王金安，楊 柳，李 飛?

1) 北京科技大學土木與資源工程學院，北京 100083 2) 金屬礦山高校開采與安全教育部重點實驗室，北京 100083

散體介質(zhì)是指由大量性質(zhì)相似的、黏結(jié)性較弱或無粘結(jié)的固體顆粒組成的集合體，普遍存在于自然界中，尤其在礦山和巖土工程領(lǐng)域涉及甚廣[1-2].例如，爆破后的礦巖、放頂煤開采頂煤、排土場砂土和滑坡堆積體等.因此，在礦山和巖土工程中，散體介質(zhì)的力學行為和宏-細觀作用機制的研究顯得尤為重要[3-5].

散體介質(zhì)的力學研究理論和技術(shù)方法有很多，諸多學者的研究表明：散體介質(zhì)中由不均勻的鏈狀結(jié)構(gòu)（即力鏈）承擔大部分荷載傳遞[6-8].這些力鏈之間相互交錯，形成復雜、錯亂的力鏈網(wǎng)絡(luò).如何定量化描述力鏈網(wǎng)絡(luò)并發(fā)現(xiàn)合適的力鏈網(wǎng)絡(luò)特征量是當前散體介質(zhì)理論研究的重點[9-10].孫其誠等[1,11]從多尺度力學出發(fā)，以力鏈為橋梁，建立顆粒物質(zhì)宏-細-微觀多尺度結(jié)構(gòu)，將力鏈網(wǎng)絡(luò)視為半柔性網(wǎng)絡(luò)，采用力鏈網(wǎng)絡(luò)大小、力鏈長度、力鏈交點間距和力鏈半徑等四個指標描述力鏈網(wǎng)絡(luò)與土體力學性能的關(guān)聯(lián).杜克大學Behringer采用統(tǒng)計力學方法，對靜態(tài)顆粒體系的局部力、矢量力、力的分布等特征參數(shù)進行了統(tǒng)計分析，取得了豐碩的成果[10,12-13].Vallejo等[14]采用箱形法確定了試樣中力鏈的分形分布，證明力鏈強度的分形特性及其分布是導致顆粒材料在壓縮過程中形成分形碎片的主要原因.以上研究主要聚焦于散體介質(zhì)中的力鏈網(wǎng)絡(luò)理論分析，對于將工程材料的力鏈網(wǎng)絡(luò)特征量與演化過程相關(guān)聯(lián)，特別是宏細觀力學行為研究相對較少.

放頂煤開采是一種厚煤層開采工藝.開采過程中，頂煤經(jīng)歷了既有破壞—局部破壞—貫穿性破壞—破裂性破壞—運動性破壞五個階段，在回采工作面附近，頂煤處于破碎運動狀態(tài)，在宏觀上表現(xiàn)出應(yīng)變軟化特征和散體流動規(guī)律[15-16].頂煤介質(zhì)狀態(tài)由連續(xù)向非連續(xù)和散體介質(zhì)轉(zhuǎn)換，內(nèi)部應(yīng)力場也呈現(xiàn)出由均勻向非均勻分布和離散接觸力鏈網(wǎng)絡(luò)分布形態(tài)發(fā)展.針對煤巖體非連續(xù)變形和復雜應(yīng)力場特征，本文基于持續(xù)同調(diào)理論，從力學和幾何的角度出發(fā)，建立了散體介質(zhì)從接觸網(wǎng)絡(luò)到力鏈網(wǎng)絡(luò)，再到拓撲空間模型的分析方法，定量分析放頂煤開采中力鏈網(wǎng)絡(luò)的拓撲特征隨工作面推進的變化規(guī)律，并探尋拓撲特征與礦壓強度之間的關(guān)系.

1 持續(xù)同調(diào)理論

1.1 基本概念

持續(xù)同調(diào)（Persistent homology）是一種拓撲數(shù)據(jù)分析方法，它對點集進行多尺度分析，并識別其中的簇團、孔洞和空腔等拓撲結(jié)構(gòu)，用于計算幾何或者函數(shù)的拓撲空間特征[17-20].

構(gòu)成了q維單純形，簡稱q維單形（q-dimensional simplex），記為 [s].其中序數(shù)組{λ0,λ1,…,λq}是q維單形的重心坐標.根據(jù)定義，當q=0時，0維單形即為一個點；當q=1時，1維單形構(gòu)成一條線段；當q=2時，2維單形構(gòu)成一個三角形面；當q=3時，3維單形即為一個四面體，如圖1所示.更高維度的單形也存在，但對于平面網(wǎng)絡(luò)分析，2維單形已經(jīng)足夠了.由的子集構(gòu)成的單形稱為[s]的面，例如對于2維單形，其任意一個邊均為其1維面，任意一個頂點均為其0維面.

圖1 不同維度的單純形Fig.1 Simplexes in different dimensions

單純復形K是有限個單形按照一定規(guī)則組成的集合，簡稱復形（Complex），以最高單純形維度表示該復形的維度.復形滿足以下條件：

（1）若 [s]∈K，則 [s]的任意一個面t∈K；

（2）K中任意兩個單純形的交集為空集或是它們的一個公共面.

如果在q-維歐式空間中存在一個點集P，由所有頂點距離不大于ε的單形構(gòu)成的集合稱為閾值ε的 Vietoris-Rips（VR）復形，即

式中，d(ai,aj)表示頂點ai和aj的歐幾里得空間距離，也是VR復形的權(quán)重函數(shù)，即

1.2 基于力鏈結(jié)構(gòu)的 VR 復形

力鏈結(jié)構(gòu)不僅需要包含散體介質(zhì)的幾何位置關(guān)系，還需要包含散體介質(zhì)中顆粒的應(yīng)力.因此，本文將（2）式VR復形的權(quán)重函數(shù)修改為如下所示：

上式中 σi表示第i個顆粒內(nèi)部的平均應(yīng)力.

（4）式用該顆粒的平均應(yīng)力表示為該點的權(quán)重，兩個顆粒連線的權(quán)重用這兩個顆粒平均應(yīng)力的最小值表示，三個顆粒構(gòu)成的三角形權(quán)重用這三個顆粒平均應(yīng)力的最小值表示，以此類推.考慮力鏈網(wǎng)絡(luò)中顆粒的接觸關(guān)系，并以顆粒的平均應(yīng)力作為閾值ε，重新定義的VR復形如下：

式中，ri和rj為相應(yīng)顆粒的半徑，dim[s]表示單形[s]的維度，閾值ε取值范圍為[0, max(σi)].

根據(jù)公式（5），VR復形建立方法如下：

（1）剔除平均應(yīng)力小于閾值ε的顆粒，剩余的每一個顆粒的圓心點即為一個0維單純形，并將顆粒平均應(yīng)力作為該0維單純形的權(quán)重.

（2）判斷 0 維單純形中任意兩個顆粒（a，b）的接觸關(guān)系，如果接觸，即(xa-xb)2+(ya-yb)2≤(ra+rb)2，連接這兩個顆粒圓心點的邊構(gòu)成一個1維單純形，并將兩個顆粒平均應(yīng)力的較小值作為該1維單純形的權(quán)重.

（3）如果有三個1維單純形首尾相連形成一個封閉的三角形，則該三角形即為一個2維單純形，其權(quán)重為三個顆粒權(quán)重的最小值.

以上所有單純形組合形成2維復形，這對于2維平面模型已經(jīng)足夠了.當然，如果是三維模型，即顆粒圓心位置為（xi，yi，zi），還需要繼續(xù)向上建立3維復形.

圖2（a）是一個由24個顆粒組成的顆粒體系，構(gòu)成點集P1，在外部荷載作用下形成力鏈網(wǎng)絡(luò).圖中頂點、邊和三角形的顏色表示權(quán)重.σˉ為所有顆粒平均應(yīng)力的均值，其中n表示顆粒數(shù)目，即：

圖2 力鏈網(wǎng)絡(luò).(a) 顆粒體系；（b）閾值為1.4倍平均應(yīng)力時的力鏈網(wǎng)絡(luò)；（c）閾值為0.5倍平均應(yīng)力時的力鏈網(wǎng)絡(luò)；（d）閾值為0時的力鏈網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Force chain network: (a) particle system; (b) force chain network with the threshold value of 1.4 times the average stress; (c) force chain network with the threshold value of 0.5 times the average stress; (d) force chain network with the threshold value of 0

當閾值 ε =1.4σˉ時，有12個0維單純形和10個 1維單純形，0個 2維單純形（圖2（b））；當閾值ε=0.5σˉ時，有20個0維單純形，26個1維單純形，2個 2維單純形（圖2（c））；當閾值 ε =0時，有 24個0維單純形，40個1維單純形，10個2維單純形（圖2（d）），圖中連片的綠色區(qū)域表征其內(nèi)部的力鏈網(wǎng)處于相同強度級別.顯然有：

由此可見，在不同的應(yīng)力閾值下，將呈現(xiàn)差異化的力鏈網(wǎng)絡(luò)形態(tài).當研究閾值持續(xù)變化時，所有的力鏈網(wǎng)絡(luò)形態(tài)也將不斷演進之中.這為建立顆粒集合體的宏觀力學行為與細觀力學演化機制關(guān)系提供了定量化的數(shù)學表征.

1.3 Betti數(shù)

拓撲數(shù)據(jù)分析中，用Betti數(shù)（βn）的概念表示復形的連通性.0維Betti數(shù)（β0）表示連通元素個數(shù)，1維Betti數(shù)（β1）表示閉合回路個數(shù)（組成回路的顆粒數(shù)量大于 3），2 維 Betti數(shù)（β2）表示三維空腔個數(shù)，以此類推.顯然，在二維模型中，高維Betti數(shù)（n大于等于 2）均不存在.圖2（b）～（d）復形的Betti數(shù)分別為：

式中，Kb,Kc,Kd分別對應(yīng)圖2(b)、圖2(c)和圖2(d)中的單純復形.

持續(xù)同調(diào)的優(yōu)勢在于，可以觀測到當閾值ε連續(xù)地從顆粒最大平均應(yīng)力（max（σi））→0時的一系列復形集合的連通數(shù)，并可觀察到復形中的拓撲特性在何時生成（Birth），又在何時消失（Death）.

將圖2（a）中的力鏈網(wǎng)絡(luò)采用上述拓撲數(shù)據(jù)分析方法處理，可獲得不同閾值ε下的拓撲特性（如圖3所示）.從圖3（a）中可以看出力鏈網(wǎng)絡(luò)K中有兩條生命周期較長的拓撲特征A和B，對應(yīng)圖2（b）中的兩條紅色強力鏈，并且這兩條力鏈在ε=1.3時融合為一條.在大多數(shù)拓撲數(shù)據(jù)分析中，通常會認為出生點和死亡點相同或者生命周期較短的拓撲特征是噪點，但本文保留了出生點和死亡點相同的拓撲特征，并在圖中以點的形式畫出，因為這些拓撲特征也具有實際物理含義，并不能忽視它們.圖3（a）中的每一個點表示在該閾值下有一個新的連通元素生成，但是在生成的一瞬間即被其他連通元素歸并.圖3（b）中有七條生命周期較長的拓撲特征（a～g），每個長條表示一個閉合回路，當然每個閉合回路的生命周期并不同.圖3（b）中的每個點表示一個2維單純形，這些單純形在形成時也是一個閉合回路，但同時又立即被其他回路歸并了.

圖3 持續(xù)同調(diào)條碼圖.(a) β0; (b) β1Fig.3 Persistent homology barcode: (a) β0; (b) β1

2 放頂煤開采光彈實驗

以甘肅省某煤礦放頂煤工作面為例，該煤層埋深約400 m，煤層厚度約16.2 m，煤層傾角約平均6.6°.其上部基本頂為砂巖，厚度約7.9 m，巖性堅硬，呈厚層狀結(jié)構(gòu).工作面采用傾斜分層走向長壁綜采低位放頂煤采煤方法，全部垮落法管理頂板.根據(jù)現(xiàn)場對頂煤超聲波波速測試[15]，工作面前方約12 m處頂煤發(fā)生超聲波波速出現(xiàn)大幅跌落的現(xiàn)象，表明頂煤的宏觀介質(zhì)狀態(tài)由連續(xù)介質(zhì)狀態(tài)向非連續(xù)介質(zhì)和散體介質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)化.在工作面支架上方至放煤口范圍，頂煤由整體逐漸碎裂成塊體，煤體基本喪失了黏聚力，呈現(xiàn)出散體特征，碎裂煤體通過接觸摩擦承受和傳遞覆巖載荷，直至局部失穩(wěn)產(chǎn)生運動性破壞.因此，本文將工作面前后方頂煤視為散體介質(zhì)，采用光彈顆粒介質(zhì)模擬放頂煤開采處于散體狀態(tài)的頂煤介質(zhì)，研究工作面附近散體頂煤的力鏈的形成機制和演化規(guī)律.

2.1 實驗?zāi)Ｐ图胺椒?/h3>

采用散體介質(zhì)雙軸加載雙向流動光彈試驗裝置模擬工作面頂煤放出過程[6,21-24].根據(jù)工程地質(zhì)條件和實驗?zāi)Ｐ蛥?shù)確定實驗相似比.實驗的幾何相似比Cl=1∶79，容重相似比Cγ=1∶2.47，應(yīng)力相似比Cσ=Cγ×Cl=1∶195.13，時間相似比Ct=Cl1/2=1∶8.88，滿足歐拉準則Cσ×Ct2/(Cγ×Cl2)=1.

實驗?zāi)Ｐ烷L度為1415 mm，相當于原型長度111.8 m，如圖4所示.圖中L1～L11表示模型左側(cè)有11個顆粒釋放口；B1～B26表示模型下部有26個顆粒釋放口.為防止顆粒晶格化，實驗使用直徑分別為?8 mm、?10 mm和?12 mm三種不同尺寸的圓形光彈顆粒，按照2∶9∶5的顆粒數(shù)量比例混合，模擬煤層和上部覆巖.考慮到基本頂比其他巖層較堅硬，抗拉強度更大，且隨著煤層開挖發(fā)生周期性斷裂，因此每3～5個弱粘結(jié)的方形顆粒密實排列，更能真實地模擬基本頂?shù)膹澢?、分離和周期性破壞等行為.

圖4 光彈實驗?zāi)Ｐ?單位：mm): 1—煤層; 2—基本頂; 3—上部覆巖Fig.4 Photoelastic experiment model (unit: mm): 1—coal seam;2—main roof; 3—overlying strata

在實驗過程中，對水平和垂直載荷進行伺服控制.根據(jù)應(yīng)力相似比，模型頂部施加荷載400 N荷載模擬上覆巖層荷載，側(cè)向施加200 N荷載，模擬水平方向地應(yīng)力作用.實驗從B4放出口開始，B12放出口結(jié)束.每個開采步驟只有一個放出口打開，每次釋放約100個顆粒.經(jīng)統(tǒng)計[23]，試驗框內(nèi)單位面積內(nèi)的顆粒數(shù)為1.154 cm-2，根據(jù)幾何相似比，100個顆粒換算成實際開采面積為54.1 m2.釋放口寬度為5 cm，每一次開采相當于在實際開采長度3.95 m范圍內(nèi)，放出54.1 m2的頂煤.

實驗中，每放出一次顆粒拍攝一組光彈照片，并對光彈圖片進行圖像處理，獲取顆粒的位置、半徑和平均應(yīng)力[23-24].

2.2 力鏈演化

通過光彈實驗，用相機拍攝到不同工作面推進距離時的光彈圖像（圖（5））.從圖中可以直觀的看出力鏈強弱及力鏈演化過程.

初始狀態(tài)下（圖5（a）），圍巖應(yīng)力未受到煤層開挖的影響，采場中的力鏈交錯分布，排布均勻.基本頂內(nèi)部應(yīng)力較強且連續(xù).上覆巖層與基本頂交接處并非筆直的鏈狀結(jié)構(gòu)，而是諸多倒“Y”型力鏈，與基本頂形成一個三角形的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，將上部荷載傳遞至基本頂中.類似的，基本頂中的荷載向煤層中傳遞時，力鏈結(jié)構(gòu)呈“Y”型.

在B6口釋放了99個顆粒后（圖5（b），圖中綠色圓點之間區(qū)域表示放出口，下同），基本頂發(fā)生輕微彎曲，內(nèi)部力鏈不再連續(xù).采場周圍由于頂煤的釋放，內(nèi)部應(yīng)力減小，力鏈強度減弱甚至消失.工作面前方煤巖和重新壓實的采空區(qū)中形成力鏈集束，力鏈集束的底部向外側(cè)傾斜.此時頂煤釋放形成的力鏈集束尚未貫穿基本頂，但是基本頂上方的力鏈結(jié)構(gòu)形態(tài)已經(jīng)發(fā)生變化，原先的環(huán)狀力鏈結(jié)構(gòu)擴張，形成更大的環(huán)狀力鏈結(jié)構(gòu)，內(nèi)部包含的未受力顆粒數(shù)量更多，表明煤層開采后，上部覆巖中有更多散體巖塊處于低應(yīng)力或無應(yīng)力狀態(tài)，不承擔支撐和傳遞荷載的作用.

圖5 放頂煤開采光彈力鏈網(wǎng)絡(luò).（a）工況 0（初始狀態(tài)）；（b）工況 3；（c）工況 5；（d）工況 8Fig.5 Photoelastic images of force chains in top coal caving mining:(a) initial state; (b) mining step 3; (c) mining step 5; (d) mining step 8

隨著工作面的推進，在B8口釋放了105個顆粒后（圖5（c）），基本頂進一步彎曲，工作面圍巖力鏈發(fā)生偏轉(zhuǎn)，工作面前方煤巖和采空區(qū)中的力鏈集束向上延伸，穿透基本頂，并在基本頂上方閉合，同時覆巖中部分環(huán)狀力鏈破斷，形成完整的拱形應(yīng)力殼結(jié)構(gòu).應(yīng)力殼外側(cè)應(yīng)力較強，而內(nèi)側(cè)應(yīng)力較弱.該拱形應(yīng)力殼的前拱腳位于工作面前方，后拱腳位于重新壓實的采空區(qū).

當 B11口釋放了 108個顆粒后（圖5（d）），基本頂徹底破裂，破斷面無水平傳遞的力鏈.應(yīng)力殼結(jié)構(gòu)隨著工作面的推進而遷移，采空區(qū)中冒落的矸石經(jīng)過充分壓實，力鏈強度逐漸恢復.

采用G2法[25]，計算光彈照片中顆粒內(nèi)部平均應(yīng)力，繼而計算出整體的力鏈平均強度，如圖6所示.圖中，工作面前方是指圖5中以箭頭處為起點，沿工作面推進方向位于基本頂下方未開采頂煤；頂部覆巖是指相同區(qū)域基本頂上部覆巖.當煤層初次開采后，頂部覆巖和工作面前方煤巖中的力鏈強度迅速下降，根據(jù)長度相似比，在工作面實際掘進11.85 m處出現(xiàn)初次來壓現(xiàn)象，之后又出現(xiàn)了兩次老頂周期來壓，來壓步距分別為7.9 m和11.85 m，模擬結(jié)果略小于現(xiàn)場監(jiān)測結(jié)果.動壓系數(shù)分別為1.27和1.50.整個過程中頂部覆巖和工作面前方煤巖力鏈強度增減趨勢一致.

圖6 不同工況下的力鏈平均強度Fig.6 Average strength of force chains under different mining steps

試驗表明：放頂煤開采過程中，由于頂煤的釋放，工作面附近的力鏈強度始終處于較低水平，力鏈網(wǎng)絡(luò)發(fā)育不明顯，大部分散體巖塊處于低應(yīng)力狀態(tài)，不承擔支撐上部荷載的作用.在基本頂彎曲帶和工作面前后方產(chǎn)生力鏈束集中區(qū)，并向上延伸在基本頂彎曲帶上方閉合，宏觀上形成拱形力鏈結(jié)構(gòu).力鏈拱內(nèi)外力鏈強度和力鏈網(wǎng)絡(luò)截然不同，力鏈拱內(nèi)應(yīng)力強度普遍低于平均強度，且強力鏈拱腳位置隨著工作面的推進而變化，基本上位于工作面前后方支承壓力峰值區(qū).光彈實驗測量到的力鏈強度周而復始的波動現(xiàn)象，與實際放頂煤開采過程中老頂?shù)闹芷趤韷哼^程基本吻合.

3 放頂煤開采力鏈網(wǎng)絡(luò)持續(xù)同調(diào)分析

同調(diào)是一個靜態(tài)的概念，而持續(xù)同調(diào)是連續(xù)、動態(tài)的過程.為了進一步分析放頂煤開采中的力鏈網(wǎng)絡(luò)在開采過程中的演化過程，分別對工作面（即放出口）上方的覆巖區(qū)域和工作面前方區(qū)域進行力鏈提取，截取的區(qū)域高和寬均為三倍放出口寬度.對提取后的力鏈網(wǎng)絡(luò)用第一節(jié)中的TDA方法進行持續(xù)同調(diào)分析.為了方便數(shù)據(jù)處理，定義：

式中，fmin和fmax分別表示f的最小值和最大值.因此閾值ε取值范圍為[0,1].

將f=1帶入（10）得fnorm≈0.3，即力鏈網(wǎng)絡(luò)平均強度歸一化后約等于0.3.將力鏈強度劃分為以下三個等級：

3.1 頂部覆巖力鏈分析

圖7為頂部覆巖初始狀態(tài)下的β0條碼圖.條碼圖中的表示的拓撲特征可以分為兩類，第一類用藍色的條碼表示，每一根條碼代表一個力鏈連通體，條碼兩端對應(yīng)的x軸代表該連通體的生成閾值和死亡閾值.第二類用彩色點表示，它表示在該閾值下有一條力鏈生成，但又立即歸并到其他力鏈結(jié)構(gòu)中.大部分連通體的拓撲特征結(jié)構(gòu)屬于第一類.

圖7 頂部覆巖初始狀態(tài)下的β0條碼圖Fig.7 β0 barcode of the initial state in the overburden

從圖7中可以看出在閾值ε=1時，第一條力鏈連通體出現(xiàn)，并且在ε→0的過程中，不斷有連通體出現(xiàn)，這些連通體有些作為獨立力鏈存在一段時間，有些立即消失，但最終都歸并入第一條力鏈連通體，即當ε=0時，密實顆粒體系中的所有顆粒通過接觸關(guān)系相互連接，形成一個連通的整體，如圖8所示.

圖8 接觸網(wǎng)絡(luò)（初始狀態(tài)，ε=0）Fig.8 Contact network (initial state, ε = 0)

對于β1條碼圖（圖9），條碼圖中的表示的拓撲特征也可以分為兩類：第一類用藍色條碼表示，它代表一個力鏈閉合回路（組成回路的顆粒數(shù)大于等于4），條碼兩端對應(yīng)的x軸代表該連通體的生成閾值和死亡閾值.第二類用彩色點表示，它表示一個3顆粒穩(wěn)定閉合回路的生成，同時由于它形成了2維單形，它作為一個整體被并入其他回路中.大部分環(huán)狀力鏈的拓撲特征屬于第一類.由于大于等于4個顆粒組成的回路不穩(wěn)定，因此由四個及四個以上的顆粒組成的閉合回路稱為“缺陷”回路.

圖9 上部覆巖初始狀態(tài)下的β1條碼圖Fig.9 β1 barcode of the initial state in the overburden

根據(jù)條碼圖，獲得頂部覆巖不同工況下Betti值隨閾值變化曲線（圖10（a））.曲線整體呈拋物形，其中工況3,5,8的β0的峰值在ε∈[0.3, 0.4]左右，屬于強力鏈范圍.且工況3,5,8的峰值均不小于初始狀態(tài)下的峰值，尤其是初次來壓時（工況3），峰值遠遠高于其他工況.說明在老頂來壓時，頂部覆巖強力鏈多且分布較為離散.工況2,4,7的β0的峰值低于初始狀態(tài)，且峰值來的更早些，ε∈[0.2, 0.3]，屬于次強力鏈范圍.工作面來壓前，頂部覆巖主要是次強力鏈，且分布集中.煤層開采造成老頂一定程度上的回轉(zhuǎn)，從而導致頂部覆巖的力鏈重新分布，原先的次強力鏈演化為強力鏈.

曲線整體呈 L 形分布（圖10（b））.β1在 [0, 0.2]區(qū)間內(nèi)與ε近似呈反比，在[0.3, 1]區(qū)間內(nèi)趨于0，頂部覆巖中強力鏈網(wǎng)絡(luò)幾乎不存在環(huán)狀力鏈，即“缺陷”回路.說明頂部覆巖中的強力鏈網(wǎng)絡(luò)無論是強度上還是構(gòu)型上都較為穩(wěn)定.將ε∈[0, 0.2]區(qū)間的數(shù)據(jù)進行線性擬合，β1～kε，k是比例系數(shù)，衡量β1隨ε變化的快慢程度.不同工況下的k值如圖10（b）中所示，可以看出來壓時的k值更小，意味著β1隨著閾值ε增加而下降的更快，當k小于-220時的工況3、5、8均為周期來壓時的工況.同時當ε=0時，來壓時的β1更大.這是由于老頂來壓雖然使頂煤覆巖內(nèi)部形成更多強力鏈，但這些強力鏈和次強力鏈，弱力鏈形成結(jié)構(gòu)上更為脆弱的“缺陷”回路，因而在結(jié)構(gòu)上更不穩(wěn)定.

圖10 頂部覆巖不同工況下的Betti數(shù)隨閾值ε變化曲線.(a) β0; (b) β1Fig.10 Curves of Betti values vs ε under different mining steps in overburden: (a) β0; (b) β1

3.2 工作面前方煤巖力鏈分析

工作面前方煤巖Betti數(shù)隨閾值變化曲線如圖11所示.來壓時的β0的峰值位于ε∈[0.2, 0.3]區(qū)間內(nèi)，屬于次強力鏈范圍.說明工作面前方煤巖的力鏈強度低于頂部覆巖，結(jié)果與圖6一致.工況2,4,7的β0的峰值位于ε∈[0.3, 0.4]區(qū)間內(nèi)，這一現(xiàn)象恰好與頂部覆巖相反.但其峰值依然低于初始狀態(tài)峰值.來壓前，工作面前方煤巖力鏈發(fā)育稀少但相互之間連通性較好，來壓后產(chǎn)生較多次強力鏈，從側(cè)向支撐強力鏈的發(fā)展，但力鏈之間連通性較差.

圖11 工作面前方煤巖不同工況下的Betti數(shù)隨閾值ε變化曲線.(a) β0; (b) β1Fig.11 Curves of Betti values vs ε under different mining steps in front of working face: (a) β0; (b) β1.

工作面前方煤巖力鏈網(wǎng)絡(luò)的β1在[0, 0.2]區(qū)間內(nèi)與ε近似呈反比，在[0.3, 1]區(qū)間內(nèi)趨于0，與頂部覆巖規(guī)律相同.但來壓時，3、5和8工況并無統(tǒng)一特征.

4 結(jié)論

針對散體介質(zhì)復雜力鏈網(wǎng)絡(luò)數(shù)學描述和定量分析難題，持續(xù)同調(diào)拓撲分析力能克服傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)模型的力學假設(shè)，更真實的反映散體內(nèi)部力的傳遞機制.本文以放頂煤開采為背景，建立了從接觸網(wǎng)絡(luò)到力鏈網(wǎng)絡(luò)，再到拓撲空間數(shù)學模型的理論，提供了一種新的散體介質(zhì)力鏈網(wǎng)絡(luò)分析方法，構(gòu)建起散體介質(zhì)細觀力學機制與宏觀力學行為的橋梁.

（1）散體介質(zhì)中的大量顆?？梢猿橄蟪梢粋€數(shù)據(jù)庫，持續(xù)同調(diào)的意義便是在于能持續(xù)性的觀測數(shù)據(jù)隨著閾值連續(xù)變化時的特征變化，觀察到數(shù)據(jù)的同源特征，避免了忽略或者消除大數(shù)據(jù)中的細小特征.將散體顆粒應(yīng)力作為閾值，可觀察力鏈網(wǎng)絡(luò)在不同強度閾值下的力鏈演化過程.

（3）Betti數(shù)可以作為一種預(yù)測來壓的力鏈網(wǎng)絡(luò)參數(shù).頂部覆巖和工作面前方煤巖力鏈網(wǎng)絡(luò)β0曲線呈拋物線形，且來壓時拋物線峰值高于初始狀態(tài)下的峰值.不同之處在于頂部覆巖β0峰值位于強力鏈范圍，而工作面前方煤巖β0峰值位于次強力鏈范圍.

（3）放頂煤開采過程中，頂煤覆巖β1曲線近似呈L形，在[0, 0.2]區(qū)間內(nèi)與ε近似呈反比，在[0.3,1]區(qū)間內(nèi)趨于0.通過對比頂部覆巖β1與閾值ε在[0, 0.2]區(qū)間內(nèi)的反比系數(shù)k，得出來壓時β1隨著閾值ε增加而下降的更快，結(jié)合ε=0時的β1值，表明來壓時，頂部覆巖雖然產(chǎn)生較多強力鏈，但這些強力鏈與次強力鏈、弱力鏈相結(jié)合，形成“缺陷”閉合回路，因而在結(jié)構(gòu)上更不穩(wěn)定.

（4）持續(xù)同調(diào)理論提供一種全新的散體介質(zhì)力鏈網(wǎng)絡(luò)分析思路，該理論用于放頂煤開采覆巖與頂煤力鏈演化研究中，從力鏈角度揭示了放頂煤開采過程中的礦壓演變規(guī)律.

持續(xù)同調(diào)拓撲方法可以推廣至研究其他散體介質(zhì)中.將持續(xù)同調(diào)拓撲特征與散體介質(zhì)細-宏觀力學行為相結(jié)合，將深刻揭示力鏈網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的變化和散體介質(zhì)力學響應(yīng)之間的關(guān)聯(lián)機制.