文/向福川 練瑤 唐振云 王建宏

本文主要研究生產(chǎn)企業(yè)的原材料訂購(gòu)與運(yùn)輸問題。首先，以壓縮生產(chǎn)成本為首要考慮，確定選取供應(yīng)商應(yīng)該為題目中所有供應(yīng)商，在這里引入優(yōu)先因子，將訂購(gòu)方案的類目標(biāo)規(guī)劃問題分解成一系列單目標(biāo)規(guī)劃問題依次進(jìn)行求解，再對(duì)訂購(gòu)方案和轉(zhuǎn)運(yùn)方案的實(shí)施效果進(jìn)行分析。再研究該企業(yè)具備了通過一定的技術(shù)改造方法提高產(chǎn)能的潛力。通過確定企業(yè)理論的最大產(chǎn)能上限，采用二分法原理進(jìn)行求解，得到產(chǎn)能的實(shí)際最大值，給出未來24周的訂購(gòu)方案與轉(zhuǎn)運(yùn)方案。

一、引言

廠商在原材料運(yùn)輸時(shí)應(yīng)綜合多方面選擇合理的運(yùn)輸方案，例如控制原理及成品、半成品運(yùn)輸成本的運(yùn)輸方法，從運(yùn)營(yíng)成本控制方面尋求更多的節(jié)流方式[1]。因此我們對(duì)前幾年供貨商供貨數(shù)據(jù)、技術(shù)優(yōu)勢(shì)及長(zhǎng)期供貨能力以及廠家需求的數(shù)據(jù)經(jīng)行綜合分析是非常有必要的，有利于保障企業(yè)的各項(xiàng)生產(chǎn)計(jì)劃和企業(yè)效益最大化。本文對(duì)2021年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題[1]的問題3、問題4，問題3需要在考慮生產(chǎn)成本的基礎(chǔ)上，解決訂購(gòu)方案和轉(zhuǎn)運(yùn)方案的制定問題，并對(duì)制定的訂購(gòu)方案和轉(zhuǎn)運(yùn)方案的實(shí)施效果進(jìn)行分析。問題4需要根據(jù)現(xiàn)有原材料的供應(yīng)商和轉(zhuǎn)運(yùn)商情況，確定企業(yè)產(chǎn)能的最大值，同時(shí)給出未來24周的訂購(gòu)方案與轉(zhuǎn)運(yùn)方案。

二、模型準(zhǔn)備

問題3要以壓縮生產(chǎn)成本為首要考慮，所以對(duì)于問題3、問題4的供應(yīng)商的選取范圍應(yīng)該為402家供應(yīng)商。在解決方案制定問題時(shí)，考慮到A、B、C三類原材料生產(chǎn)單位產(chǎn)品需消耗的原材料量存在差異，即在滿足生產(chǎn)需求且達(dá)到相當(dāng)產(chǎn)能的條件下，A、B、C三類原材料的訂購(gòu)量將直接影響到企業(yè)的生產(chǎn)成本，容易知道盡量多地采購(gòu)A類和盡量少地采購(gòu)C原材料，可以達(dá)到壓縮成本的目的。因而，對(duì)于新訂購(gòu)方案的制定，需要增加描述多選擇A類原材料、少選擇C類原材料的約束條件，考慮在這里引入優(yōu)先因子，為A、B、C類原材料的采購(gòu)行為排定優(yōu)先級(jí)的先后次序，將訂購(gòu)方案的類目標(biāo)規(guī)劃問題分解成一系列單目標(biāo)規(guī)劃問題依次進(jìn)行求解。在對(duì)訂購(gòu)方案和轉(zhuǎn)運(yùn)方案的實(shí)施效果進(jìn)行分析時(shí)，與問題2類似，將訂購(gòu)量與實(shí)際供貨量、供貨量與實(shí)際接收量進(jìn)行對(duì)比，分析方案實(shí)施的可行性與融洽性。問題4指出該企業(yè)具備了通過一定的技術(shù)改造方法提高產(chǎn)能的潛力，即此時(shí)企業(yè)的產(chǎn)能僅與現(xiàn)有原材料的供應(yīng)商和轉(zhuǎn)運(yùn)商的實(shí)際情況有關(guān)，具體來說，就是企業(yè)產(chǎn)能的提高取決于供應(yīng)商的供貨能力（供貨穩(wěn)定性、最大供貨量）和轉(zhuǎn)運(yùn)商的轉(zhuǎn)運(yùn)能力（運(yùn)輸能力、轉(zhuǎn)運(yùn)損耗率）。通過確定企業(yè)理論的最大產(chǎn)能上限，采用二分法[4]原理進(jìn)行求解，得到產(chǎn)能的實(shí)際最大值。

三、問題3的模型建立與求解

1.壓縮生產(chǎn)成本：引入優(yōu)先因子，建立類目標(biāo)規(guī)劃模型

企業(yè)的生產(chǎn)成本可以認(rèn)為由轉(zhuǎn)運(yùn)成本和倉(cāng)儲(chǔ)成本組成，即有如下表述：

第k周企業(yè)的生產(chǎn)成本Cpk由原材料轉(zhuǎn)運(yùn)成本Ct和原材料倉(cāng)儲(chǔ)成本Cwk組成，即

其中，d代表三類原材料運(yùn)輸和儲(chǔ)存的單位費(fèi)用。要能夠取到minCpk，以實(shí)現(xiàn)壓縮企業(yè)生產(chǎn)成本，即減少運(yùn)輸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)運(yùn)成本和儲(chǔ)存產(chǎn)生的倉(cāng)儲(chǔ)成本的目的?？紤]到A、B、C三類原材料生產(chǎn)產(chǎn)品需消耗的原材料量（b1＜b2＜b3），即在滿足生產(chǎn)需求且達(dá)到相當(dāng)產(chǎn)能的條件下，考慮到訂購(gòu)量和相應(yīng)供應(yīng)量、接收量的強(qiáng)關(guān)聯(lián)性，A、B、C三類原材料的訂購(gòu)量直接影響到企業(yè)的生產(chǎn)成本，容易知道盡量多地采購(gòu)A類和盡量少地采購(gòu)C原材料，可以達(dá)到壓縮成本的目的。因而，對(duì)于新訂購(gòu)方案的制定，需要增加描述多選擇A類原材料、少選擇C類原材料的約束條件。我們通過對(duì)問題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)只需要先盡可能地滿足A類原材料的采購(gòu)行為，再按照單位產(chǎn)品的原材料消耗量依次進(jìn)行訂購(gòu)，就能夠滿足減少成本的需求。因此，在這里引入優(yōu)先因子[3]ξj（j=1，2，i，m），為A、B、C類原材料的采購(gòu)行為排定優(yōu)先級(jí)的先后次序，將訂購(gòu)方案的類目標(biāo)規(guī)劃問題分解成一系列單目標(biāo)規(guī)劃問題依次進(jìn)行求解。

綜上所述，總的數(shù)學(xué)模型如下：

2.最少轉(zhuǎn)運(yùn)損耗率：建立優(yōu)化模型

對(duì)于新轉(zhuǎn)運(yùn)方案的制定是在新訂購(gòu)方案確定出的供應(yīng)商的基礎(chǔ)上考慮轉(zhuǎn)運(yùn)商在運(yùn)輸原材料過程中的轉(zhuǎn)運(yùn)損耗率，轉(zhuǎn)運(yùn)損

耗率定義為總的轉(zhuǎn)運(yùn)損耗量與供應(yīng)總量之比，其中，總的轉(zhuǎn)運(yùn)損耗量=供應(yīng)總量-接收總量。第k周，轉(zhuǎn)運(yùn)商的轉(zhuǎn)運(yùn)損耗率應(yīng)是轉(zhuǎn)運(yùn)損耗總量與總供應(yīng)量之比，于是要求轉(zhuǎn)運(yùn)損耗率最低，即要求轉(zhuǎn)運(yùn)損耗總量Lk最低，因此可以繼續(xù)沿用問題2中轉(zhuǎn)運(yùn)方案的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)問題3中的采購(gòu)方案給出如下數(shù)學(xué)模型：

3.模型求解

根據(jù)問題3，在盡可能多地采購(gòu)A類原材料和盡可能少地采購(gòu)C類原材料的約束下，建立新的訂購(gòu)方案和轉(zhuǎn)運(yùn)方案，通過編程求解。對(duì)應(yīng)問題3中引入的優(yōu)先因子，在程序求解時(shí)，具體實(shí)現(xiàn)方式為根據(jù)優(yōu)先級(jí)的先后次序，將類目標(biāo)規(guī)劃問題分解成三類原材料下的單目標(biāo)規(guī)劃問題，然后再依次進(jìn)行求解。

4.靈敏度分析

本問題中，在實(shí)際的訂購(gòu)和轉(zhuǎn)運(yùn)過程中，考慮到需求量Q和庫(kù)存S對(duì)應(yīng)的值與真實(shí)的值可能存在一定的偏差，至于不同種類材料的單位訂購(gòu)費(fèi)用C、運(yùn)輸和存儲(chǔ)費(fèi)用是確切值，故不需要再做考慮[2]。采取對(duì)需求量Q和庫(kù)存S做增加或減少10%大小的偏差處理，如圖一所示：

5.實(shí)施效果分析

將訂購(gòu)量與實(shí)際供貨量、供貨量與實(shí)際接收量進(jìn)行對(duì)比，可以分析方案自身的可行性與融洽性。

圖1 靈敏度分析

訂購(gòu)方案：通過圖2，可以看出訂購(gòu)量與實(shí)際供貨量沒有較大偏差，貼合度較好，說明制定的訂購(gòu)方案有效可行。

圖2 訂購(gòu)量與供應(yīng)商供貨量對(duì)比

轉(zhuǎn)運(yùn)方案：通過圖3，可以看出供應(yīng)商供貨量與倉(cāng)庫(kù)接收量幾乎沒有偏差，貼合度較高，說明制定的轉(zhuǎn)運(yùn)方案高效可行。

圖3 供應(yīng)商供貨量與倉(cāng)庫(kù)接收量對(duì)比

四、問題4的基于二分法的產(chǎn)能潛力提高上限的求解

1.問題的進(jìn)一步分析

問題4指出該企業(yè)具備了通過一定的技術(shù)改造方法提高產(chǎn)能的潛力，即此時(shí)企業(yè)的產(chǎn)能僅與現(xiàn)有原材料的供應(yīng)商和轉(zhuǎn)運(yùn)商的實(shí)際情況有關(guān)，具體來說，就是企業(yè)產(chǎn)能的提高取決于供應(yīng)商的供貨能力（供貨穩(wěn)定性、最大供貨量）和轉(zhuǎn)運(yùn)商的轉(zhuǎn)運(yùn)能力（運(yùn)輸能力、轉(zhuǎn)運(yùn)損耗率）。通過進(jìn)一步的分析：一方面，可以發(fā)現(xiàn)存在隱性影響產(chǎn)能提高的因素，即單位產(chǎn)品產(chǎn)出所需的原材料消耗量b1，b2，b3，在本題中，這一隱性因素可以歸結(jié)為原材料的類型。這也表示最大產(chǎn)能的提高也取決于原材料類型的選取上。另一方面，通過計(jì)算比較供應(yīng)商的最大供貨量與轉(zhuǎn)運(yùn)商運(yùn)輸?shù)呢浳锪可舷蓿梢缘玫焦?yīng)商最大供貨量Ni＞轉(zhuǎn)運(yùn)商運(yùn)輸貨物量上限（6000m3＞周）。繼續(xù)深入分析，可以得出結(jié)論：在本題中，企業(yè)產(chǎn)能的提高上限決定于轉(zhuǎn)運(yùn)商全部轉(zhuǎn)運(yùn)A類原材料時(shí)所產(chǎn)生的成品數(shù)量。

2.求解方法

該企業(yè)原來每周的產(chǎn)能為E=28200m3（這里記為E0），假設(shè)提高后的產(chǎn)能為Et，產(chǎn)能提高上限為Em，則有Et∈[E0，Em]。

利用二分法原理求解產(chǎn)能最大值的過程：取E0和Em的中點(diǎn)值Et1，通過改變?cè)心Ｐ椭挟a(chǎn)能E的參數(shù)值，變?yōu)镋t1，依此得出能夠滿足條件的訂購(gòu)方案；再取E0和Et1，或是Et1和Em的中點(diǎn)值Et2，繼續(xù)改變?cè)心Ｐ椭械漠a(chǎn)能參數(shù)為Et2，得出能夠滿足條件的訂購(gòu)方案……照此進(jìn)行下去，直到找到不能滿足條件的訂購(gòu)方案的模型產(chǎn)能參數(shù)值Et（n+1），則可以得到產(chǎn)能最大值Etn，如上圖4所示，同時(shí)，輸出此種情況下的訂購(gòu)方案和轉(zhuǎn)運(yùn)方案，計(jì)算結(jié)束。

圖4 二分法選取原理

3.求解結(jié)果

根據(jù)二分法原理，編程求解得出Etn=38200，得到此種情況下未來24周的訂購(gòu)方案和轉(zhuǎn)運(yùn)方案。

五、結(jié)束語

本文針對(duì)原材料選取問題，從前幾年企業(yè)對(duì)供貨商的需求度、供貨商的供應(yīng)穩(wěn)定性、最大能供給量做出綜合分析，并對(duì)處理結(jié)果進(jìn)行穩(wěn)定性分析等操作，最終得到未來24周的轉(zhuǎn)運(yùn)方案，根據(jù)以往數(shù)據(jù)和二分法預(yù)測(cè)出企業(yè)的最大產(chǎn)能上限，結(jié)合前面的問題求解方法給出未來24周的轉(zhuǎn)運(yùn)方案。

引用出處

[1]2021年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題[EB/OL].[2021-09-09].http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/4d73a36cc88b35bd4883c276afe39d89.html.

[2]蔡亞軒,鄭志雯.木材加工企業(yè)的物流運(yùn)輸成本可控性研究[J].林產(chǎn)工業(yè),2021,58(07):95-97.DOI:10.19531/j.issn1001-5299.202107020.

[3]盧方利，孫德寶.一類物資多目標(biāo)規(guī)劃的算法研究和評(píng)價(jià)模型[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2001,29(9):3.

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