rt△AED中，AE,DE可求，則EF可求;在Rt△EBF中，BE可求，故AB=AE+BE可求.

圖8 圖9

方法8過點(diǎn)B作BF⊥AB交⊙O于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF，DF交BC于點(diǎn)E(如圖9),則△BFE和△CDE都是直角三角形，四邊形ABFD是矩形，易求AB的長.

方法9過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F(如圖10),則△BEC和△DFC都是直角三角形，四邊形AECF是矩形，易求AB的長.

圖10 圖11

方法10過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AF⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)F(如圖11),則△AEB和△ADF都是直角三角形，四邊形AECF是矩形，易求AB的長.

評注通過作相應(yīng)的“垂線”或“平行線”，在“雙垂四邊形”外部進(jìn)行“補(bǔ)形”，使部分線段得到“平移”，把“雙垂四邊形”補(bǔ)成(或分割成)直角三角形、直角梯形、矩形，問題便可輕松獲解[3].

2.4 翻轉(zhuǎn)折疊法

方法11作AE⊥BC，垂足為E，作梯形ADCE關(guān)于AE的對稱圖形(如圖12)，點(diǎn)D,C的對稱點(diǎn)分別為G,F，易求GD的長度，F(xiàn)C=GD，進(jìn)而求得BE的長度，于是在Rt△ABE中易求AB的長度.

圖12 圖13

方法12作CE⊥AB于點(diǎn)E，作梯形CDAE關(guān)于CE的對稱圖形(如圖13)，點(diǎn)A,D的對稱點(diǎn)分別為F,G，易求AB的長度.

圖14 圖15

方法14作CE⊥AB于點(diǎn)E，作△BCE關(guān)于CE的對稱圖形(如圖15)，點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為F，聯(lián)結(jié)CF交AD于點(diǎn)G，易知DC=DG，易求AB的長度.

評注對稱圖形給我們優(yōu)美、有序、賞心悅目的感覺，利用軸對稱圖形可以將一部分圖形進(jìn)行對疊(或進(jìn)行180°翻轉(zhuǎn))，使已知和所求線段之間靠近一些，使所求問題輕松獲解[3].

2.5 平移替換法

方法15過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥AD交AE于點(diǎn)F(如圖16)，則△ABE和△CEF為直角三角形，四邊形AFCD是平行四邊形，易求AB的長度.

圖16 圖17

方法16過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF∥CD交CE于點(diǎn)F(如圖17)，則△BCE和△AEF為直角三角形，四邊形AFCD為平行四邊形，易求AB的長度.

方法17過點(diǎn)D作DE∥BC，DF∥AB，交AB，BC于點(diǎn)E,F(如圖18)，則△AED和△DCF都為直角三角形，四邊形BFDE是平行四邊形，易求AB的長.

圖18 圖19

方法18過點(diǎn)B作BE∥CD，過點(diǎn)A作EF∥BC交CD的延長線于點(diǎn)F且BECF(如圖19)，則△AEB和△ADF都為直角三角形，四邊形BCFE是矩形，易求AB的長.

方法19過點(diǎn)B作BE∥AD，過點(diǎn)C作EF∥AB交AD的延長線于點(diǎn)F且BEAF(如圖20)，則△BCE和△DCF都為直角三角形，四邊形ABEF是矩形，易求AB的長.

圖20 圖21

評注通過作相應(yīng)的“平行線”，使部分線段得到“平移”，把“雙垂四邊形”分割成了直角三角形、直角梯形、矩形，問題便可輕松獲解[3].

2.6 平分內(nèi)角法

方法20作∠B的平分線交AD于點(diǎn)G，與CD的延長線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)G作GE⊥BC于點(diǎn)E(如圖21)，則△ABG,△BCF和△BEG都為直角三角形，△DFG是等邊三角形，易求AB的長.

方法21作∠B的平分線交AD于點(diǎn)F，與CD的延長線交于點(diǎn)E(如圖22)，則△ABF,△BCE都為直角三角形，△DEF是等邊三角形，易求AB的長.

圖22 圖23

方法22作∠B的平分線交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DG⊥FE于點(diǎn)G(如圖23)，則△GDF,△BEF,△ABF都為直角三角形，四邊形DGEC是矩形，易求AB的長.

方法23作∠D的平分線交BC于點(diǎn)F，交AB的延長線于點(diǎn)E(如圖24)，易求AB的長.

圖24 圖25

方法24作∠D的平分線交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F(如圖25)，則△BEG,△EFD都為直角三角形，四邊形AGEF是矩形，易求AB的長.

評注前面的解法中都沒有破壞∠B和∠D的整體性，由于∠B=60°，∠D=120°，都可以視為“特殊角”，通過作∠B和∠D的“平分線”，從而構(gòu)造含有30°角的特殊直角三角形，使問題解決十分輕松[3].

從上述添加輔助線的思考方法不難看出，充分利用了垂直、平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、對稱等方法將圖形劃分成為熟悉的圖形，從而使已知和未知之間產(chǎn)生聯(lián)系，從不同的角度進(jìn)行思考，就會產(chǎn)生不同的輔助線，殊途同歸最終均會達(dá)到解決問題的目的.

3 一思——解題反思

3.1 變式

3.1.1 關(guān)于“角”的探究

1)∠B和∠D是“特殊角”.

在雙垂四邊形ABCD中，∠A,∠C是直角，∠B和∠D是兩個“特殊角”，一般情況下∠B為60°,30°或45°，則∠D相應(yīng)為120°，150°或135°，利用直角三角形中的角角關(guān)系、邊邊關(guān)系、邊角關(guān)系，所求問題便會迎刃而解.

2)∠B和∠D是“任一角”.

在雙垂四邊形ABCD中，∠A,∠C是直角，∠B和∠D是兩個“任一角”，同樣利用直角三角形中的角角關(guān)系、邊邊關(guān)系、邊角關(guān)系，利用解直角三角形的方法，所求問題便會迎刃而解.

3.1.2 關(guān)于“邊”的探究

1)已知4條邊中的任意兩邊，可求另外兩邊(∠B和∠D是“特殊角”或“任一角”).

如圖26，在雙垂四邊形ABCD中，∠A,∠C是直角，4條邊AB,BC,CD,AD中知其中一邊不能解這個四邊形，但知其中任意兩邊就可以解這個四邊形.

圖26

2)已知一邊和直徑，可求另3條邊和∠A的平分線的長.

如圖26，在雙垂四邊形ABCD中，∠A,∠C是直角，若AC平分∠BAD，BD=10，AB=6，求AD,BC,DC,AC的長.

3)已知夾∠A的兩邊長和直徑，可求∠A的平分線與直徑相交成的4條線段的長.

如圖26，在雙垂四邊形ABCD中，∠A,∠C是直角，若AC平分∠BAD交BD于點(diǎn)M，AB=a，AD=b，BD=c，求AM,CM,BM,DM的長.

4)已知夾∠A的兩邊長，可求∠A的兩邊與∠A的平分線長的關(guān)系.

3.2 推廣

圖27

3.3 應(yīng)用

如圖28，在直角坐標(biāo)系中，⊙O1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A,B.若⊙O經(jīng)過點(diǎn)M(2,2)，設(shè)△BOA的內(nèi)切圓的直徑為d，試判斷d+AB的值是否會發(fā)生變化？若不變,請求出其值；若變化，求其變化的范圍(答案：d+AB的值不會發(fā)生變化).

圖28 圖29

如圖29，設(shè)△AOB的內(nèi)切圓分別切OA,OB,AB于點(diǎn)P,Q,T，則

d+AB=OQ+OP+QB+PA=OA+OB.

在x軸上取一點(diǎn)N，使AN=OB，聯(lián)結(jié)OM,BM,AM,MN.因?yàn)镺M平分∠AOB，所以

∠BOM=∠MON=45°，AM=BM.

又因?yàn)椤螹AN=∠OBM，OB=AN，所以

△BOM≌△ANM，

從而

∠BOM=∠N=45°，

于是

∠OMN=90°，

進(jìn)而

故d+AB的值不會發(fā)生變化，其值為4.

3.4 反思

從此題豐富的解法思路和變式可以看出，在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)加強(qiáng)對學(xué)生綜合運(yùn)用知識來解決問題的能力的培養(yǎng).在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要加強(qiáng)基礎(chǔ)知識、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)力度，加強(qiáng)計(jì)算能力、思維能力、規(guī)范解題等方面的訓(xùn)練，讓所有的學(xué)生都快樂地學(xué)習(xí)、健康地發(fā)展.