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        時(shí)滯反饋下分?jǐn)?shù)階Rayleigh系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

        2023-01-31 08:15:48陳聚峰申永軍李向紅王曉娜
        振動(dòng)與沖擊 2023年2期
        關(guān)鍵詞:零解振子平衡點(diǎn)

        陳聚峰, 申永軍, 張 靜, 李向紅, 王曉娜

        (1. 石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,石家莊 050043; 2. 石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系,石家莊 050043; 3. 石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,石家莊 050043; 4. 石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部,石家莊 050021; 5. 河北軌道運(yùn)輸職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系,石家莊 050021)

        自1927年荷蘭物理學(xué)家van der Pol等[1]在描述真空管電路時(shí)建立了van der Pol方程后,van der Pol型振子作為一種典型的含有非線(xiàn)性阻尼的自激振動(dòng)系統(tǒng),得到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注和深入研究[2-5]。Rayleigh振子屬于van der Pol型振子,并且具有相似的動(dòng)力學(xué)特性,它與van der Pol振子的區(qū)別是:隨著電壓的增加,van der Pol振子的頻率增加,而Rayleigh振子的振幅增加。在不同領(lǐng)域,Rayleigh振子可以用來(lái)描述許多自激振蕩系統(tǒng)。比如,在土木工程中Rayleigh振子可用于描述安裝在非線(xiàn)性阻尼彈性支承上的梁的模態(tài)動(dòng)力學(xué)以及梁在風(fēng)激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)模型[6-7]。受驅(qū)動(dòng)的Rayleigh振子可以用來(lái)描述地震的動(dòng)力學(xué)[8]。通過(guò)試驗(yàn)和理論研究表明,Rayleigh振子還可用于驅(qū)動(dòng)柔性機(jī)械臂[9-10]。

        分?jǐn)?shù)階微積分是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,它是將整數(shù)階微積分推廣至任意實(shí)數(shù)階甚至復(fù)數(shù)階的微積分理論[11-13]。現(xiàn)實(shí)世界中許多物體運(yùn)動(dòng)都可以用分?jǐn)?shù)階模型來(lái)識(shí)別和描述,與整數(shù)階模型相比,其優(yōu)點(diǎn)是:分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在描述各種過(guò)程的記憶和遺傳特性方面具有優(yōu)異的性能。近年來(lái),隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的加速發(fā)展,分?jǐn)?shù)階微積分在諸如物理、工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)、材料科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用受到了廣泛的關(guān)注[14-21]。同時(shí),許多不同類(lèi)型的分?jǐn)?shù)階van der Pol/Rayleigh振子也越來(lái)越受到關(guān)注[22-25]。例如:Shen等[26]利用平均法研究了含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的van der Pol 振子發(fā)生主共振的動(dòng)力學(xué)特性;Zhang等[27-28]利用Melnikov方法研究了分?jǐn)?shù)階Rayleigh-Duffing的混沌及同步;Zhang等[29]利用隨機(jī)平均法研究了在高斯白噪聲激勵(lì)下含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Duffing-Rayleigh系統(tǒng)的響應(yīng);Xiao等[30]研究了狀態(tài)反饋下一類(lèi)分?jǐn)?shù)階van der Pol系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分岔控制。另外,在控制系統(tǒng)中不可避免地存在時(shí)滯現(xiàn)象,一方面,時(shí)滯的存在往往會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)以及控制性能下降;另一方面,人們可以利用時(shí)滯進(jìn)行控制設(shè)計(jì)來(lái)改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性[31-33]。目前,對(duì)于時(shí)滯反饋下分?jǐn)?shù)階Rayleigh系統(tǒng)的穩(wěn)定性方面的研究還很少。因此,本文以時(shí)滯作為分岔參數(shù),討論一類(lèi)分?jǐn)?shù)階Rayleigh系統(tǒng)在時(shí)滯速度反饋下的穩(wěn)定性及分岔問(wèn)題。

        1 時(shí)滯反饋下分?jǐn)?shù)階Rayleigh系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

        考慮在速度時(shí)滯反饋控制下,同階次的分?jǐn)?shù)階Rayleigh系統(tǒng)

        (1)

        式中: 00;τ≥0;k>0。這里采用Caputo型的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義

        式中,Γ(y)為Gamma函數(shù),且Γ(y+1)=yΓ(y)。

        式(1)有唯一平衡點(diǎn)(x1,x2)=(0,0),相應(yīng)的線(xiàn)性化系統(tǒng)為

        (2)

        特征方程為

        (3)

        利用Tavazoei等的方法,我們可得:

        定理1當(dāng)τ=0時(shí),對(duì)每一固定的q,式(1)的平衡點(diǎn)(0,0)是漸近穩(wěn)定的充要條件為0

        (4)

        可見(jiàn),系統(tǒng)參數(shù)a的臨界值ac不僅與反饋增益k有關(guān),還與分?jǐn)?shù)階階次q有關(guān)。隨著q的減小,k的增大,系統(tǒng)平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定的參數(shù)a的范圍會(huì)增大。

        接下來(lái),將討論對(duì)任意的τ>0,特征方程det[Δ(s)]=0沒(méi)有純虛根的條件。

        (5)

        分離實(shí)部和虛部,可得

        A1cosωτ+A2sinωτ=δ1

        (6)

        A2cosωτ-A1sinωτ=δ2

        (7)

        其中,

        (8)

        (9)

        (10)

        式(6)和式(7)兩邊平方相加后,可得

        ω4q+b3ω3q+b2ω2q+b1ωq+1=0

        (11)

        其中,

        令ωq=z,則式(11)變?yōu)?/p>

        z4+b3z3+b2z2+b1z+1=0

        (12)

        記H(z)=z4+b3z3+b2z2+b1z+1,則有

        H′(z)=4z3+3b3z2+2b2z+b1

        4z3+3b3z2+2b2z+b1=0

        (13)

        y3+p1y+q1=0

        (14)

        由Cardano公式,可得式(14)的根為

        引理1[34]若Δ≥0,則式(12)有正根當(dāng)且僅當(dāng)z1>0及H(z1)<0;若Δ<0,則式(12)有正根當(dāng)且僅當(dāng)至少存在一個(gè)z*∈{z1,z2,z3},使z*>0及H(z*)≤0。

        (15)

        因此,可定義

        (16)

        引理2考慮如下的指數(shù)多項(xiàng)式

        引理3假定0

        (ⅰ) 若下列兩個(gè)條件之一成立:

        (a) Δ≥0,z1>0且H(z1)<0;

        (b) Δ<0,且存在一個(gè)z*∈{z1,z2,z3},使z*>0和H(z*)≤0。

        則當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí),式(3)的所有根都具有負(fù)實(shí)部。

        (ⅱ) 若(ⅰ)中兩個(gè)條件都不滿(mǎn)足,則對(duì)于任意的τ≥0,式(3)的所有根都具有負(fù)實(shí)部。

        證明當(dāng)τ=0,由定理1可知,當(dāng)0

        s(τ)=α(τ)+iω(τ)

        (17)

        是式(3)滿(mǎn)足α(τ0)=0,ω(τ0)=ω0的根。

        證明式(3)兩邊關(guān)于τ求導(dǎo),得

        (18)

        于是,

        (19)

        因此,當(dāng)τ=τ0,s=iω0,式(19)變?yōu)?/p>

        (20)

        其中,

        所以,

        因此,

        從而結(jié)論成立。

        由引理1、引理3及引理4,我們可得:

        定理2令ω0,z0,τ0及s(τ)是由式(16)和式(17)所定義,假定0

        (ⅰ) 若下面兩個(gè)條件:

        (a) Δ≥0,z1>0且H(z1)<0;

        (b) Δ<0,且存在一個(gè)z*∈{z1,z2,z3},使z*>0和H(z*)≤0。

        都不滿(mǎn)足,則對(duì)于任意的τ≥0,式(1)的零解是漸近穩(wěn)定的。

        (ⅱ) 若滿(mǎn)足(ⅰ)中條件(a)和條件(b)之一,則當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí),式(1)的零解是漸近穩(wěn)定的。

        2 數(shù)值模擬

        本章將選取三組系統(tǒng)參數(shù),分別對(duì)分?jǐn)?shù)階Rayleigh系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真,以驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性。這里我們采用G-L定義法對(duì)其數(shù)值解進(jìn)行模擬。

        取時(shí)滯τ=0.48<τ0,則式(1)的零解是漸近穩(wěn)定的,如圖1(a)和圖1(b)所示;再取時(shí)滯τ=0.55>τ0,則式(1)的零解是不穩(wěn)定的,出現(xiàn)了周期解,如圖1(c)和圖1(d)所示;最后取時(shí)滯τ=0.80>τ2>τ0,則式(1)的零解仍是不穩(wěn)定的,系統(tǒng)存在周期解,如圖1(e)和圖1(f)所示。因此,式(1)在τ=τ0處發(fā)生Hopf分岔。這與定理2的結(jié)論完全相符。

        圖1 當(dāng)q=0.9,k=0.6時(shí),式(1)的時(shí)間歷程圖和相圖Fig.1 Time histories and phase diagrams of Eq.(1) with q=0.9 and k=0.6

        取時(shí)滯τ=0.275<τ0,則式(1)的零解是漸近穩(wěn)定的,如圖2(a)和圖2(b)所示;再取時(shí)滯τ=0.315>τ0,則式(1)的零解是不穩(wěn)定的,出現(xiàn)了周期解,如圖2(c)和圖2(d)所示;最后取時(shí)滯τ=0.600>τ2>τ0,則式(1)的零解仍是不穩(wěn)定的,系統(tǒng)存在周期解,如圖2(e)和圖2(f)所示。因此,式(1)在τ=τ0處發(fā)生Hopf分岔。

        (ⅲ) 選取q=0.9,k=0.05,則由式(4)可得ac=0.362 9。取a=0.20,但H(z1)=0.010 2>0。因此,定理2中的兩個(gè)條件都不滿(mǎn)足。由圖3可知,對(duì)任意的τ≥0,式(1)的零解都是漸近穩(wěn)定的,此時(shí)式(1)不發(fā)生Hopf分岔。

        圖3 當(dāng)q=0.9,k=0.05時(shí),式(1)的相圖Fig.3 Phase diagrams of Eq.(1) with q=0.9 and k=0.05

        3 結(jié) 論

        本文主要對(duì)速度時(shí)滯反饋下分?jǐn)?shù)階Rayleigh系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分岔?xiàng)l件進(jìn)行分析。以時(shí)滯τ作為分岔參數(shù),當(dāng)τ=0時(shí),分?jǐn)?shù)階Rayleigh系統(tǒng)具有線(xiàn)性反饋,得到了平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充要條件,它不僅與反饋增益k有關(guān),還與分?jǐn)?shù)階階次q有關(guān);當(dāng)τ>0時(shí),基于特征方程,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)滿(mǎn)足定理2中的條件,可以計(jì)算出平衡點(diǎn)穩(wěn)定的時(shí)滯參數(shù)臨界值τ0,當(dāng)時(shí)滯參數(shù)小于τ0時(shí),平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的,當(dāng)時(shí)滯參數(shù)大于τ0時(shí),平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的;進(jìn)而,得到Hopf分岔發(fā)生的條件??梢?jiàn),通過(guò)調(diào)節(jié)時(shí)滯的參數(shù)值,可以控制分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分岔。

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