潘靈榮,王元恒

(1.浙江開放大學(xué)溫嶺學(xué)院,浙江 溫嶺 317500;2.浙江師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321004)

1.引言

變分不等式理論在基礎(chǔ)科學(xué)和應(yīng)用科學(xué)研究中起到了重要的作用,例如在最優(yōu)化、最優(yōu)控制、力學(xué)和微分方程等領(lǐng)域受到了許多學(xué)者的關(guān)注,見文[1-8].

令H是實(shí)Hilbert空間且具有內(nèi)積〈·,·〉,E是H中的非空閉凸子集,設(shè)A:為非線性算子.經(jīng)典的變分不等式問題即找到x?∈E滿足

設(shè)A1,A2:是兩個(gè)非線性算子,CENG[8]引入一個(gè)迭代算法,找到了一個(gè)非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)集與變分不等式問題(1.2)的解集的公共元.

(x?,y?)∈E×E滿足上式,易知式(1.1)是式(1.2)的特殊情況.

2019年,蔡鋼[9]考慮了更一般的變分不等式問題(1.3),運(yùn)用超梯度方法和粘性隱式迭代算法,找到關(guān)于一個(gè)非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)集與兩個(gè)逆強(qiáng)單調(diào)算子的變分不等式問題的解集的公共元.

(x?,y?)∈E×E滿足上式,其中0≤a<1,λ1,λ2是正實(shí)數(shù).顯然,式(1.1)和式(1.2)是式(1.3)的特殊情況.

近年來(lái),關(guān)于運(yùn)用隱中點(diǎn)規(guī)則進(jìn)行粘性迭代算法的收斂性分析的研究成果較多,如ZHANG[10]在自反的一致凸Banach空間中構(gòu)造了非擴(kuò)張映射與m-增生算子的粘性隱式中點(diǎn)法則,如下

在適當(dāng)?shù)目刂茥l件下,證明了迭代序列的強(qiáng)收斂性.

在Hilbert空間中,KE和MA[11]研究了廣義的粘性隱規(guī)則算法逼近于非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn),構(gòu)造迭代序列如下:

當(dāng)參量滿足一定的條件時(shí),證明了序列的強(qiáng)收斂定理.

受以上工作的啟發(fā),我們研究了新的廣義粘性隱式算法并證明了由該算法生成的序列強(qiáng)收斂到m-增生算子零點(diǎn)和變分不等式問題(1.3)的解集的公共元.

2.預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是實(shí)Banach空間,X?是X的對(duì)偶空間,C是X中的非空閉凸子集.令J:2X?是賦范對(duì)偶映射,定義為J(x)={f ∈x?:〈x,f〉=‖x‖·‖f‖=‖x‖2},?x ∈X.這里〈·,·〉表示X與X?之間的廣義對(duì)偶配對(duì).

對(duì)?? ∈(0,2],ξ,η ∈X,空間X的凸性模δX(?)定義如下：

如果δX(?)>0,那么稱X是一致凸的.

空間X的光滑模ρX定義如下：

設(shè)D(A)={z ∈C:Az/=?}和R(A)={Az:z ∈D(A)}分別是算子A ?C ×C上的定義域和值域.如果存在j(x ?y)∈J(x ?y),使得〈Ax ?Ay,j(x ?y)〉≥0,?x,y ∈C,那么稱算子A是增生的.

如果對(duì)α>0和j(x ?y)∈J(x ?y),有〈Ax ?Ay,j(x ?y)〉≥α‖Ax ?Ay‖2,?x,y ∈C,那么稱算子A是α-逆強(qiáng)增生的.若R(I+rA)=C對(duì)所有的r >0成立,那么稱增生算子A是m-增生的,這里記A的零點(diǎn)集為A?1(0)={z ∈D(A):0∈Az}.設(shè)Jr=(I+rA)?1(r >0)為A的預(yù)解式,若A是m-增生的,則Jr是非擴(kuò)張的且F(Jr)=A?1(0).

設(shè)D是C中的一個(gè)子集,定義映射Q:對(duì)?x ∈C和t ≥0,Qx+t(x ?Qx)∈C,有Q(Qx+t(x ?Qx))=Qx,則稱Q是太陽(yáng)的.如果對(duì)所有的x ∈D,有Qx=x,則稱映射Q是一個(gè)收縮.一個(gè)太陽(yáng)非擴(kuò)張收縮既是太陽(yáng)收縮的,也是非擴(kuò)張的.

映射T:稱為嚴(yán)格壓縮的,若存在常數(shù)ρ ∈(0,1),滿足

為了得到本文的結(jié)果,還需要以下引理.

引理2.1[12]設(shè)X是實(shí)Banach空間,C是X中的非空閉凸集,如果算子A:是α-逆強(qiáng)增生的,那么有

其中ξ,η ∈C,λ>0,如果,那么稱I ?λA是非擴(kuò)張的.

引理2.2[13]X是光滑Banach空間,假設(shè)Q:是收縮的且J是X的賦范對(duì)偶映射,那么下列陳述是等價(jià)的

(a)Q是太陽(yáng)和非擴(kuò)張的;

(b)‖Qξ ?Qη‖2≤〈ξ ?η,J(Qξ ?Qη)〉,?ξ,η ∈X;

(c)〈ξ ?Qξ,J(η ?Qξ)〉≤0,?ξ ∈X,η ∈C.

引理2.3[14]設(shè)l >0,若X是一致凸實(shí)光滑Banach空間,那么存在一連續(xù)嚴(yán)格增的凸函數(shù)g:[0,2l]R,g(0)=0,使得對(duì)所有的x,y ∈Bl,有

引理2.6[17]C是Banach空間X的非空閉凸子集,T:是具有不動(dòng)點(diǎn)的非擴(kuò)張映射.若X有弱序列連續(xù)對(duì)偶映射,則映射I ?T在零處半閉(即當(dāng)I是恒等映射,如果xn ?x,‖xn ?Txn‖→0,那么x=Tx).

引理2.7[18]X是一致光滑Banach空間,C是X的非空閉凸子集.T:是非擴(kuò)張映射且F(T)≠?.f:是壓縮映射.那么定義為xt=tf(xt)+(1?t)Txt,t ∈(0,1)的序列xt強(qiáng)收斂到F(T) 中一點(diǎn).若定義映射Q:ΠC F(T)為Q(f)=,f ∈ΠC,則Q(f)滿足下列變分不等式

引理2.8[19]X是Banach空間,C是X中的非空閉凸子集,且A1,A2:是兩個(gè)非線性算子.QC是太陽(yáng)非擴(kuò)張收縮.對(duì)?λ1,λ2>0,a ∈[0,1),下列結(jié)果是等價(jià)的:

3.主要結(jié)果

定理3.1令X是一致凸和一致光滑的Banach空間,C是X中的非空閉凸子集,假設(shè)QC:是太陽(yáng)非擴(kuò)張收縮的,Ai:是di-逆強(qiáng)增生算子,這里i=1,2.f:是嚴(yán)格壓縮映射,其參數(shù)ρ ∈(0,1),A是X中的m-增生算子,滿足?=F(G)∩A?1(0)≠?,這里G的定義見引理2.8,定義序列{xn}如下：

那么序列{xn}強(qiáng)收斂到p ∈?,也是下列變分不等式的解

證設(shè)p ∈?,由引理2.8知,u=QC(p ?λ1A1p),p=QC(I ?λ2A2)(ap+(1?a)u).根據(jù)序列{xn}的定義有

移項(xiàng)整理得‖zn ?p‖≤‖xn ?p‖.進(jìn)一步有

由于Jr是非擴(kuò)張的,可知

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可得

所以{xn}有界.

移項(xiàng)整理得

這里M1=supn≥0(‖xn‖+‖zn‖).

定義序列{wn}為xn+1=βnxn+(1?βn)wn,n ≥0.

如果rn ≤rn+1,由引理2.5有

另一方面,根據(jù)(3.4)式和(3.5)式,得

結(jié)合(3.6)式、(3.7)式和{wn}的定義,我們有

由條件(i)-(v)知

由(3.1)式,(3.2)式和引理2.1知

將(3.9)式代入(3.10)式,得到

結(jié)合(3.3)式和(3.11)式,進(jìn)一步可知

由引理2.2和2.3,發(fā)現(xiàn)

再次由引理2.2和2.3,可得

整理后可知

由于0

由(3.1)式、(3.3)式和(3.16)式,可得

移項(xiàng)整理得

由(3.8)式,(3.12)式,(3.13)式,條件(i),條件(ii)和g的性質(zhì),可知

由(3.17)式和(3.18)式,得到

根據(jù)序列{xn}的定義,有

由條件(i),(ii)和(3.8)式,得到

移項(xiàng)整理,可知

由(3.8)式,(3.17)式和(3.20)式,得到

由(3.8)式,(3.20)式和(3.21)式,得

結(jié)合(3.21)式和(3.22)式,可知

由引理2.5,得到

根據(jù)(3.23)式,得到

同理,可知

由(3.21)式和(3.24)式,得

因?yàn)閄是一致光滑Banach空間且序列{xn}是有界的,所以存在xn的子序列弱收斂到ω,由引理2.8可知G是非擴(kuò)張的,從(3.19)式和引理2.6,可知ω ∈F(G).再由(3.25)式和引理2.6,可知ω ∈A?1(0).因此ω ∈?.根據(jù)引理2.7,得到〈(I ?f)p,j(p ?ω)〉≤0,?ω ∈?.由于j是弱序列連續(xù)對(duì)偶映射,有26)

根據(jù)定理3.1,可得到下述結(jié)果.

定理3.2令X是一致凸和一致光滑的Banach空間,C是X中的非空閉凸子集,假設(shè)QC:是太陽(yáng)非擴(kuò)張收縮的,Ai:是di-逆強(qiáng)增生算子,這里i=1,2.f:是嚴(yán)格壓縮映射,其參數(shù)ρ ∈(0,1),A是X中的m-增生算子,滿足?=F(G)∩A?1(0)≠?,這里G的定義見引理2.8,定義序列{xn}如下：

那么序列{xn}強(qiáng)收斂到p ∈?,也是下列變分不等式的解〈(I ?f)p,j(p ?q)〉≤0,?q ∈?.

4.應(yīng)用于均衡問題

設(shè)D是Hilbert空間H的非空閉凸子集,?:D×D →R為二元函數(shù),這里R是實(shí)數(shù)集,均衡問題是指找到x ∈D,使得?(x,y)≥0,對(duì)于?y ∈D.

為了解決以上的均衡問題,設(shè)函數(shù)?滿足下列條件:

對(duì)于r >0和x ∈H,定義Tr:H →D為Tr={v ∈D:,這里?滿足上述條件(A1)-(A4).記均衡問題的界集為EP,單值映射Tr為固定非擴(kuò)張映射,且EP(?)=F(Tr),其中EP(?)是閉凸集.我們得到下面的結(jié)果.

定理4.1設(shè)D是Hilbert空間H的非空閉凸子集,Ai:是di-逆強(qiáng)單調(diào)映射,這里i=1,2.f:是嚴(yán)格壓縮映射,其參數(shù)ρ ∈(0,1),令A(yù)是X中的m-增生算子,?:R滿足條件(A1)-(A4),假設(shè)?=F(G)∩F(Tr)∩A?1(0)≠?,這里G的定義見引理2.8,定義序列{xn}如下

那么序列{xn}強(qiáng)收斂到p ∈?,也是下列變分不等式的解