江蘇省南京市溧水區(qū)第三小學(xué) 易 露

一、教學(xué)目標(biāo)

（1）復(fù)習(xí)立體圖形表面積公式和體積公式的推導(dǎo)過(guò)程，并歸納、分析各立體圖形表面積和體積計(jì)算方法的內(nèi)在聯(lián)系。

（2）經(jīng)歷觀察、探究、發(fā)現(xiàn)直柱體體積間的聯(lián)系和表面積間的聯(lián)系的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題的能力以及歸納和推理的能力。

（3）在解決問(wèn)題的過(guò)程中讓學(xué)生獲得成功體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，激發(fā)思維活力

（出示：有圓柱的車庫(kù)圖）

師：在這個(gè)地下車庫(kù)里，你看到了什么？想求什么？

生1：我看到四個(gè)圓柱，想求它們的體積。

生2：如果給圓柱的側(cè)面刷油漆，可以求刷油漆的面積。

生3：還有整個(gè)車庫(kù)是個(gè)沒(méi)畫完的長(zhǎng)方體！可以求它的容積和表面積。

師：大家的空間想象力真豐富！剛才的問(wèn)題都是關(guān)于立體圖形的表面積或體積的。今天，我們就一起來(lái)溫習(xí)這些知識(shí)，看看會(huì)不會(huì)有新的收獲。

【設(shè)計(jì)意圖】情境圖的創(chuàng)設(shè)使學(xué)生將思維聚焦到立體圖形的表面積和體積上，既揭示了課題，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。另外，長(zhǎng)方體空間沒(méi)有完整呈現(xiàn)，也是對(duì)學(xué)生空間想象力的一次挑戰(zhàn)。

（二）梳理交流分享，促進(jìn)思維條理化

師：大家選擇了不同的整理方式對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理，現(xiàn)在，誰(shuí)來(lái)帶我們回顧立體圖形表面積和體積的相關(guān)知識(shí)呢？

生1：（上臺(tái)）我來(lái)介紹立體圖形的表面積，長(zhǎng)方體是S=2（ab+ah+bh），正方體是S=6a2，圓柱是S=2πr2+2πrh。

生2：長(zhǎng)方體和正方體的表面積都是求出表面六個(gè)面面積的總和。圓柱的表面積是求兩個(gè)圓形底面和一個(gè)側(cè)面的面積和。

師：知其然還知其所以然，為你點(diǎn)贊!誰(shuí)能介紹介紹體積呢？

生1：長(zhǎng)方體的體積計(jì)算是用長(zhǎng)、寬、高三者相乘得到的。圓柱是將它轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體來(lái)計(jì)算體積。圓錐的體積是通過(guò)和與它等底等高的圓柱體積進(jìn)行比較得出的。

生2：我補(bǔ)充一下長(zhǎng)方體體積公式其實(shí)是用體積單位進(jìn)行測(cè)量的，體積單位的個(gè)數(shù)可以用“長(zhǎng)×寬×高”來(lái)計(jì)算。

師（出示課件，見圖1）：觀察體積的計(jì)量方法和面積、長(zhǎng)度的計(jì)量方法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖1

生1：我發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)是相通的，計(jì)量體積就是看其中有多少個(gè)體積單位，計(jì)量面積就是看里面有多少個(gè)面積單位。

生2：我來(lái)具體解釋一下，計(jì)量長(zhǎng)度就是看里面有多少個(gè)長(zhǎng)度單位。只不過(guò)長(zhǎng)度可以直接數(shù)出來(lái)；面積有長(zhǎng)和寬兩個(gè)維度，可以用一行的個(gè)數(shù)乘行數(shù)；體積有長(zhǎng)、寬、高三個(gè)維度，可以先用長(zhǎng)和寬求出一層的個(gè)數(shù)，再乘層數(shù)，也就是高。所以，無(wú)論長(zhǎng)度，還是面積或體積的計(jì)量的道理是一樣的。

師：分析得既透徹又深入！

【設(shè)計(jì)意圖】在課堂上給學(xué)生提供充分的時(shí)間和空間，讓學(xué)生在課堂上像“小先生”一樣地講解，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。引導(dǎo)學(xué)生從體積的推導(dǎo)過(guò)程中反思發(fā)現(xiàn)，這與面積和長(zhǎng)度的計(jì)量方式是有聯(lián)系的，并發(fā)現(xiàn)它們都是計(jì)量單位的疊加過(guò)程。

（三）溝通聯(lián)系體積，提高思維靈活性

1.再認(rèn)識(shí)直柱體體積

師：看來(lái)這些都難不倒你們，（出示圖2）這兩個(gè)立體圖形的體積，你會(huì)求嗎？

圖2

生1：左邊的可以先求長(zhǎng)方體的體積，再乘二分之一，就是3×4×5×。

生2：右邊這個(gè)可以先求圓柱的體積，再乘二分之一，也就是π×（2÷2）2×4×。

師：這兩個(gè)算式又怎么理解呢？

生1：也就是可以直接算出這個(gè)圖形的底面積，再乘高，就得到了它的體積。

生2：我發(fā)現(xiàn)它們的體積和長(zhǎng)方體、正方體和圓柱一樣，都可以用“底面積×高”來(lái)計(jì)算。

師：真是了不起的發(fā)現(xiàn)！那么，請(qǐng)大家觀察這些可以用“底面積×高”來(lái)計(jì)算體積的立體圖形，從外形上看，它們有什么相同點(diǎn)？

生：從下往上都是一樣粗細(xì)的。

動(dòng)畫演示（見圖3）：由一張長(zhǎng)方形紙不斷往上疊加成長(zhǎng)方體的動(dòng)畫。

圖3

師（小結(jié)）：像這樣上下一樣粗細(xì)的、直直的柱體就叫作“直柱體”，它們的體積都可以用“底面積×高”來(lái)計(jì)算。

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于這部分內(nèi)容，教師在教學(xué)時(shí)，一方面通過(guò)話語(yǔ)引導(dǎo)，讓學(xué)生在比較活動(dòng)中進(jìn)行思維碰撞和知識(shí)的深度建構(gòu)，并發(fā)現(xiàn)體積可以用“底面積×高”來(lái)計(jì)算的立體圖形的本質(zhì)共同特征；另一方面，由于學(xué)生對(duì)“動(dòng)”的圖形會(huì)更有學(xué)習(xí)熱情，因此通過(guò)動(dòng)畫演示，在圖形“動(dòng)”的過(guò)程中讓學(xué)生直觀地感受到它們的共通之處在于都是由同一個(gè)平面圖形不斷向上平移積累而成。這樣的過(guò)程也使學(xué)生對(duì)“面動(dòng)成體”有了更為深刻的體會(huì)。

2.再認(rèn)識(shí)圓錐體積

師（追問(wèn)）：那圓錐的體積可以用“底面積×高”來(lái)計(jì)算嗎？

生：不能，它底面的圓片越上升越小，最上面的成了一個(gè)點(diǎn)，所以圓錐不是直柱體，因此不能這樣計(jì)算。

師：剛才大家介紹圓錐是與它等底等高的圓柱體積的三分之一，結(jié)合剛才的探究，一定要是“圓”柱嗎？

生1：長(zhǎng)方體也行，只要是和圓錐等底等高就可以。

生2：只要與它等底等高的任何直柱體都可以，因?yàn)榈鹊椎雀叩闹敝w體積都是一樣的。

生3：我總結(jié)一下，圓錐的體積是和它等底等高的直柱體體積的三分之一。

【設(shè)計(jì)意圖】在以往圓錐體積的新授課中，由于實(shí)驗(yàn)的幫助，學(xué)生對(duì)于“圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的三分之一”記憶很深刻。本節(jié)課復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合剛剛探究的直柱體體積的聯(lián)系進(jìn)行推理：上述結(jié)論一定要強(qiáng)調(diào)“圓柱”嗎？從而將學(xué)生思維推向更深處。

（四）重新認(rèn)識(shí)表面積，拓寬思維廣度

師：這些直柱體的體積都可以統(tǒng)一成“底面積×高”，那表面積呢？

生1：都可以統(tǒng)一成“兩個(gè)底面+一個(gè)側(cè)面”。

生2：它們的側(cè)面其實(shí)都可以沿高剪開，展開成一個(gè)長(zhǎng)方形，而且長(zhǎng)都是直柱體的底面周長(zhǎng)，寬都是直柱體的高，所以，側(cè)面積都可以用“底面周長(zhǎng)×高”來(lái)計(jì)算。

【設(shè)計(jì)意圖】先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合情推理：直柱體既然如此相像，體積有共通公式，那么，表面積會(huì)不會(huì)也是共通的呢？在猜想和觀察的基礎(chǔ)上，學(xué)生便能發(fā)現(xiàn)它們的表面積也可以統(tǒng)一成“兩個(gè)底面+一個(gè)側(cè)面”，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)每個(gè)立體圖形展開的過(guò)程，讓學(xué)生深刻體會(huì)到表面積的共通之處。

三、教學(xué)總結(jié)

（一）在聯(lián)系中建立知識(shí)體系

本課伊始，學(xué)生自主梳理關(guān)于立體圖形表面積和體積的教學(xué)環(huán)節(jié)分為兩個(gè)層次：第一層次是對(duì)四種立體圖形建立初步的整體認(rèn)知；第二層次是溝通了長(zhǎng)度、面積和體積計(jì)量的相通之處。課前，教師先讓學(xué)生用自己喜歡的方式整理了立體圖形的表面積和體積的相關(guān)知識(shí)。自主整理的過(guò)程很好地展現(xiàn)了學(xué)生個(gè)性化整合的思維。同時(shí)，學(xué)生在溝通中將長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和圓錐的體積和表面積的公式、推導(dǎo)過(guò)程及聯(lián)系進(jìn)行了完整的回顧和梳理，對(duì)知識(shí)有了一定的整體建構(gòu)。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)度、面積和體積的計(jì)量方法上的相通之處，使學(xué)生在觀察、比較、反思中感受到長(zhǎng)度，或面積，或體積的多少都是取決于它們長(zhǎng)度單位，或面積單位，或體積單位的個(gè)數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“量是量出來(lái)的”這一知識(shí)根基，從而促使學(xué)生對(duì)一維、二維和三維的知識(shí)建立更為緊密的聯(lián)結(jié)體系。

（二）在聯(lián)系中優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

長(zhǎng)方體、正方體和圓柱都屬于直柱體，本身具有高度一致性。但在分散的新授課中，學(xué)生只關(guān)注到單個(gè)立體圖形的特征，而忽視了它們的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性。作為一節(jié)整合的復(fù)習(xí)課，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到它們更深層次的統(tǒng)一性，從而讓學(xué)生所建立的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更具完整性。通過(guò)觀察、演示的過(guò)程，學(xué)生對(duì)直柱體的共同特質(zhì)有了更深刻的體會(huì)，從而將知識(shí)建立聯(lián)結(jié)，形成最簡(jiǎn)、最優(yōu)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。至此，學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的認(rèn)知已不再是割裂的知識(shí)點(diǎn)，而是發(fā)現(xiàn)了它們的內(nèi)在一致性，都是由一個(gè)平面圖形豎直不斷疊加形成的圖形，即都為直柱體。如此，學(xué)生在聯(lián)系的過(guò)程中對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化。

（三）在聯(lián)系中發(fā)展高階思維

在圓錐體積的復(fù)習(xí)過(guò)程中，考慮到通過(guò)以往的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)于“圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的三分之一”記憶非常深刻，在課的前一部分，教師總結(jié)了直柱體體積的統(tǒng)一性后，有必要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注這里的圓柱可以替換成其他任何與之等底等高的直柱體。這里引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步的思考既是對(duì)前一部分內(nèi)容的鞏固，也是一次思維進(jìn)階的契機(jī)，學(xué)生的思維層次也在這樣的推理過(guò)程中走向高階。

（四）在聯(lián)系中走向深度學(xué)習(xí)

本課在復(fù)習(xí)表面積的過(guò)程中，先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合情推理：直柱體的表面積會(huì)不會(huì)和體積一樣，也是有著緊密聯(lián)系的。學(xué)生通過(guò)觀察和想象，便能發(fā)現(xiàn)它們的表面積也可以統(tǒng)一成“兩個(gè)底面+一個(gè)側(cè)面”。此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中將側(cè)面依次展開：通過(guò)這種有效的動(dòng)態(tài)想象，使知識(shí)的聯(lián)系更為緊密，也是對(duì)學(xué)生空間想象力的進(jìn)一步培養(yǎng)，學(xué)生的學(xué)習(xí)也真正走向了深處。

整節(jié)復(fù)習(xí)課，通過(guò)觀察、發(fā)現(xiàn)、推理、反思等過(guò)程將立體圖形進(jìn)行整合、建立聯(lián)結(jié)，打通了“體”與“面”“線”之間的聯(lián)系。學(xué)生對(duì)整個(gè)“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識(shí)體系也有了整體的把握。在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，教師要能通過(guò)單元知識(shí)的有機(jī)整合，甚至根據(jù)完整的知識(shí)體系，引導(dǎo)學(xué)生建立所學(xué)系列內(nèi)容之間的聯(lián)系，在這樣的過(guò)程中將知識(shí)形成體系，形成更為優(yōu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而發(fā)展學(xué)生的高階思維，也讓復(fù)習(xí)更具深度。