文/練瑤 唐振云 向福川 王建宏

本文主要研究生產(chǎn)企業(yè)原材料的訂購與運輸問題。通過建立0-1規(guī)劃模型分別研究供應(yīng)商數(shù)量、最優(yōu)訂購方案和轉(zhuǎn)運方案。

一、引言

本文針對2021年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題[1]的問題2，要求參考問題1，在滿足生產(chǎn)需求的基礎(chǔ)上，確定供應(yīng)商的最少數(shù)量以及未來24周最經(jīng)濟(jì)的原材料訂購方案，并根據(jù)所給近5年8家轉(zhuǎn)運商的損耗率數(shù)據(jù)，確定損耗最少的轉(zhuǎn)運方案。

二、模型準(zhǔn)備

1.供應(yīng)商選取范圍的確定。本文要求參考問題1，確定該企業(yè)至少應(yīng)選擇多少家供應(yīng)商供應(yīng)原材料以滿足生產(chǎn)需求。在問題1中，通過建立基于熵權(quán)法的反映保障企業(yè)生產(chǎn)重要性的TOPSIS模型，得出重要性評價指標(biāo)，以此確定了對于該企業(yè)而言的50家最重要的供應(yīng)商。本文供應(yīng)商的數(shù)量選擇問題的前提是滿足生產(chǎn)的需求，而問題1所求出的對該企業(yè)而言50家最重要的供應(yīng)商也是基于滿足企業(yè)生產(chǎn)需求的考慮，因此，在第二問中我們沿用問題1中確定的50家最重要的供應(yīng)商作為本文供應(yīng)商的選取范圍。

2.決策變量范圍的確定。在解決供應(yīng)商的數(shù)量選擇問題中，只需要確定供應(yīng)商選取范圍中的50家供應(yīng)商是否對企業(yè)進(jìn)行原料供應(yīng)，即這50家供應(yīng)商在這一情況下存在兩種狀態(tài)，即：

其中，i代表第i家供應(yīng)商（此處n=50），j代表第j種原材料（此處m=3，且j=1，2，3分別代表A、B、C類原材料）。在確定每周最經(jīng)濟(jì)的訂購方案和損耗最少的轉(zhuǎn)運方案的問題中，第i家供應(yīng)商每周的實際供貨量gi是不能保證也不需要達(dá)到其最大供應(yīng)量的，同時考慮到經(jīng)濟(jì)效益，即在滿足企業(yè)生產(chǎn)需求的基礎(chǔ)上，應(yīng)該使得每周的原材料剩余量（不同于原材料的庫存量）盡可能少，這一點可以通過對被選擇進(jìn)行原材料供應(yīng)的供應(yīng)商的供貨量賦予相應(yīng)的比重因子wtj∈[0，1]，使得企業(yè)倉庫每周的原材料接收量在企業(yè)達(dá)到產(chǎn)能的條件下盡可能小。

3.引入浮動增量和浮動損失增量。通過分析可以知道，在實際“訂購—供貨—接收”的過程中，訂貨量不等于供貨量，由于運輸損失，供貨量也不等于接收量。所以在原材料的訂購與運輸中，如果忽略這一差異帶來的影響，經(jīng)過時間周期的不斷累積，那么將會造成兩種情況：一是接收量小于訂購量；二是接收量大于訂購量。前者不能滿足生產(chǎn)需求，后者會造成運輸和倉儲的成本大大提高。因此，為了減少這一短期誤差帶來的長期影響，可以引入偏差變量[2]，同時偏差變量可以變硬約束為軟約束，更加貼合實際供應(yīng)的情況。在實際情況中，企業(yè)在第k周的總供貨量gk，應(yīng)該等于企業(yè)每周的產(chǎn)能E，加上由第k-1周實際貨物接收量與企業(yè)每周產(chǎn)能E的差值，定義為浮動增量β（+，-）；還應(yīng)該減去第k-2周的浮動增量在第k-1周的轉(zhuǎn)運過程中的損耗量，定義為浮動損失增量β0（+），若第k-2周的浮動增量為正，則存在浮動損失增量，若為負(fù)，則代表在第k-1周需要減少貨物訂購，此時不存在浮動損失增量。

4.明確浮動增量與訂貨量、供貨量的關(guān)系。浮動增量將影響到下周的訂貨量，而訂貨量與實際供貨量、供貨量與實際接收量的值之間均存在差值（+，-）。所以，為了簡化問題，可以將浮動增量直接與每周的供貨量掛鉤，即定義每周所產(chǎn)生的浮動增量，將在下一周直接通過對供貨量的增減進(jìn)行調(diào)節(jié)。

三、確定供應(yīng)商數(shù)量：建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型

1.決策變量的確定

在最少供應(yīng)商的數(shù)量選擇問題中，引入0-1變量xij，表示第i個供應(yīng)商是否被選擇進(jìn)行原材料供應(yīng)，令

其中j=1，2，3，分別代表A、B、C類原材料。

2.約束條件的確定

為滿足企業(yè)生產(chǎn)需求，需要總的供貨量G達(dá)到企業(yè)每周的產(chǎn)能E，即

其中，gi代表供應(yīng)商的實際供貨量，bj代表第j類原材料生產(chǎn)1m3產(chǎn)品需消耗的相應(yīng)類型的原材料量（單位：m3），E=2.82×104m3。

3.最優(yōu)函數(shù)的確定

要確定企業(yè)在滿足生產(chǎn)需求的前提下，應(yīng)選擇的供應(yīng)商數(shù)量，即需要求的最小值。

四、制定訂購方案：建立類目標(biāo)規(guī)劃模型

1.決策變量的確定

為了使企業(yè)倉庫每周的原材料接收量在企業(yè)達(dá)到產(chǎn)能的條件下盡可能小。引入比重因子wij∈{0，1}，即表示在第k周，第i個供應(yīng)商供應(yīng)第j類原材料的供應(yīng)量占供應(yīng)商總供應(yīng)量Gk的比重。

2.約束條件的確定

(1)對總供應(yīng)量Gk的約束

第k周的總供應(yīng)量Gk應(yīng)該等于企業(yè)每周的產(chǎn)能E、第k-1周產(chǎn)生的浮動增量βk-1和第k-2周產(chǎn)生的浮動損失增量β0k-2之和，即

其中，gi：供應(yīng)商的實際供貨量；

bj：第j類原材料生產(chǎn)產(chǎn)品需消耗的相應(yīng)類型的原材料量（單位：m3）；

βk-1：浮動增量，第k-1周的原材料接收量Sk-1與企業(yè)每周產(chǎn)能E的差值，即第k周的原料增減調(diào)節(jié)量，βk-1=E-Sk-1；

β0k-2：浮動損失增量，第k-2周的增減調(diào)節(jié)量在實際運輸過程中產(chǎn)生的損耗量，

β0k-2=βk-2·Pli·λk-2，其中Pli為第l家轉(zhuǎn)運商的運輸損耗率，浮動損失增量判別因子，即第k-2周若原材料的調(diào)節(jié)量為正，則在第k-1周的實際運輸中會產(chǎn)生一小部分的運輸損耗量βk-2·Pli，若原材料的調(diào)節(jié)量為負(fù)，則第k-1周的實際運輸中不存在運輸損耗量。

(2)對總接收量Sk的約束

在實際運輸過程中，轉(zhuǎn)運商會因為自身運轉(zhuǎn)能力的影響，造成在轉(zhuǎn)運過程中造成運輸損耗量，使得實際供應(yīng)量與實際接收量有出入，因而，第k周的總接收量Sk應(yīng)該等于企業(yè)每周的產(chǎn)能E、第k-1周產(chǎn)生的浮動增量接收量β'k-1，即

其中，sik：第k周第i個供貨商的原材料接收量；

bj：第j類原材料生產(chǎn)產(chǎn)品需消耗的相應(yīng)類型的原材料量（單位：m3）；

β'k-1：第k-1周產(chǎn)生的浮動增量接收量，即第k-1周的原料增減調(diào)節(jié)量的實際接收量，β'k-1=βk-1-βk-1·Pli·λk-1，其中Pli為第l家轉(zhuǎn)運商的運輸損耗率，λk-1為浮動損失增量判別因子，描述是否產(chǎn)生正的原料調(diào)節(jié)量。

(3)對轉(zhuǎn)運商運輸量的約束

考慮到每家轉(zhuǎn)運商的運輸能力為6000m3/周，并且考慮到原材料的特殊性等原因，一家供應(yīng)商每周供應(yīng)的原材料應(yīng)該盡量由一家轉(zhuǎn)運商進(jìn)行運輸，即

其中，（wijgi）l：供應(yīng)第j類原材料的第i家供應(yīng)商由第l家轉(zhuǎn)運商進(jìn)行運輸?shù)墓?yīng)量。

3.目標(biāo)函數(shù)的確定

要制定最經(jīng)濟(jì)的原材料訂購方案，則要使得第k周的訂購費用最小，而訂購費用與供應(yīng)商的實際供應(yīng)量有關(guān)，即要求訂購費用

取最小值。其中，aj：每消耗單位立方米的第j類原材料產(chǎn)生的產(chǎn)品量（單位：m3）；c：C類原材料的采購單價（單位：元）。

綜上所述，總的數(shù)學(xué)模型如下：

五、制定轉(zhuǎn)運方案：建立類目標(biāo)規(guī)劃模型

1.決策變量的確定

要制定損耗最少的轉(zhuǎn)運方案，即要使在運輸過程中的損耗總量最小，而本周的損耗總量可以表示為本周的總供應(yīng)量和總接收量的差。因此，可以繼續(xù)沿用訂購方案模型中的決策變量。即引入比重因子wij∈{0，1}，表示在第k周，第i個供應(yīng)商供應(yīng)第j類原材料的供應(yīng)量占供應(yīng)商總供應(yīng)量Gk的比重。

2.約束條件的確定

(1)對總供應(yīng)量Gk'的約束

第k周的總供應(yīng)量Gk'應(yīng)該等于企業(yè)每周的產(chǎn)能E、第k-1周產(chǎn)生的浮動增量βk-1和第k-2周產(chǎn)生的浮動損失增量β0k-1之和，即

其中，（wijgi）l：供應(yīng)第j類原材料的第i家供應(yīng)商由第l家轉(zhuǎn)運商進(jìn)行運輸?shù)墓?yīng)量；βk-1、β0k-2與上一模型含義一致。

(2)對總接收量Sk'的約束

在實際運輸過程中，轉(zhuǎn)運商會因為自身轉(zhuǎn)運能力的影響，造成在轉(zhuǎn)運過程中造成運輸損耗量，使得實際供應(yīng)量與實際接收量有出入，因而，第k周的總接收量Sk'應(yīng)該等于企業(yè)每周的產(chǎn)能E、第k-1周產(chǎn)生的浮動增量接收量β'k-1，即

其中，（wijsik）l：供應(yīng)第j類原材料的第i家供應(yīng)商由第l家轉(zhuǎn)運商轉(zhuǎn)運至倉庫的接收量βk-1'；與上一模型含義一致。

(3)對轉(zhuǎn)運商運輸量的約束

考慮到每家轉(zhuǎn)運商的運輸能力為60003/周，并且考慮到原材料的特殊性等原因，一家供應(yīng)商每周供應(yīng)的原材料應(yīng)該盡量由一家轉(zhuǎn)運商進(jìn)行運輸，即

3.目標(biāo)函數(shù)的確定

根據(jù)訂購方案所確定的供應(yīng)商，通過合理分配轉(zhuǎn)運商，制定每周的損耗最少的轉(zhuǎn)運方案。要使損耗最少，那么在第k周，損耗總量Lk要最小，損耗總量=總供應(yīng)量-總接收量，即目標(biāo)函數(shù)為

minLk=Gk'-Sk'

綜上所述，總的數(shù)學(xué)模型如下：

六、模型求解

根據(jù)建立的確定供應(yīng)商數(shù)量、制定訂購方案、轉(zhuǎn)運方案三個模型，得出在滿足企業(yè)生產(chǎn)需求的前提下：該企業(yè)至少應(yīng)該選擇51家供應(yīng)商；訂購費用最少的訂購方案與損耗最少的轉(zhuǎn)運方案。

第一，初值確定：1）設(shè)定企業(yè)初始庫存量，在開始兩周屬于庫存調(diào)節(jié)周期，兩周后庫存量趨于穩(wěn)定，為滿足生產(chǎn)需求所需庫存量和企業(yè)的原材料庫存量不少于滿足兩周生產(chǎn)需求的要求，同時，結(jié)合近5年402家供應(yīng)商的供貨量的每周歷史數(shù)據(jù)以及企業(yè)每周的產(chǎn)能要求，又分析可知后面每周的企業(yè)倉庫原材料接收量約為E。綜合上述要求，通過計算，可以得到企業(yè)初始庫存量約為1.9E，為了簡化模型求解，在此設(shè)定企業(yè)初始庫存量為2E。

圖1 庫存量變化概念圖

2）設(shè)定浮動增量初始值為E，即按照正常供貨量第1周倉庫原材料接收量約為E，但不能在后續(xù)的生產(chǎn)周內(nèi)滿足兩周生產(chǎn)需求的原材料庫存量，因此，設(shè)定模型中的浮動增量初始值為E以滿足庫存量需求。第二，輪休機制：供應(yīng)商在完成一周的原材料供應(yīng)任務(wù)后，為避免其生產(chǎn)壓力過大，采用供應(yīng)商不連續(xù)工作機制（輪休機制），即該供應(yīng)商本周被選擇供貨后，在下周不再具備被選擇資格。第三，優(yōu)先分配：首先對轉(zhuǎn)運商的轉(zhuǎn)運能力進(jìn)行評估，運輸平均損耗率越低代表轉(zhuǎn)運能力越強，以此得到轉(zhuǎn)運商轉(zhuǎn)運能力的評估表，見表1。采用優(yōu)先分配原則，即優(yōu)先分配轉(zhuǎn)運能力強（平均運輸損耗率低）的轉(zhuǎn)運商給供貨量大的供應(yīng)商。

表1 轉(zhuǎn)運商轉(zhuǎn)運能力評估

七、靈敏度分析

在實際的訂購和轉(zhuǎn)運過程中，考慮到需求量Q和庫存S對應(yīng)的值與真實的值可能存在一定的偏差，至于不同種類材料的單位訂購費用C、運輸和存儲費用是確切值，故不需要再做考慮[3]。采取對需求量Q和庫存S做增加或減少10%大小的偏差處理。從圖2中可以看出，對于需求量小范圍的變化，相應(yīng)的最小訂購費用的波動性也較低，即可以比較靈敏的求出不同需求量下的最小訂購費用，而受到的擾動較小。

圖2 靈敏度分析

八、結(jié)束語

本文針對生產(chǎn)企業(yè)原材料的訂購與運輸問題。通過建立0-1規(guī)劃模型分別研究供應(yīng)商數(shù)量、最優(yōu)訂購方案和轉(zhuǎn)運方案。從企業(yè)產(chǎn)能的角度，通過確定供應(yīng)商的最小數(shù)量，根據(jù)生產(chǎn)需求制定生產(chǎn)原材料的訂購方案；從轉(zhuǎn)運損耗的角度，根據(jù)轉(zhuǎn)運商的運輸能力，以最小損耗總量為目標(biāo)函數(shù)制定生產(chǎn)原材料的轉(zhuǎn)運方案。同時，本文對所建立的模型進(jìn)行了靈敏度分析，反映出該模型的穩(wěn)定性，可以解決生產(chǎn)實際中的類似問題。

引用出處

[1]2021年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題[EB/OL].[2021-09-09].http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/4d73a36cc88b35bd4883c276afe39d89.html.

[2]司守奎,孫兆亮.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用[M].北京:國防工業(yè)出版社,2020:430-433.

[3]王圣東.時變需求下供貨商與銷售商聯(lián)合生產(chǎn)庫存模型[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2005(02):201-205.