趙 橋，李 博，項融融

(中北大學(xué) 儀器與動態(tài)測試教育部重點實驗室,太原 030051)

0 引言

近年來，隨著人工智能和航空航天技術(shù)的迅猛發(fā)展，機器人控制技術(shù)已經(jīng)取得了廣泛的關(guān)注，且已被應(yīng)用于軍用、民用領(lǐng)域的研究中[1-2]。機器人具有響應(yīng)速度快、執(zhí)行和協(xié)作能力強、精度和效率高等特點和優(yōu)勢[3-4]。此外，人工智能的進步加速了機器人的發(fā)展，使得機器人由單一、固定模式逐漸發(fā)展成為高度智能和更復(fù)雜的智能體，增加了機器人系統(tǒng)的可執(zhí)行性以及促進了節(jié)點之間的相互合作。

在機器人技術(shù)的相關(guān)研究中，利用多個機器人圍繞目標進行協(xié)同環(huán)航的研究引起了人們相當大的研究興趣，其應(yīng)用領(lǐng)域和實現(xiàn)的功能也在持續(xù)不斷的擴展，如航天器的繞飛運動[5]、無人機編隊對地面目標的協(xié)同追蹤[6]，以及智能群體的圍繞目標進行運動[7]等。機器人協(xié)同環(huán)繞護航的控制目標是指自主移動機器人團隊通過協(xié)調(diào)自身與其他成員之間的相對位置以及目標信息, 在目標周圍構(gòu)建預(yù)定隊形，實現(xiàn)對中心目標的緊密追蹤護航。當多機器人針對目標進行圓形護航運動時,可以對中心目標保持全方位的監(jiān)控與覆蓋。同時，歸功于預(yù)定的運動護航構(gòu)形, 節(jié)點的位置在時刻進行著變化, 進一步減少了目標被攻擊以及目標信息損失的可能。多機器人協(xié)同環(huán)航具有上述一系列優(yōu)點，所以國內(nèi)外的專家學(xué)者對其進行了深入研究和拓展。

針對機器人圍繞運動目標的環(huán)繞問題，一些文獻中已經(jīng)提供了不同的思路和方法。起初，國內(nèi)外的一些學(xué)者對單個機器人圍繞目標做環(huán)繞運動的研究得到了一系列的理論和實驗成果，為后續(xù)的研究提供了方向和方法。在文獻[8]中，針對單個機器人的環(huán)航問題，MOHAMMAD等提出了一種基于純方位量測下的控制器設(shè)計方法。文獻[9]中JAWHAR 等進一步將算法應(yīng)用到對空間內(nèi)的中心目標進行環(huán)航運動中。在機器人的實際應(yīng)用中，一些移動機器人的運動學(xué)模型存在非完整約束，如輪式機器人，其無法發(fā)生側(cè)方移動。因此，由于輪式機器人具有輕巧、靈活等特性，關(guān)于它的研究占據(jù)了很大的比重，并被廣泛應(yīng)用于各類機器人相關(guān)技術(shù)的研發(fā)中[10]，所以對輪式機器人等非完整機器人的研究是十分有必要的。在文獻[11]中張春燕等利用Lyapunov函數(shù)和代數(shù)圖論等相關(guān)理論，展開了對非完整移動機器人的研究。然后，在文獻[12]中，張瑞雷等針對非完整移動機器人的特性設(shè)計了一種編隊控制策略，把編隊控制分解為跟隨機器人對虛擬機器人的軌跡跟蹤，建立了兩種機器人之間的誤差模型，最終實現(xiàn)了對編隊形狀的保持和變換。同時由于存在機器人的質(zhì)心和輪軸的中心重合的問題，孫忠延等提出了一種自適應(yīng)控制的方法并設(shè)計了控制器[13]。

與單個機器人的情況相比，大多數(shù)研究學(xué)者更感興趣的是多機器人系統(tǒng)的環(huán)航問題，因為它在靈活性、安全性和魯棒性等方面更有優(yōu)勢，應(yīng)用的方向也更多元化。面對環(huán)航任務(wù)的需求，多個機器人可以在更大的程度上收集多個測量值，并提供更好的目標信息，同時維持預(yù)定的幾何構(gòu)型，減少了高價值護航目標被監(jiān)測、攻擊以及信息損失的可能性，同時多機器人在偵查和搜救尋找等方面的應(yīng)用也越來越廣泛。文獻[14]中針對多個智能體的環(huán)繞目標進行運動的問題，DUAN等提出了一種通過圓形編隊對目標進行環(huán)繞追蹤的方法。文獻[15]中則用循環(huán)追蹤的方法，利用角度測量信息，將單個機器人的情形擴展到多個機器人。在[16]中，作者提出了一種基于循環(huán)追蹤策略的方法，用于智能體的協(xié)作控制，以實現(xiàn)對目標的捕獲任務(wù)。在[17]和[18]中，作者進一步發(fā)展到多個機器人圍繞靜態(tài)目標做環(huán)繞圓周運動。在[19]中WANG等提出了一種由定距環(huán)繞子控制器和協(xié)同子控制器相組合，實現(xiàn)了對靜態(tài)目標的協(xié)同環(huán)航。在[20]和[21]中，作者提出一種新的基于行為的方法，即基于零空間的行為控制方法，在此基礎(chǔ)上對目標做環(huán)繞運動。在[22]中，作者設(shè)計了協(xié)同控制策略，該策略通過跟蹤圓的時變中心來穩(wěn)定圓編隊的運動, 但是該策略的使用會使相應(yīng)的魯棒性降低。

目前已知的大多數(shù)研究是圍繞多個機器人環(huán)繞單個移動目標所展開的，且相應(yīng)的環(huán)繞運動過程中運動半徑是保持不變的。本文則是針對多個非完整機器人圍繞多個移動目標進行半徑變化的環(huán)繞運動來展開研究，可以使機器人在運動過程中信息保存的更加完好，降低被攻擊的可能性。本文的主要貢獻如下：

1)針對多目標環(huán)航任務(wù)設(shè)計時變半徑的圓形環(huán)繞控制律，使得單個機器人可以漸進收斂到多目標為中心的圓形軌道上；

2)構(gòu)建一個控制團隊成員之間相對分離角誤差的非線性函數(shù), 控制節(jié)點之間的相對角間距，實現(xiàn)多機器人的協(xié)同環(huán)航控制；

3)控制律采用反步法[23]來設(shè)計，且所提出的分布式控制策略可以實現(xiàn)對期望環(huán)航距離、一致性角間距、以及環(huán)航角速度的漸近收斂，理論以及仿真證明所有的控制誤差可以收斂到原點。

本文的其余部分組織如下。第1節(jié)介紹了一些預(yù)備知識和對相應(yīng)問題進行了必要的描述。在第2節(jié)中，提出了多機器人分布式協(xié)同控制律。第3節(jié)進一步證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第4節(jié)說明了所提出策略的有效性和給出了對應(yīng)的仿真結(jié)果，并對結(jié)果進行了分析，得出結(jié)論。第5節(jié)對本文進行了總結(jié)并給出了下一步研究的方向。

1 預(yù)備知識和問題表述

1.1 代數(shù)圖論

本文對多機器人的多目標協(xié)同環(huán)航問題進行了研究，多個機器人中的每一個機器人都可以當作一個通訊節(jié)點，機器人之間的信息交互可以通過圖論表示。例如考慮n個機器人，其通信拓撲關(guān)系可以用一個有向圖G來表示。用(j,i)來表示的節(jié)點i可以訪問節(jié)點j。鄰接矩陣A=[aij]n×n的定義如下：如果從節(jié)點j到i(j≠i)有一個有向鏈路，則aij>0；否則，aij=0。如果aij=aji，對于所有的i,j∈v，權(quán)值被稱為對稱的。顯然，如果一個圖有對稱的權(quán)值，那么它是無向的。代理i的鄰域集為Ni={j∈v|(i,j)∈ε}。如果對于任意兩個不同的節(jié)點j和i，每個節(jié)點到其他每個節(jié)點都有無向路徑，則無向圖是連通的。

給定xi∈m,i= 1, 2,…，n。本文使用了以下圖論的結(jié)果[24]。這些結(jié)果在一些文獻中有提到[25]。

命題1：對于具有對稱權(quán)值的無向圖，以下結(jié)果成立：

命題2：對于一個連通的無向圖，以下結(jié)果成立：

1.2 問題表述

考慮由n個非完整機器人組成的多機器人系統(tǒng)。對于其中的任何一個機器人，其動力學(xué)模型可以由式(1)給出：

(1)

其中:g(θi)=[cosθi,sinθi]T。pi=[xi,yi]T∈2,θi∈[-π,π]表示機器人i的位置和方向。vi,ωi分別為機器人i的線速度和角速度，i=1,2,…,n。為了實現(xiàn)協(xié)同環(huán)航的目標，每個機器人被分配到團隊其他成員的一個特定子集Ni，該子集包括了可以與其通信的機器人目標。機器人之間的通信可以表示為無向圖G，與大多數(shù)文獻中提出的關(guān)于多機器人系統(tǒng)分布式控制一樣，本文假設(shè)無向圖G是連通的。

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

其中:μd>0是時變的規(guī)定半徑，ωd∈是規(guī)定的圓周速度，φij=-φji∈[-π,π]是規(guī)定的機器人間的角間距。

圖1 多個非完整移動機器人協(xié)同目標追蹤

2 協(xié)同環(huán)航控制器設(shè)計

2.1 目標擴展模型

考慮到多目標的幾何位置中心可以被確定為pt，定義機器人對多目標的環(huán)航半徑可以表示為：

其中:rsafe>0表示機器人對目標的安全環(huán)航距離，這個距離是可以隨時間變化的，也可以是固定不變的。因此，對應(yīng)機器人將在預(yù)定的安全環(huán)航模式下實現(xiàn)對多目標的環(huán)繞運動。注意到傳統(tǒng)的環(huán)繞半徑μd是預(yù)先指定的固定值，是固定不變的。然而實際情況下環(huán)航半徑可能是時變的，且中心目標是運動的，因此傳統(tǒng)意義下的控制方法會導(dǎo)致環(huán)繞誤差收斂不到零[26]，這樣就不可避免地降低了環(huán)航安全程度以及控制指標的精度。因此本文將考慮時變半徑的環(huán)航策略，通過設(shè)計控制策略實現(xiàn)環(huán)繞誤差漸進收斂到原點。

2.2 控制器設(shè)計

首先，在笛卡爾坐標系下解決合作環(huán)航運動的問題。目標和機器人i之間的相對動力學(xué)可以寫成：

(7)

首先引入一個非線性函數(shù)：

si=s(ei)

(8)

(9)

其中:aij=aji>0，函數(shù)s是一個滿足s(0)=0的單調(diào)有界函數(shù)，如下面這一類函數(shù)：

(10)

g(θid)vi=fi

(11)

由上面的公式可以得到：

(12)

(13)

(14)

由上述式(14)可以得到對應(yīng)的角速度ωi為：

(15)

(16)

在上式的條件下，有：

3 穩(wěn)定性分析

定理1：考慮具有控制律(12)和(15)的系統(tǒng)(1)。如果假設(shè)成立，則誤差動態(tài)(14)是漸近穩(wěn)定的，最終實現(xiàn)了(4)～(6) 中的目標。

證明：將等式(15)代入(14)，誤差動態(tài)變?yōu)椋?/p>

(17)

構(gòu)建如下所示的李雅普諾夫函數(shù)：

(18)

V1的時間導(dǎo)數(shù)可以表示為：

(19)

將fi的表達式代入上式(19)中，可以得到：

(20)

此外，根據(jù)式(3)中的定義可得：

ωd-si+ηi

(21)

ηi由下式給出：

(22)

(23)

考慮如下的李雅普諾夫函數(shù)：

(24)

則V2的導(dǎo)數(shù)可以表示為：

(25)

由命題1中，可以得到下列公式：

(26)

(27)

將上述不等式從0積分到t，可以得到：

(28)

(29)

注釋：本文所提出的控制律主要是基于式(10)中提出的矢量場設(shè)計,其可以應(yīng)用于任意數(shù)量的多機器人協(xié)同目標環(huán)航任務(wù)。且由于每個機器人只與其相鄰的機器人之間進行信息交互，所以相較于傳統(tǒng)的集中式控制策略，分布式控制策略有其特有的優(yōu)勢，其具有更強的靈活性和更高的容錯率。分布式控制策略只是與系統(tǒng)的通信拓撲結(jié)構(gòu)有關(guān)，因此系統(tǒng)可以依據(jù)特殊的需求和任務(wù)來增加或減少機器人的數(shù)量，靈活性能提升顯著。除此之外，相較于傳統(tǒng)的集中式控制策略，本文的分布式控制策略可以更好的利用每個機器人個體的計算性能，有效的降低了系統(tǒng)對相關(guān)傳感器和通信技術(shù)的要求。同時，針對傳統(tǒng)的目標環(huán)繞僅僅適用于對單個目標的協(xié)同環(huán)航，對多個不同軌跡的動態(tài)目標實現(xiàn)不了環(huán)航控制誤差收斂到原點，不可避免地對機器人編隊環(huán)航產(chǎn)生不利的影響。本文充分考慮了多個機器人對多個動態(tài)目標的安全環(huán)航，通過使用反步技術(shù)來設(shè)計分布式控制策略，實現(xiàn)所有誤差的漸進收斂。其中，目標時變半徑帶來的不利影響可以通過設(shè)計補償量在線抵消，因此多機器人可以完全地收斂到以多目標為中心的圓形軌道上并維持一致的角間距配置。

4 仿真結(jié)果

4.1 單個機器人多目標對比環(huán)繞效果

考慮單個非完整機器人對多運動目標進行環(huán)航運動，環(huán)航效果圖如圖2所示，圖中的橫縱坐標x和y分別代表不同目標下的機器人位置。假設(shè)機器人的初始位置是pi(0)=[2 0]Tm,相對應(yīng)的初始航向角是π，則3個目標的運動軌跡可以分別表示為：

圖2 單個機器人對多個目標的環(huán)航效果

預(yù)期的安全環(huán)繞半徑和角速度分別為rsafe=0.5 m，ωd=1 rad/s，控制系數(shù)為分別為k1=2，k2=5。為了驗證本文所提出方法對多目標時變半徑軌跡的優(yōu)越性，通過對比控制器[26]，得到的仿真結(jié)果如下面的圖3和圖4，仿真結(jié)果表明本文所用方法具有良好的收斂精度，這歸功于所提出的控制器(10)，(12)，和(15)。

圖3 環(huán)航控制目標效果圖

圖4 機器人的線速度和角速度

4.2 多個機器人圍繞多個目標進行環(huán)繞運動

多個非完整機器人組成的多機器人系統(tǒng)之間的通信關(guān)系可以如圖5所示，以5個非完整機器人為例，相對應(yīng)的鄰接矩陣可以表示為：

圖5 機器人之間的通信拓撲結(jié)構(gòu)

A=[0,1,0,0,0;1,0,1,0,0;0,1,0,1,0;0,0,1,0,1;0,0,0,1,0]。

且在多個機器人之間，每個機器人只能獲取與之相鄰的機器人和目標的信息，相隔機器人之間無法獲取各自的信息。

xt1=4+0.1*t+0.15*cos(0.2*t),

yt1=4+0.2*t*sin(2*log(t+1))+0.2*cos(0.3*t)

xt2=3+0.1*t+0.15*cos(0.2*t)

yt2=5+0.2*t*sin(2*log(t+1))+0.2*cos(0.3*t)

xt3=6+0.1*t+0.15*cos(0.2*t)

yt3=5+0.2*t*sin(2*log(t+1))+0.2*cos(0.3*t)

預(yù)期的環(huán)繞安全半徑和速度分別為rsafe=0.5 m，ωd=1 rad/s，相對角間距φ=2 π/5 rad。

根據(jù)圖6中的(a)圖所示，通過圖中的位置軌跡可以看出機器人能實現(xiàn)對多個目標的協(xié)同護航，同時結(jié)合圖6中的(b)圖，即環(huán)航剖面圖可以看出，多機器人可以在5 s左右收斂到以目標為中心的圓上，隨后基于一致性角間距誤差，可以調(diào)節(jié)機器人編隊的構(gòu)型，以實現(xiàn)對目標的全角度等相位環(huán)航效果。環(huán)繞半徑誤差、環(huán)繞角速度和機器人間的相對角間距誤差見圖7所示，由圖7可以看出相對距離誤差很快收斂到0，角間距大約在20 s左右趨于一致并收斂到期望值，環(huán)繞角速度最后也收斂到1 rad/s。同時可以看出所有的控制目標都能被實現(xiàn)，很好地滿足了系統(tǒng)的性能要求。機器人的線速度和角速度如圖8所示，從圖中可以看出數(shù)據(jù)滿足光滑有界。因此，基于上述的分析結(jié)果得出，多機器人可以協(xié)同實現(xiàn)對多平穩(wěn)目標的環(huán)航效果。

圖6 多機器人對多平穩(wěn)目標的協(xié)同環(huán)航效果以及環(huán)繞剖面

圖8 環(huán)航速度以及角速度示意圖

4.3 多個機器人圍繞多個目標做時變半徑的環(huán)繞運動

xt1=4+0.1*t+0.15*cos(0.2*t)

yt1=4+0.2*t*sin(2*log(t+1))+0.2*cos(0.3*t)

xt1=3+0.1*t+0.2*cos(0.2*t)

yt2=5+0.2*t*sin(2*log(t+1))+0.2*cos(0.35*t)

xt3=6+0.1*t+0.1*sin(0.2*t)

yt3=5+0.25*t*sin(2*log(t+1))+0.2*cos(0.25*t)

從圖9可以得出，機器人可以很好的實現(xiàn)對多個目標的協(xié)同護航任務(wù)。環(huán)繞半徑誤差、環(huán)繞角速度和機器人間的相對角間距誤差如圖10所示，從圖中可以看出相對距離誤差很快可以收斂到0，相對角間距誤差大約在22 s左右趨于一致并收斂到期望值，環(huán)繞角速度最后也收斂到1 rad/s。同時可以從圖中看出所有的控制目標都可以被實現(xiàn)，很好地滿足了系統(tǒng)的性能要求。機器人的線速度和角速度如圖11所示，可以直觀的看出滿足光滑有界。因此，基于上述的分析可以得出，多機器人可以協(xié)同實現(xiàn)對多個非平穩(wěn)目標的環(huán)航效果。

圖9 多機器人對多非平穩(wěn)目標的協(xié)同環(huán)航效果

圖10 環(huán)航控制目標達成效果示意圖

此外，多目標時變環(huán)繞半徑的優(yōu)勢如圖12所示，從圖中可以看出，當機器人環(huán)航空間受限時，固定的環(huán)繞半徑將不再適用于多變的復(fù)雜環(huán)境，這將不可避免地給環(huán)航團隊帶來一系列的安全事故，極大地增加機器人被毀壞的風險。相反，時變半徑則可以依據(jù)實際的環(huán)繞要求調(diào)整半徑，當在狹窄的地形時，機器人可以依據(jù)視覺或者雷達系統(tǒng)檢測到安全半徑，從而調(diào)節(jié)半徑的大小，使其不超過安全半徑。同時證明了本文所提出的控制策略可以維持機器人團隊的幾何構(gòu)型通過一致性誤差，因此，這將更加適用于現(xiàn)實的護航場景。

5 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)意義下的環(huán)繞控制方法僅僅考慮實現(xiàn)單一的目標環(huán)繞，本文通過考慮多非完整機器人圍繞多目標協(xié)同環(huán)繞，通過設(shè)計分布式環(huán)繞控制律實現(xiàn)了對多個動態(tài)目標的緊密安全環(huán)航。通過考慮多目標環(huán)繞帶來的時變半徑導(dǎo)致環(huán)繞誤差收斂不到零，不可避免地降低了環(huán)航安全程度以及控制指標的精度等問題，本文利用反步技術(shù)提出了一種新的考慮時變護航半徑的分布式控制策略，在對目標點速度的溫和假設(shè)下，可以實現(xiàn)在預(yù)定的模式下對多目標實施以規(guī)定環(huán)繞半徑，環(huán)繞角速度，以及相位分布的協(xié)同環(huán)航配置。理論分析證明了閉環(huán)系統(tǒng)所有誤差信號漸近收斂到原點，最后通過仿真結(jié)果進行的對比驗證也很好的證明了本文所提出方法的有效性和可行性，同時也為后續(xù)的深入研究提供了較好的參考方法和研究方向。

將來可以在此研究的基礎(chǔ)上，按照本文所提出的策略和方法，由已知目標的速度和方向擴展到預(yù)估目標的速度和方向來進行環(huán)航任務(wù)，還可以考慮基于勢場法實現(xiàn)對目標協(xié)同環(huán)航的同時，避免環(huán)航途中發(fā)生機器人的碰撞?；蛘咴诳紤]多個機器人環(huán)航運動的同時，加入機器人在運動過程中對障礙物有效躲避的研究，進一步提升機器人環(huán)航運動的安全性和可靠性。