山東省淄博市桓臺(tái)縣實(shí)驗(yàn)學(xué)校 于國(guó)麗

山東省淄博市桓臺(tái)縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 劉 妍

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值

第一，可以助力學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性強(qiáng)，尤其是一些數(shù)學(xué)概念，不僅抽象而且有很強(qiáng)的概括性，學(xué)生理解起來(lái)吃力。教師在課上若是滲透數(shù)形結(jié)合思想，以直觀形象的圖形將其表現(xiàn)出來(lái)，可以明顯降低學(xué)生理解難度，還能加深學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的理解與記憶，有利于后面學(xué)習(xí)中的遷移應(yīng)用。

第二，可以提升學(xué)生的思維能力。數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用涉及“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，學(xué)生在面對(duì)幾何圖形時(shí)要深入挖掘其中隱藏的數(shù)量關(guān)系。同樣，在面對(duì)代數(shù)知識(shí)時(shí)思考如何通過(guò)幾何圖形使其直觀呈現(xiàn)。這個(gè)過(guò)程需要空間想象、邏輯思維、發(fā)散思維、創(chuàng)新思維的參與，所以有助于提升學(xué)生思維能力。

第三，可以增強(qiáng)學(xué)生問(wèn)題解決能力。在數(shù)學(xué)中，“數(shù)”與“形”是兩個(gè)重要元素，學(xué)生若是能巧妙地處理這兩者之間的關(guān)系，靈活轉(zhuǎn)化，就能輕松解決數(shù)學(xué)中的大多數(shù)問(wèn)題。此外，數(shù)學(xué)思想方法從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)就是解題思路、方法的凝練，數(shù)形結(jié)合思想也是如此。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想，就可以觸類(lèi)旁通、舉一反三，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題會(huì)更加輕松，正確率也會(huì)更高。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用策略

（一）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用形式

1.以形促數(shù)

顧名思義，“以形促數(shù)”是指通過(guò)幾何圖形促進(jìn)學(xué)生對(duì)代數(shù)知識(shí)的理解，這是數(shù)形結(jié)合的常見(jiàn)形式之一。初中數(shù)學(xué)中包含很多復(fù)雜的內(nèi)容，如抽象的數(shù)量關(guān)系，教師可以通過(guò)圖形直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，從而降低學(xué)生理解難度。

以“一次函數(shù)”教學(xué)為例，一次函數(shù)的方程式是“y＝ax+b（a≠0）”，a、b均是常數(shù)。如果教師直接解釋數(shù)量關(guān)系，學(xué)生難以理解，若是教師用直觀的圖形呈現(xiàn)這個(gè)函數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生就能輕松且深入地理解。在教學(xué)實(shí)踐中，教師可以通過(guò)板書(shū)或者多媒體的形式給學(xué)生展示以下圖形，結(jié)合直觀圖形去解釋一次函數(shù)中的數(shù)量關(guān)系（如圖1所示）。

有了這樣的圖形作支撐，教師就能輕松給學(xué)生講解一次函數(shù)的知識(shí)。在教學(xué)實(shí)踐中，教師將主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生闡述自己從這些圖形中獲得的信息。

學(xué)生1：我發(fā)現(xiàn)a的正負(fù)決定了直線的傾斜方向。

學(xué)生2：我發(fā)現(xiàn)a的大小決定了直線的傾斜程度。

學(xué)生3：我發(fā)現(xiàn)b的正負(fù)決定了直線與y軸交點(diǎn)的位置。

……

原本抽象且復(fù)雜的一次函數(shù)知識(shí)，經(jīng)過(guò)圖形直觀化處理后，學(xué)生輕松理解，不僅知道了一次函數(shù)是什么，對(duì)一次函數(shù)的性質(zhì)也有了深刻、全面的認(rèn)識(shí)。

2.以數(shù)解形

顧名思義，“以數(shù)解形”是指通過(guò)數(shù)量關(guān)系解析圖形內(nèi)容，是“以形促數(shù)”的對(duì)立面，通常運(yùn)用在對(duì)復(fù)雜圖形的認(rèn)知與解析上。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)講解復(fù)雜的圖形或者當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到復(fù)雜的圖形時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用定量計(jì)算的方式處理，巧妙地論述題型中所隱藏的條件，以此計(jì)算圖中相關(guān)內(nèi)容。

通常來(lái)說(shuō)，在幾何圖形解析中，教師可以嘗試運(yùn)用“以形促數(shù)”思想。如圖2所示，圖形是由四個(gè)全等的長(zhǎng)方形構(gòu)成，中間空白區(qū)域利用已知條件列出等式。

圖2 幾何圖形例題圖

已知圖2中的四個(gè)長(zhǎng)方形全等，所以中間區(qū)域是邊長(zhǎng)相等的正方形，可以用數(shù)量關(guān)系表示該正方形的邊長(zhǎng)為a-b。由正方形面積公式可知，該圖形的中間面積是（a-b）2。再?gòu)牧硪粋€(gè)視角解析這其中的數(shù)量關(guān)系，整個(gè)大的圖形是邊長(zhǎng)為a+b的正方形，其面積是（a+b）2，而中間區(qū)域的小正方形面積是大正方形面積減去四個(gè)全等長(zhǎng)方形，即（a+b）2-4ab。這樣就可以得到恒等式（ab）2＝（a+b）2-4ab。

（二）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用途徑

1.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想講解基礎(chǔ)知識(shí)，加深學(xué)生的理解與記憶

基礎(chǔ)性知識(shí)尤為重要，只有當(dāng)學(xué)生對(duì)這些數(shù)學(xué)概念、公式、規(guī)律、定理等知識(shí)形成深入、全面的認(rèn)識(shí)時(shí)，才能奠定牢固的基礎(chǔ)。而巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以解決學(xué)生學(xué)習(xí)難、理解不透徹等問(wèn)題。換言之，教師在講解數(shù)學(xué)概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，若能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)其直觀化處理，可以化難為易，將晦澀難懂的知識(shí)變得通俗易懂，還能加深學(xué)生的理解與記憶。

例如，很多學(xué)生不理解“絕對(duì)值”的概念，所以在做題時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)。如面對(duì)“求a（a＜0）的絕對(duì)值”這道題時(shí)，很多學(xué)生直接得出答案“a”。為了讓學(xué)生充分理解，教師可以利用數(shù)軸去講解（如圖3所示）。

圖3 數(shù)軸

通過(guò)數(shù)軸的直觀呈現(xiàn)，學(xué)生深刻地理解絕對(duì)值表示的是數(shù)軸上某個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。數(shù)軸上原點(diǎn)右邊1.5的點(diǎn)到原點(diǎn)距離是1.5，原點(diǎn)左邊-1.5的點(diǎn)到原點(diǎn)距離也是1.5。同樣，原點(diǎn)右邊4的點(diǎn)到原點(diǎn)距離是4，原點(diǎn)左邊-4的點(diǎn)到原點(diǎn)距離也是4，即絕對(duì)值不會(huì)是負(fù)數(shù)，而是一個(gè)正數(shù)。清楚地理解并掌握絕對(duì)值概念后，學(xué)生在面對(duì)“求a（a＜0）的絕對(duì)值”這道題時(shí)就能輕松地得到答案“｜a｜＝-a”。

2.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想優(yōu)化解題方法，提升學(xué)生問(wèn)題解決能力

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題教學(xué)是核心內(nèi)容，占據(jù)重要位置，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)所在。尤其在面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，很多學(xué)生往往束手無(wú)策，不知道從哪里著手。教師可以滲透數(shù)形結(jié)合思想，這不僅可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)解當(dāng)前的數(shù)學(xué)問(wèn)題，更重要的是，學(xué)生可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想學(xué)會(huì)解決這一類(lèi)題。

例如，初中數(shù)學(xué)的“最值”問(wèn)題讓很多學(xué)生在處理時(shí)束手無(wú)策，很多學(xué)生缺乏科學(xué)、有效的方法，不僅解題效率低，而且解題正確率也非常低。為了提升學(xué)生解決這類(lèi)題的能力，教師可以滲透數(shù)形結(jié)合思想。如這樣一道題：已知x+y＝6，x、y均大于0，問(wèn)的最小值。很多學(xué)生面對(duì)這道題時(shí)往往找不到突破口，若是按部就班地用代數(shù)方法求解，不僅煩瑣復(fù)雜而且正確率低。這種情況下，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，將抽象的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形象的幾何問(wèn)題。通過(guò)勾股定理，可以將看成兩個(gè)直角三角形的斜邊，而且這兩個(gè)直角三角形在一條線上，如圖4所示。

圖4 根據(jù)勾股定理繪制的直角三角形

通過(guò)圖形可以直觀看出，只要求出大三角形MPQ的斜邊，這個(gè)代數(shù)問(wèn)題就能迎刃而解。而根據(jù)勾股定理可以輕易得到。由此可見(jiàn)，原本復(fù)雜難解的問(wèn)題經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化后變成難度系數(shù)較小的求勾股定理斜邊問(wèn)題，教師在解題時(shí)應(yīng)給學(xué)生強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想的力量并養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方式解題的良好習(xí)慣。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想可以讓學(xué)生更加直觀、清晰地了解并掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，從而減少學(xué)生在數(shù)學(xué)理解與認(rèn)知上的困難。同時(shí)，合理地滲透數(shù)學(xué)思想方法可以拓寬學(xué)生思維空間，在提升學(xué)生解題能力的同時(shí)使其養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)在基礎(chǔ)知識(shí)講解、數(shù)學(xué)問(wèn)題講解這兩個(gè)主要環(huán)節(jié)中有效滲透“以形促數(shù)”與“以數(shù)解形”思想，切實(shí)有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，同時(shí)達(dá)到減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)的目的，貫徹落實(shí)“雙減”政策。