戴永彬

(遼寧工業(yè)大學(xué)軟件學(xué)院，遼寧錦州 121000)

0 前言

液壓伺服系統(tǒng)由于具有響應(yīng)快、位置跟蹤準(zhǔn)確等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用到工業(yè)生產(chǎn)的各個(gè)領(lǐng)域中。但是液壓伺服系統(tǒng)具有較強(qiáng)的非線性、時(shí)滯等特點(diǎn)，因此眾多學(xué)者提出了多種控制策略，獲得了較好的控制效果[1-3]。其中，預(yù)測控制是一種比較有效的控制方法。文獻(xiàn)[4]針對(duì)液壓伺服系統(tǒng)時(shí)變、模型不確定性等問題，采用預(yù)測函數(shù)控制算法設(shè)計(jì)了液壓振動(dòng)伺服控制器，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該控制器具有較強(qiáng)的魯棒性和抗擾能力。文獻(xiàn)[5]利用多目標(biāo)粒子群算法實(shí)現(xiàn)了非線性預(yù)測控制算法的滾動(dòng)優(yōu)化，并應(yīng)用到液壓伺服系統(tǒng)中，其算法負(fù)擔(dān)小、實(shí)時(shí)性好。文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了一種基于混合模型的液壓伺服控制器，外環(huán)采用傳統(tǒng)模型預(yù)測控制算法，內(nèi)環(huán)采用改進(jìn)的PID控制，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明其跟蹤精度高、波動(dòng)小。文獻(xiàn)[7]將模型預(yù)測控制算法和卡爾曼濾波以及二次優(yōu)化算法相結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種綜合控制器，提高重載機(jī)械手旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的位置控制精度。

常規(guī)的非線性預(yù)測控制實(shí)質(zhì)上是一種單目標(biāo)優(yōu)化的算法。只要保證目標(biāo)函數(shù)最小即可，但是不能保證目標(biāo)函數(shù)中每一項(xiàng)預(yù)測誤差同時(shí)最小，為此采用多目標(biāo)非線性預(yù)測控制算法可以提高算法的預(yù)測精度[8]。目前，非線性預(yù)測控制的求解主要采用多目標(biāo)粒子群算法，但多目標(biāo)粒子群在快速收斂時(shí)，很難兼顧種群粒子的多樣性[9-12]。為此，本文作者采用類圓映射[13]，將高維目標(biāo)空間的粒子映射到類圓二維平面并利用差熵指標(biāo)監(jiān)控種群進(jìn)化的狀態(tài)。在種群進(jìn)化的不同階段選擇相應(yīng)的全局最優(yōu)粒子，利用新的種群距離公式和面積支配管理外部檔案集。將改進(jìn)算法應(yīng)用于液壓伺服系統(tǒng)。

1 QCMPSO算法的改進(jìn)

1.1 種群進(jìn)化狀態(tài)的監(jiān)測機(jī)制

多目標(biāo)進(jìn)化算法在種群進(jìn)化過程中需要經(jīng)過探索、發(fā)掘或停滯等過程。當(dāng)確定高維算法的進(jìn)化狀態(tài)比較困難時(shí)，將高維目標(biāo)空間映射到二維平面是一個(gè)比較有效的方法。文中利用類圓映射將Pareto前沿映射到類圓二維平面，使用差熵指標(biāo)來監(jiān)控種群的變化。

1.1.1 類圓映射原理

類圓是平行坐標(biāo)映射中的一種方法[13]。類圓映射示意如圖1所示，該映射能避免數(shù)據(jù)遮擋并且保持原高維多目標(biāo)空間Pareto前沿形狀、位置關(guān)系以及支配關(guān)系，適用于高維目標(biāo)的種群狀態(tài)監(jiān)控。

圖1 類圓映射Fig.1 Quasi-circular mapping

映射過程如下：

首先，將待解集進(jìn)行規(guī)一化。公式如下：

(1)

其次，將多目標(biāo)均勻分布在單位圓C0圓周上，坐標(biāo)Vλ(i)公式如下：

(2)

最后，把歸一化后的解集個(gè)體映射到單位圓圓心o和Vλ(i)的連線上，且映射點(diǎn)到o的距離為

(3)

1.1.2 類圓扇塊的劃分

對(duì)于進(jìn)入檔案集的非支配解，可映射到類圓平面的扇區(qū)中，形成由若干同心圓和射線圍成的扇塊，具體如圖2中的虛線區(qū)域，其扇塊數(shù)為K×M個(gè)。類圓扇塊標(biāo)號(hào)為

(4)

這樣就將一個(gè)多維粒子作為一個(gè)向量映射到到類圓平面內(nèi)，每個(gè)粒子的某個(gè)分量都位于一個(gè)扇塊內(nèi)。

圖2 在類圓平面上劃分扇塊Fig.2 Sectors on quasi-circular flat

1.1.3 基于類圓的差熵

為了掌握種群進(jìn)化的情況，文中采用熵和差熵作為指標(biāo)衡量Pareto前沿的狀態(tài)，從而估計(jì)種群進(jìn)化所處的階段[10]。具體公式如下：

(5)

ΔE=E(t)-E(t-1)

(6)

其中:nkm(t)表示落在第k行第m列扇塊內(nèi)的坐標(biāo)分量的數(shù)量。

種群一般具有3種進(jìn)化狀態(tài)，如收斂、多樣化和停滯的狀態(tài)，可以使用2個(gè)閾值進(jìn)行判斷，閾值公式如下：

(7)

(8)

其中：當(dāng)前檔案集A的規(guī)模為Q。

為了判斷種群進(jìn)化不同的階段，可以使用上式的閾值公式，具體判定過程如下：

(1) 當(dāng)|ΔE|>α或A(t)≠A(t-1)，種群處于收斂狀態(tài)；

(2) 當(dāng)A=K且β<|ΔE|<α，種群處于多樣化狀態(tài)；

(3) 當(dāng)A=K且|ΔE|<β，種群處于停滯狀態(tài)。

1.2 檔案集的維護(hù)和全局最優(yōu)粒子的選擇

按照多目標(biāo)粒子群的優(yōu)化原理，檔案集維護(hù)和全局最優(yōu)粒子的選取對(duì)種群尋優(yōu)能力和解集的性能有著至關(guān)重要的影響。為了保證解集的收斂性和多樣性，文中根據(jù)種群進(jìn)化狀態(tài)自適應(yīng)調(diào)整檔案集的維護(hù)和全局最優(yōu)粒子的選擇策略。

1.2.1 收斂度指標(biāo)

為了評(píng)估種群的收斂程度，文中采用類圓支配的概念作為收斂程度的指標(biāo)。類圓支配的概念描述如下：

映射粒子各維的目標(biāo)函數(shù)值構(gòu)成一個(gè)多邊形(如圖1中的虛線構(gòu)成的圖形)，其面積越小，相對(duì)其他面積大的粒子占優(yōu)，因此可以利用粒子映射面積的大小衡量種群粒子的收斂情況。

1.2.2 扇塊距離

文中通過計(jì)算種群粒子每一維類圓扇區(qū)塊數(shù)量的差值，估計(jì)粒子的分布性。值越小說明分布性越好。具體公式如下：

(9)

(10)

1.2.3 檔案集的維護(hù)

目前大部分檔案集維護(hù)算法不考慮種群的進(jìn)化狀態(tài)而采用固定的策略進(jìn)行管理。文中根據(jù)種群進(jìn)化狀態(tài)，自適應(yīng)選擇管理策略，對(duì)檔案集多余粒子進(jìn)行剪裁。首先，對(duì)粒子映射面積S和扇塊距離Di升序分別排序。其次，當(dāng)種群處于收斂狀態(tài)時(shí)，按照S、Di次序依次排列粒子；當(dāng)種群處于多樣性狀態(tài)時(shí)，按照Di、S次序依次排列粒子。排序后，根據(jù)檔案集規(guī)模刪除排序靠后的多余粒子。

1.2.4 全局最優(yōu)粒子的選擇

為了更加準(zhǔn)確地選擇全局最優(yōu)粒子，在種群進(jìn)化的不同階段選取不同性質(zhì)的最優(yōu)粒子。具體公式如下：

gBest(t+1=

(11)

其中：gBest(t+1)為全局最優(yōu)粒子；dgBest(t+1)為提升多樣性的全局最優(yōu)粒子；cgBest(t+1)為改善收斂能力的全局最優(yōu)粒子。

對(duì)于cgBest(t+1)，可按照公式(12)選擇：

cgBest(t+1)=argmin(Di)

(12)

對(duì)于dgBest(t+1)，可按照公式(13)選擇：

dgBest(t+1)=argmin(Si)

(13)

1.3 改進(jìn)算法的驗(yàn)證與分析

選用ZDT和DTLZ系列中典型函數(shù)進(jìn)行測試。對(duì)比算法為NSGA2[14]、SPEA2[15]、MPSO-D[16]，并分別對(duì)2～5個(gè)目標(biāo)檢測算法的性能。MATLAB仿真參數(shù)設(shè)置：種群和檔案集的規(guī)模設(shè)置為100，最大迭代數(shù)為1 000，進(jìn)化算法的變異和交叉的概率分別為0.9、0.1。其他仿真參數(shù)詳見文獻(xiàn)[14-16]，仿真結(jié)果如表1和表2所示。

表1 對(duì)比算法的仿真圖Tab.1 Simulation charts of comparing methods

表2 測試結(jié)果Tab.2 Test result

(1)評(píng)價(jià)方法

文中采用世代距離(Generational Distance, GD)、分散性指標(biāo)(Spread, SP)分別檢驗(yàn)對(duì)比算法所獲解集的收斂性和多樣性，2個(gè)指標(biāo)值越小說明性能越好。

(2) 驗(yàn)證與分析

通過仿真可知，ZDT函數(shù)測試的結(jié)果較為接近，都能靠近Pareto曲線且粒子分布比較均勻。這是由于在二維平面上粒子之間的支配關(guān)系清晰，計(jì)算負(fù)擔(dān)較小。文中算法和SPEA2表現(xiàn)較為優(yōu)異。DTLZ函數(shù)主要測試了算法的多目標(biāo)情況，文中算法在分布性和收斂性上表現(xiàn)最優(yōu)， SPEA2 分布性較好，主要是因?yàn)椴捎昧嗣芏戎笜?biāo)衡量粒子的多樣性，在高維空間比較有效。

2 基于QCMPSO-NPC液壓伺服系統(tǒng)

2.1 液壓伺服系統(tǒng)的模型

液壓控伺服系統(tǒng)的狀態(tài)方程[17]為

(14)

y=[0 0 1]x

(15)

式中：m為負(fù)載質(zhì)量；Ap為液壓缸工作面積；Cp為活塞和負(fù)載的黏性阻尼系數(shù)；K為負(fù)載彈性剛度；Ct為液壓缸的泄漏系數(shù)；Bt為液壓缸的阻尼比；Kv為功率放大器或伺服閥系數(shù)；F為系統(tǒng)干擾；其他參數(shù)詳見文獻(xiàn)[17]。

將上述模型處理后，針對(duì)廣義預(yù)測控制算法(GPC)、PSO-NPC算法和QCMPSO-NPC算法分別設(shè)計(jì)液壓伺服系統(tǒng)控制器，追蹤幅值為1的方波信號(hào)。主要仿真參數(shù)設(shè)置為：m=150 kg，Bt=0.081×10-11，Ap=0.012 m2，Kv=0.001，Ct=2.6×10-10，K=72；粒子種群和檔案集規(guī)模為50，c1=c2=2，w=0.5，優(yōu)化迭代次數(shù)設(shè)為100，預(yù)測時(shí)域步數(shù)為5，控制域步數(shù)為3。

2.2 液壓伺服系統(tǒng)的仿真與分析

文中利用多屬性決策方法進(jìn)行決策，選擇非劣解集中的最優(yōu)解[18]。仿真結(jié)果如圖3—圖5所示。

圖3 廣義預(yù)測的位置輸出(a)及誤差(b)Fig.3 Output(a) and errors(b) of GPC

圖4 常規(guī)PSO-NPC位置輸出(a)和誤差(b)Fig.4 Output(a) and errors(b) of conventional PSO-NPC

由圖3可知：GPC的輸出在初始階段震蕩劇烈，位置最追蹤誤差較大，在運(yùn)行1或2個(gè)周期后趨于穩(wěn)定，其算法的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性比較差。GPC雖然可以克服模型失配、時(shí)滯等問題，但是需要對(duì)液壓伺服系統(tǒng)模型線性化，由此產(chǎn)生的誤差較大，無法實(shí)現(xiàn)精確控制。由圖4可知：PSO-NPC算法控制效果優(yōu)于GPC算法，主要表現(xiàn)為超調(diào)較小、響應(yīng)快、位置追蹤準(zhǔn)確，但是輸出曲線會(huì)偶發(fā)震動(dòng)，誤差曲線隨之波動(dòng)。這是由于PSO-NPC算法是一種單目標(biāo)優(yōu)化算法，不能保證預(yù)測誤差都為最小，因此會(huì)造成輸出曲線偶發(fā)波動(dòng)。文中提出的QCMPSO-NPC算法保證了解集的收斂性和多樣性，因此輸出響應(yīng)最快，誤差最小，位置跟蹤性能優(yōu)于以上2種算法，如圖5所示。

圖5 QCMPSO-NPC位置輸出(a)和誤差(b)Fig.5 Output(a) and errors(b) of QCMPSO-NPC

實(shí)際上，對(duì)于PSO-NPC算法，提高仿真迭代次數(shù)或粒子種群規(guī)模也可以提高液壓伺服系統(tǒng)的輸出性能。如將仿真迭代次數(shù)提高到200次后，系統(tǒng)輸出曲線已接近設(shè)定曲線，誤差較小。但提高迭代次數(shù)或種群規(guī)模會(huì)使系統(tǒng)的計(jì)算負(fù)擔(dān)成幾何級(jí)數(shù)增加，嚴(yán)重影響系統(tǒng)響應(yīng)的實(shí)時(shí)性。

綜上所述，文中提出QCMPSO-NPC算法具有較高的控制精度，適合于液壓伺服系統(tǒng)的控制。

3 結(jié)論

為了解決液壓伺服系統(tǒng)時(shí)滯、非線性等問題，文中將基于粒子群優(yōu)化的非線性預(yù)測控制進(jìn)行改進(jìn)并設(shè)計(jì)了液壓伺服系統(tǒng)控制器。為此，文中采用類圓映射技術(shù)將高維目標(biāo)映射為二維類圓平面，監(jiān)控種群進(jìn)化情況并自適應(yīng)選擇全局最優(yōu)粒子和檔案集管理策略，兼顧了解集的收斂性和分布性。通過仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了基于QCMPSO-NPC算法液壓伺服控制系統(tǒng)的有效性和可行性。