賈吉帥，周建星，曾群鋒，李高鎧，王宏偉，張榮華

(1.新疆大學機械工程學院，新疆烏魯木齊 830047；2.西安交通大學現(xiàn)代設(shè)計及轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)教育部重點實驗室，陜西西安 710049)

0 前言

RV(Rotate Vector)減速器由一級漸開線行星輪傳動和二級擺線行星輪傳動組成，因具有傳動效率高、抗沖擊能力強、壽命長、傳動精度高和回差小等優(yōu)點，而被廣泛應用于精密回轉(zhuǎn)機構(gòu)中。傳動精度一直以來都是RV減速器的技術(shù)核心和研究重點，減速器傳動精度會直接影響裝備的運行精度和工作表現(xiàn)，而系統(tǒng)中各構(gòu)件受載變形是產(chǎn)生傳動誤差的主要原因之一，因此將接觸和支承彈性變形這樣的柔性因素對傳動誤差的影響量化研究對減速器的設(shè)計和優(yōu)化具有重要工程意義。

目前，國內(nèi)外學者針對RV減速器傳動精度進行了一系列研究。研究主要集中于靜態(tài)傳動精度研究和動態(tài)傳動特性研究。靜態(tài)層面的研究主要通過幾何法[1-2]，如何衛(wèi)東等[3]以傳動精度、回差、扭轉(zhuǎn)剛度、傳動效率和承載能力作為約束條件，提出了機器人用RV減速器中擺線齒輪的修形方案。關(guān)天民等[4-5]將承載能力作為目標函數(shù)，得到了重載擺線齒輪輪齒修形量的優(yōu)化方案。隨后LIN等[6]基于齒面接觸定量分析了不同修形組合引起的傳動誤差。REN等[7]通過調(diào)整擺線齒廓上5個關(guān)鍵點的位置來設(shè)計修形間隙曲線的修形方法，用以提高擺線針輪傳動的承載能力和傳動精度。這些學者在靜態(tài)幾何層面探究了擺線齒輪齒形因素對減速器靜態(tài)傳動精度的影響。動態(tài)傳動精度方面，韓林山等[8-9]推導并驗證了涵蓋齒形誤差、裝配誤差和裝配間隙的減速器非線性運動微分方程，并進行了傳動誤差對裝配誤差的靈敏度分析。在此基礎(chǔ)之上XU等[10-11]提出了一種軸承-擺線針輪傳動的廣義動力學模型，在考慮擺線齒輪副間隙和徑向間隙的情況下，分析了該傳動機構(gòu)的特性和動態(tài)接觸響應。這些研究考慮了減速器中復雜的幾何結(jié)構(gòu)關(guān)系，在動態(tài)層面對減速器的傳動精度進行了較深入的研究。RV傳動系統(tǒng)中的振動特性、動應力及扭轉(zhuǎn)剛度是傳動精度的重要影響因素，對此也開展了大量研究[12-13]。王輝等人[14]分析了擺線齒輪多齒嚙合的動態(tài)過程和齒面接觸應力的分布規(guī)律。吳素珍等[15]結(jié)合有限元分析技術(shù)，得到了減速器曲拐軸承各滾針的應力狀態(tài)。楊玉虎等[16]通過有限元分析了RV減速器扭轉(zhuǎn)剛度特性，得出軸承剛度是影響整機扭轉(zhuǎn)剛度變化的主要因素。這些研究從根源處揭示減速器動態(tài)傳動誤差的成因，擴展了RV減速器分析的維度，但是關(guān)于接觸和各支承處彈性變形對減速器傳動誤差的影響沒有橫向展開，進行量化對比分析。

綜上所述，RV減速器的幾何結(jié)構(gòu)和運動關(guān)系非常復雜，分析難度較高。以往學者對該類型減速器的誤差影響因素的研究大多集中于齒形、裝配和制造誤差對傳動精度的影響以及零部件強度、剛度的有限元分析，關(guān)于支承及齒輪接觸變形對減速器傳動精度影響的深入分析未見文獻報道。鑒于此，本文作者建立計入支承柔性和Hertz接觸剛度的BX40E減速器線性動力學模型，提取減速器齒輪的動載荷、輸出轉(zhuǎn)速和動態(tài)傳動誤差信號，討論負載轉(zhuǎn)矩、輸入轉(zhuǎn)速與上述物理量的關(guān)系，分析齒輪接觸和支承處彈性變形對轉(zhuǎn)動誤差的貢獻，最后量化評價柔性支承及接觸剛度對傳動精度影響的靈敏度。

1 傳動誤差研究方法

RV減速器輪齒接觸變形和軸孔支承處彈性變形是傳動誤差產(chǎn)生的根源之一。本文作者在以往學者研究的基礎(chǔ)之上，探究了減速器內(nèi)各處支承柔性以及輪齒接觸剛度對減速器傳動精度的影響，研究流程可分為3個模塊，即動力學建模模塊、誤差貢獻量分析模塊和動態(tài)傳動誤差靈敏度分析模塊，如圖1所示。

圖1 動態(tài)傳動誤差影響流程

首先，對減速器進行幾何建模和動力學建模，在此過程中，為考慮接觸和支承處彈性變形對傳動誤差的影響，采用Palmgren公式和Hertz接觸理論確定系統(tǒng)的支承剛度和接觸剛度。然后，通過該模型提取齒輪動載荷、動態(tài)傳動誤差和輸出轉(zhuǎn)速信號，統(tǒng)計分析輸入輸出信號對應關(guān)系，通過對比已有文獻結(jié)論，驗證動力學模型的合理性。繼而分析一、二級齒輪接觸變形及支承柔性變形對傳動誤差的貢獻量。最后，使用有限差分法計算BX40E減速器動態(tài)傳動誤差對各柔性因素的靈敏度，并對結(jié)果進行比較分析。

2 RV傳動系統(tǒng)動力學建模

2.1 RV傳動系統(tǒng)參數(shù)

以BX40E減速器為研究對象，其結(jié)構(gòu)簡圖與幾何模型如圖2所示，各齒輪基本參數(shù)如表1所示。

圖2 BX40E結(jié)構(gòu)簡圖與幾何模型Fig.2 Diagram and geometric model of BX40E reducer

表1 減速器齒輪基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of the gear system

減速器包含漸開線行星齒輪傳動機構(gòu)I、擺線針輪行星傳動機構(gòu)II及行星架輸出機構(gòu)Ⅲ。減速器工作時，運動從太陽輪輸入，通過嚙合傳至行星齒輪，進行一級減速。太陽輪順時針方向旋轉(zhuǎn)，行星輪及曲柄軸整體在公轉(zhuǎn)的同時逆時針自轉(zhuǎn)，自轉(zhuǎn)運動又帶動擺線齒輪作偏心運動，針齒與擺線齒輪嚙合使它圍繞針輪軸線公轉(zhuǎn)的同時并順時針方向自轉(zhuǎn)，自轉(zhuǎn)最終通過曲柄軸傳遞至行星架輸出機構(gòu)，完成輸出。

2.2 坐標與模型參數(shù)設(shè)置

文中建立了計入支承和嚙合處彈性變形的RV傳動系統(tǒng)平移-扭轉(zhuǎn)耦合多自由度線性動力學模型，如圖3所示。

圖3 RV減速器動力學模型Fig.3 Dynamic model of RV reducer

模型構(gòu)建時取針齒圈中心O為原點，水平方向為X，豎直方向為Y建立全局坐標系。定義擺線齒輪的理論質(zhì)心Oc為原點，以擺線輪的偏心方向為ηcj軸，沿其公轉(zhuǎn)角方向轉(zhuǎn)動90°為ξcj軸，建立擺線齒輪的局部動坐標系。使擺線齒輪在起始位置處時局部動坐標與全局坐標方向一致，e為擺線齒輪的偏心距，Rb為擺線齒輪節(jié)圓半徑，Ra為太陽輪與行星輪的中心距。定義Φi=2π(i-1)/2 (i=1,2)為行星架上曲柄軸孔的相對位置，定義Ψj=(j-1)π(j=1,2)表示擺線齒輪理論質(zhì)心Oc的相對位置。

圖3中，ks和kpi分別表示太陽輪軸的支承剛度和第i(i=1,2)個行星輪軸的支承剛度，通過懸臂梁受力時的撓曲變形量來確定；kbi、kca和kpicj分別為曲柄軸與行星架輸出盤軸孔間的支承剛度系數(shù)、行星架輸出盤與針齒殼間的支承剛度系數(shù)和第i(i=1,2)個曲柄軸與第j(j=1,2)個擺線輪軸孔間的支承剛度系數(shù)。剛度系數(shù)通過Palmgren公式來確定[8]，如下式所示：

(1)

(2)

式中：Ei、υi分別為接觸材料的彈性模量和泊松比；l為兩彈性體接觸線長度；F為接觸彈性體的載荷。

圖3中，kspi代表太陽輪與第i個行星輪的接觸剛度，krcj為第j個擺線齒輪與針齒圈間的接觸剛度，輪齒接觸采用Hertz接觸模型，如圖4所示。

圖4 擺線齒輪嚙合接觸模型Fig.4 Meshing contact model of cycloid gear

由圖4可以看出：齒輪的嚙合過程可以等效為兩質(zhì)體的相互接觸，考慮材料阻尼，廣義的Hertz接觸力可以表示為

(3)

(4)

(5)

式中：r1、r2分別為兩相接觸體的曲率半徑；Ei、υi分別為接觸材料的彈性模量和泊松比。

2.3 RV減速器系統(tǒng)動力學模型

根據(jù)胡克定律，支承處的作用力可表示為支承剛度與位移的乘積。令太陽輪在支承處的微位移為xs、ys和θs，則太陽輪的支承作用力可表示為

Fsx=ksxs

(6)

Fsy=ksys

(7)

令行星輪軸的3個微位移分別為xpi、ypi和θpi-θp,擺線齒輪的3個微位移分別為ηdj、θdj-θc和θOj-θp,則擺線輪對曲柄軸的支承作用力可表示為

Fjix=kpicj(xpi+scjix

(8)

Fjiy=kpicj(ypi+scjiy

(9)

其中:scjix和scjiy為擺線齒輪在支承處的微位移，其表達式為

scjix=Ra(θdj-θcsin(θc+Φi-ηdjsin(θp+Ψj

(10)

scjiy=-Ra(θdj-θccos(θc+Φi+

ηdjcos(θp+Ψj

(11)

令行星架的3個微位移分別為xca、yca和θca-θc，行星架對曲柄軸間的支撐作用力可表示為

Fcaix=kbi(sbix+xpi

(12)

Fcaiy=kbi(sbiy+ypi

(13)

其中:sbix和sbiy分別為行星架輸出盤在支承處x、y方向上的微位移，其表達式為

sbix=-xca+Ra(θca-θcsin(θc+Φi

(14)

sbiy=-yca-Ra(θca-θccos(θc+Φi

(15)

行星架對針齒殼間的支撐作用力可表示為

Fcax=kcaxca

(16)

Fcay=kcayca

(17)

齒輪之間的嚙合作用力的值可以表示為輪齒接觸剛度與齒輪在嚙合線方向上位移的乘積。所以太陽輪與行星輪的嚙合作用力可表示為

Fspi=kspi(ss+spi

(18)

其中：ss和spi分別為太陽輪和行星輪在嚙合線上產(chǎn)生的微位移，可表示為

ss=xscosα+yssinα

(19)

spi=-xpicosα-ypisinα-rp(θpi-θp

(20)

擺線齒輪與針齒的嚙合作用力可表示為

Fjk=kcjrkscjrk

(21)

其中：scjrk代表擺線齒輪與針齒在嚙合線上的微位移，其表達式為

scjrk=ηdjcosαjk-Rb(θdj-θcsinαjk

(22)

結(jié)合上述運動部件的受力分析、根據(jù)牛頓力學理論，建立第二級擺線齒輪傳動的運動微分方程如式(23)[8]所示：

(23)

式中：ms、mp、mc和mca分別為太陽輪、行星輪、擺線齒輪和行星架輸出盤的質(zhì)量；Js、Jp、Jc和Jca分別為太陽輪、行星輪、擺線齒輪和行星架輸出盤的轉(zhuǎn)動慣量；rs和rp分別為太陽輪和行星輪的基圓半徑；α和αjk分別為第一、二級齒輪傳動的壓力角；ωp和ωc分別為行星架的理論角速度；Tout為負載扭矩。

將減速器的運動微分方程整理為矩陣形如下:

(24)

式中：M和C分別表示減速器系統(tǒng)的質(zhì)量總裝矩陣、阻尼總裝矩陣；Km為嚙合接觸剛度矩陣；Kb為支撐剛度矩陣；Tout為負載矩陣；X為系統(tǒng)各構(gòu)件的位移向量，其表達式為

3 計算結(jié)果分析

3.1 系統(tǒng)的動載荷

輸入轉(zhuǎn)速300 r/min，負載400 N·m工況下，計算得到一、二級齒輪傳動嚙合力動載荷時頻域歷程如圖5、圖6所示。

圖5 一級齒輪嚙合力動載荷時域(a)、頻域(b)圖像

圖6 二級齒輪嚙合力動載荷時域(a)、頻域(b)圖像

由圖5可看到：漸開線齒輪傳動中，齒輪嚙合狀態(tài)單雙齒交替，嚙合剛度周期性變化，導致兩級齒輪嚙合力動載荷周期性變化。第一級動載荷的周期為0.013 0 s，均值為222.46 N；在頻域歷程中系統(tǒng)的響應以一級齒輪的嚙合頻率fm1及其倍頻成分為主。由圖6可以看出：第二級齒輪動載荷周期T為0.009 0 s，均值為4 052.66 N。由于第二級傳動處于多齒嚙合狀態(tài)，輪齒嚙合過渡過程比較平緩，動載荷較小，故在二級傳動的動載荷中有一級傳動的頻率成分。頻譜中的高頻成分中以二級擺線齒輪的嚙合頻率fm2及其倍頻成分為主。

3.2 系統(tǒng)的動態(tài)傳動精度

文中采用動態(tài)傳動誤差評價各工況下減速器模型的動態(tài)傳動精度。動態(tài)傳動誤差θerr(t)可表示為

(25)

式中:θout(t)為瞬時輸出轉(zhuǎn)角；θin(t)為瞬時輸入轉(zhuǎn)角；I為傳動比。

減速器動態(tài)傳動誤差θerr(t)的絕對值越大，傳動精度越差，反之則越好。減速器動態(tài)傳動誤差和輸出軸轉(zhuǎn)速的時頻域歷程如圖7、圖8所示。

圖7 動態(tài)傳動誤差時域(a)、頻域(b)圖像

圖8 輸出軸轉(zhuǎn)速時域(a)、頻域(b)圖像

由于兩級齒輪的嚙合剛度具有時變性，減速器動態(tài)傳動誤差值相應周期性變化。由圖7可得：誤差均值為0.654′，幅值為0.012′。在頻域歷程中，系統(tǒng)響應以一、二級齒輪的嚙合頻率fm1、fm2以及各自倍頻成分為主。

由圖8可得：減速器輸出轉(zhuǎn)速均值為-22.2 °/s；在頻域歷程中，系統(tǒng)響應以一、二級齒輪的嚙合頻率fm1和fm2以及其倍頻成分為主。

從以上對減速器輸出信號的時頻域分析還可以看出：在計入支承和嚙合彈性變形的情況下，減速器動力學模型的輸出信號與理論計算一致，反映了真實減速器產(chǎn)品的動力學響應特性。

3.3 負載對動態(tài)傳動精度的影響

為探究減速器動態(tài)傳動精度與負載之間的關(guān)系，將負載作為輸入變量進行求解，結(jié)果如圖9所示。

圖9 負載對嚙合力動載荷和傳動誤差的影響

隨著負載增加，支承和接觸處彈性變形量也隨之升高，導致輸出轉(zhuǎn)角誤差呈現(xiàn)增長趨勢。由圖9可以看出：隨著負載增大，減速器的一、二級齒輪動載荷幅值和動態(tài)傳動誤差呈現(xiàn)增長趨勢，這一趨勢與文獻[17]中的實驗測試結(jié)果吻合。

為探究各級傳動接觸及支承變形對減速器動態(tài)傳動誤差貢獻量隨負載變化的關(guān)系，定義誤差貢獻比率CI、CII和Cflex分別為第一級、第二級齒輪接觸變形和支承彈性變形對輸出轉(zhuǎn)角誤差的貢獻比例，其中：

(26)

(27)

(28)

式中：θe1、θe2和θeflex分別為第一級齒輪接觸、第二級齒輪接觸和支承柔性引起的輸出誤差轉(zhuǎn)角。各柔性因素對動態(tài)傳動誤差的貢獻比例及輸出轉(zhuǎn)速幅值隨負載變化關(guān)系如圖10所示?？梢钥闯觯簝杉夶X輪動載荷幅值隨著負載增加，輸出軸轉(zhuǎn)速幅值也隨負載增加而增加?？梢婋S著負載增大，輸出轉(zhuǎn)速的平穩(wěn)性也越來越差。在誤差貢獻方面，一級齒輪由于處于高速級，同時動載荷均值較小，導致第一級傳動對輸出轉(zhuǎn)角誤差貢獻較小，不到5%；支承柔性因素所帶來的轉(zhuǎn)角誤差量相對較高，占誤差總量的30%左右，并且隨著負載增大該比例呈現(xiàn)上升趨勢；二級傳動對輸出轉(zhuǎn)角誤差的貢獻量最大，占總誤差量的60%以上，這是因為二級齒輪的動載荷均值非常大，同時二級擺線齒輪的自轉(zhuǎn)與輸出軸同步，導致輸出轉(zhuǎn)角誤差對該級傳動的接觸彈性變形更敏感。

圖10 負載對輸出轉(zhuǎn)速波動和動態(tài)傳動誤差成分的影響

3.4 轉(zhuǎn)速對動態(tài)傳動精度的影響

為探究減速器動態(tài)傳動誤差與轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系，將轉(zhuǎn)速作為輸入變量進行解算，結(jié)果如圖11所示。

圖11 轉(zhuǎn)速對嚙合力動載荷和傳動誤差的影響

從圖11中可得：由于第二級擺線齒輪轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)速相對較低，且有半數(shù)輪齒同時參與嚙合，嚙合過程平穩(wěn)，所以二級嚙合力動載荷波動幅值隨轉(zhuǎn)速變化幅度也非常小，在38.75 N附近變化。第一級齒輪轉(zhuǎn)速較高，嚙合齒數(shù)少，所以齒輪傳動的動載荷隨轉(zhuǎn)速增長的幅度比較大，傳動誤差始終在0.648′附近，可見輸入轉(zhuǎn)速對減速器傳動誤差影響不大，這一規(guī)律與文獻[17]中的實驗測試結(jié)果趨勢大致相同。

圖12展示了各級傳動及支承柔性對動態(tài)傳動誤差的貢獻量及輸出轉(zhuǎn)速幅值隨輸入轉(zhuǎn)速變化的關(guān)系曲線。結(jié)合圖11可以看出：隨著輸入轉(zhuǎn)速的提高，一級齒輪傳動動載荷幅值增大，進而導致輸出軸轉(zhuǎn)速幅值也隨之增大。隨著轉(zhuǎn)速增大，減速器的傳動平穩(wěn)性也變差。誤差貢獻方面，在變轉(zhuǎn)速條件下，各級齒輪嚙合處及支承處的彈性變形量變化不大，一級傳動的誤差貢獻量穩(wěn)定在3%；二級傳動誤差貢獻穩(wěn)定在64%；支承柔性的誤差貢獻為33%左右；總傳動誤差穩(wěn)定在0.65′處。可見輸入轉(zhuǎn)速對傳動誤差影響并不明顯。

圖12 輸入轉(zhuǎn)速對轉(zhuǎn)速波動和動態(tài)傳動誤差成分的影響

3.5 靈敏度分析

靈敏度分析是判定模型輸出信號受輸入信號變化的影響程度的一種分析方法，可以用來診斷研究結(jié)果的正確性并可以預測研究結(jié)果，因此各領(lǐng)域常使用該方法分析研究對象。文中采用有限差分法計算BX40E減速器各處柔性因素對減速器動態(tài)傳動誤差影響的局部靈敏度。取Δk為系統(tǒng)剛度變量的一個微小變量，它對傳動誤差影響的靈敏度SEi計算如下式所示：

(29)

式中：ki為各柔性因素處剛度的理論值；e(ki)為柔性處剛度為ki時減速器的動態(tài)傳動誤差。

減速器傳動精度對減速器各柔性因素的靈敏度如表2所示。

從傳動誤差對支承柔性靈敏度分析結(jié)果中可得：傳動誤差對“擺線齒輪-曲拐”支承和對“行星架-曲柄軸”支承處支承柔性靈敏度較高，敏感度值分別為0.054 2和0.036 2，傳動誤差對單一支承柔性處的靈敏度也在這兩類支承處達到最大值，分別為0.012 1和0.018 1。表明這兩處的支承柔性變化對減速器輸出轉(zhuǎn)角誤差影響較大。因此在對減速器優(yōu)化設(shè)計時，應結(jié)合軸承支承剛度Palmgren公式優(yōu)先考慮提高這兩類支承處的支承剛度。傳動誤差對太陽輪和對主軸承支承的敏感度非常小，僅為0.000 1。由于同在一級傳動中，行星輪支承處的支承剛度靈敏度也很小，靈敏度值為0.000 3，這表明以上支承剛度變化對減速器輸出轉(zhuǎn)角誤差的影響不大。

表2 動態(tài)傳動誤差對各柔性因素的靈敏度

在傳動精度對齒輪接觸剛度的靈敏性方面，由于漸開線行星輪傳動和擺線齒輪傳動分別位于RV減速器的第一、二級，一級齒輪輪齒變形造成的轉(zhuǎn)角誤差傳遞至輸出軸時，會減小到1/i(i為減速器傳動比)，所以漸開線齒輪接觸剛度對傳動誤差的影響相較擺線齒輪傳動級而言要小很多。由表2所示傳動誤差對接觸剛度靈敏度分析可得：一、二級漸開線齒輪嚙合柔性關(guān)于傳動誤差的靈敏度值分別為0.006 2和0.144 6。這表明第二級齒輪嚙合的接觸剛度對減速器輸出轉(zhuǎn)角誤差影響較大，因此在對該類型減速器產(chǎn)品優(yōu)化設(shè)計時，應結(jié)合Hertz接觸剛度原理優(yōu)先考慮提高第二級齒輪副的接觸剛度。

4 結(jié)論

文中建立了計入齒輪接觸變形和支承柔性變形的減速器線性動力學模型，探究了各處變形對減速器傳動誤差的貢獻量，計算分析了減速器傳動誤差對各處支承剛度及各級齒輪接觸剛度的靈敏度，得出以下結(jié)論：

(1)計入支承柔性及齒輪接觸后，動力學模型的輸出信號顯示：齒輪嚙合力動載荷波動幅值隨負載增加而增加；傳動誤差隨負載增加而增加，受輸入轉(zhuǎn)速影響不大；輸出轉(zhuǎn)速平穩(wěn)性隨負載和轉(zhuǎn)速增加而下降。

(2)在傳動誤差貢獻的分析中，擺線齒輪級的接觸變形對動態(tài)傳動誤差的貢獻量高于60%，柔性支承對動態(tài)傳動誤差貢獻量為30%左右，且貢獻比例隨負載增加而增大，因此不容忽視，一級齒輪接觸變形對傳動誤差貢獻最小。

(3)減速器結(jié)構(gòu)的復雜性導致傳動誤差對各零件部柔性的敏感度各不相同，支承柔性方面，傳動誤差對“擺線齒輪-曲拐”和對“行星架-曲柄軸”處支承剛度變化的靈敏度最高；齒輪接觸剛度方面，傳動誤差對第二級擺線齒輪傳動級的接觸剛度變化敏感度較高。