沈超明， 黃 杰， 陳墨林， 錢登輝， 王建春， 莊家威

(1. 江蘇科技大學 船舶與海洋工程學院, 江蘇 鎮(zhèn)江 212100; 2. 中國船舶科學研究中心, 江蘇 無錫 214082)

減振降噪一直是工程界密切關注和著力解決的熱點問題。振動噪聲問題不僅會影響人員的身心健康，也會導致儀器疲勞損傷、縮短使用壽命，降低精密儀器的控制精度。傳統(tǒng)的降低振動的措施主要包括抑制振源強度、隔振和消振。相對而言，從振動傳播途徑進行控制，實現(xiàn)振動的隔離、吸收，是減振降噪行之有效的方法，這也是工程應用中最常用的方法。在許多工程中梁類結(jié)構是經(jīng)常遇到的一種基本構件，多年來一直是振動控制領域的主要研究對象之一。解決了梁類結(jié)構的減振問題，就意味著解決了許多工程中的減振問題。而聲子晶體的振動帶隙特性使得帶隙范圍內(nèi)的振動被禁止傳播或被很大程度的抑制，這為其在減振領域的應用提供了新的思路。

聲子晶體[1-2]是一種人工周期性具有彈性波帶隙的復合結(jié)構材料，近幾十年來已經(jīng)吸引了國內(nèi)外學者的廣泛興趣。正是由于這類聲子晶體結(jié)構具有的彈性波帶隙特性，在減振降噪等應用方面存在很多潛在的可能[3-5]，可廣泛應用于船舶、飛機、汽車以及大型發(fā)電機組等領域中。在現(xiàn)有的研究當中，主要存在Bragg散射[6]和局域共振[7]這兩種帶隙形成機制，并且前者帶隙所對應的頻段要比后者高2個數(shù)量級。研究表明，聲子晶體梁板類結(jié)構同樣具有帶隙特性。因此，通過在一些基本彈性結(jié)構中引入聲子晶體的設計思想，所構成的聲子晶體桿[8-10]、聲子晶體梁[11-16]以及聲子晶體板[17-18]等結(jié)構也獲得了一批學者的關注和研究。

Wang等對縱向彈性波在由周期貼附諧振子的細長梁所構成的準一維結(jié)構中的傳播特性進行了研究。蔣澤等應用廣義傳輸矩陣法(generalized transition matrix method,GT-MM)，建立了聲波傳播特性的理論分析模型，得到了其聲波場的平面波解，給出了數(shù)值實現(xiàn)方案。研究表明，該方法可精確地模擬彈性波通過一維有限厚的周期結(jié)構、準周期結(jié)構以及完全無序結(jié)構的傳播特性。Xiao等通過試驗和理論相結(jié)合應用譜元法研究了帶諧振器梁聲子晶體的彎曲波傳播特性。吳旭東等研究了周期數(shù)和晶格常數(shù)對雙振子梁帶隙特性的影響。杜春陽等設計了一種具有超阻尼特性的X形局域共振結(jié)構，并分析了周期性附加X形局域共振的梁彎曲振動傳播特性。Li等應用行波法研究了空間變截面梁周期結(jié)構帶隙特性。Chen等[19]提出了一種多目標優(yōu)化的方法，采用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡和有限元方法建立算法模型，并通過NSGA-Ⅱ算法求出最優(yōu)解，優(yōu)化結(jié)果表明，帶隙寬度和衰減深度都明顯增大。Chuang等[20]提出了一種利用自解調(diào)光纖布拉格光柵(self-demodulated fiber bragg grating，SFBG)位移傳感器提取扭轉(zhuǎn)帶隙和瞬態(tài)扭轉(zhuǎn)波的測量方法，并通過反射射線矩陣法(method of reverberation-ray matrix, MRRM)驗證了扭轉(zhuǎn)帶隙和瞬態(tài)扭轉(zhuǎn)波提取方法的可行性。Jiang等[21]提出了一種折疊壓電聲子晶體梁模型，能同時實現(xiàn)布拉格和局部共振帶隙，獲得了具有較強衰減特性的低頻和寬頻帶隙。

在實際應用中，不存在無限長的梁結(jié)構，但無限周期結(jié)構的帶隙頻段和有限周期結(jié)構的衰減頻段相吻合。因此本文建立了有限周期的聲子晶體梁結(jié)構模型，計算振動傳遞損失，驗證無限周期結(jié)構色散關系(能帶結(jié)構)計算的準確性。筆者對現(xiàn)有形式材料各異的聲子晶體梁結(jié)構帶隙特性研究的基礎上，先設計了一維折疊式S型周期振子，然后取8個單元振子豎向周期排列，并在其上下方貼附上板和下板，構成一個新的晶胞。再以新的晶胞橫向周期排列，從而構造聲子晶體梁結(jié)構，相當于聲子晶體中嵌套聲子晶體，相對傳統(tǒng)聲子晶體梁而言，將會產(chǎn)生更低頻的禁帶特性。采用有限元法計算能帶結(jié)構，研究其帶隙的形成機制和調(diào)節(jié)規(guī)律，并通過與相應單層結(jié)構的帶隙特性進行對比，研究了單/雙層的通性以及雙層梁結(jié)構的特性，以及各參數(shù)對聲子晶體梁結(jié)構帶隙衰減頻段的影響規(guī)律。

1 模型和方法

根據(jù)局域共振聲子晶體結(jié)構帶隙形成機制，建立了S型振子結(jié)構，其結(jié)構示意圖如圖1(a)所示。從圖中可以看到，圖1(a)通過3塊鋼板和2個復合塊交錯貼附而成，其中上下兩塊鋼板為尺寸材料完全相同的薄板，中間鋼板為尺寸較厚的厚板，而復合塊由橡膠-鉛塊-橡膠組成。取8個S型振子豎向周期排列作為夾層，在其上下方貼附上板和下板，構成一個新的晶胞，其結(jié)構示意圖如圖1(b)所示。將新晶胞橫向周期排列，構成聲子晶體梁結(jié)構，如圖1(c)所示。在結(jié)構模型中，晶格常數(shù)、上下板的厚度、S型振子薄板的厚度、橡膠層的厚度、以及鉛層的厚度、S型振子厚板的厚度和單元振子總高度分別為a，e，h1，h2，h3，h4和h，一個單元的S型振子，長度和寬度分別為l和m，如圖1所示。在結(jié)構模型中，各幾何參數(shù)如表1和表2所示。

表1 計算所用到的材料參數(shù)Tab.1 Materials’parameters used in calculations

表2 計算所用到的幾何參數(shù)Tab.2 Geometric parameters used in calculations 單位：mm

圖1 結(jié)構模型Fig.1 Models of structure

對于單元振子的能帶結(jié)構，采用有限元法來計算，并借助于商業(yè)軟件COMSOL Mutiphysics來實現(xiàn)，對于有限元網(wǎng)格的劃分，均采用四面體網(wǎng)格。對于S型振子的邊界條件，非接觸面均采用無壓力自由邊界條件。而相鄰的振子交界面則采用Bloch-Floquet定理導出的周期邊界條件，即

u(z+a)=u(z)ei(k·a)

(1)

將周期邊界條件式(1)代入自由振動的有限元特征方程中，可以得到

Ku=ω2Mu

(2)

式中，剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M均含有Bloch波矢相耦合的項，與傳統(tǒng)有限元特征方程中的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣有所區(qū)別。式(2)是關于ω2的典型廣義特征值問題對于每一個給定的Bloch波矢k，通過求解特征值，可得到相應的一系列特征頻率。通過歷遍所有的不可約Brillouin區(qū)邊界上的波矢，最終可得到S型振子的能帶結(jié)構。能帶結(jié)構圖中打開了較寬的帶隙，因此在該帶隙的頻域內(nèi)，處理工程上減振降噪的問題具有理論意義。將S型振子作為夾層置于上下板中形成新的晶胞，再以新的晶胞橫向周期排列，從而構造可以處理工程上減振降噪聲子晶體梁結(jié)構，如圖1(c)所示，其晶胞結(jié)構如圖1(b)所示。

由吳旭東等的研究可知，振子周期數(shù)的多少對帶隙也有重要的影響。從理論上說，周期數(shù)越多其減振特性越好，而實際中由于結(jié)構尺寸的限制、輕量化要求等等，需要利用盡可能少的周期滿足預期的減振效果，但最少需要2個振子，此聲子晶體梁結(jié)構才能更好地利用S型振子的帶隙特性實現(xiàn)減振效果。本文取8個振子豎向周期排列，并在其上下方貼附上板和下板，構成一個新的晶胞，其結(jié)構示意圖如圖1(c)所示。對于新的晶胞結(jié)構，同樣采用有限元法計算，晶胞的邊界條件，非接觸面均采用無壓力自由邊界條件，而相鄰的晶胞交界面采用Bloch-Floquet定理導出的周期邊界條件。與S型振子計算方法同理，可得到該新晶胞的能帶結(jié)構。

2 數(shù)值結(jié)果和分析

2.1 S型振子能帶結(jié)構及傳輸曲線

圖2(a)給出了S型振子的能帶結(jié)構，其中計算所用到的材料參數(shù)和幾何參數(shù)分別如表1和表2 所示。為了驗證計算所得能帶結(jié)構的準確性，將8個振子豎向周期排列，并且將激勵點和相應點分別放置在其最下方和最上方，如圖3所示。計算得到相應的振動傳輸曲線，如圖2(b)所示。

圖2 S型振子能帶結(jié)構和相應的振動傳輸曲線Fig.2 S-type unit cell band structure and corresponding transmission power spectrum

圖3 由8個S型振子周期排列而成的振子結(jié)構模型Fig.3 The oscillator structure model is formed by the periodic arrangement of 8 S-typeunit cells

由圖2(a)可以看到，S型振子能帶結(jié)構在55～90 Hz打開了一條較寬的帶隙，并且由圖2(b)可以看到，振動在有限結(jié)構中傳遞，傳輸曲線的衰減頻域也非常寬，且大致與能帶結(jié)構相對應。這與已有研究中所得的無限結(jié)構的帶隙頻段和有限結(jié)構的衰減頻段相吻合這一結(jié)論相符合。S型局域共振型振子如此低頻的帶隙，對實現(xiàn)特定頻率范圍的低頻減振降噪有十分可觀的應用前景。為了揭示其帶隙特性，提取了能帶結(jié)構圖中臨界點的特征模態(tài)相對應的位移場，如圖4所示。

圖4 與圖2(a)中標注的特征模態(tài)相對應的位移場Fig.4 The displacement fields of eigenmodes labeled in Fig.2(a)

在S型局域振子的能帶結(jié)構中，對于模態(tài)B1和B3，位移場為鋼板作縱向振動，鉛塊保持靜止，其中上下兩塊鋼板向內(nèi)振動的相位與中間鋼板向外振動的相位達到縱向振動動態(tài)平衡。對于模態(tài)B2和B4，位移場都有一定程度的扭轉(zhuǎn)振動。但不同的是，在模態(tài)B2中，為中間鋼板保持靜止，鉛塊和上下鋼板作一定程度的扭轉(zhuǎn)振動。在模態(tài)B4中，鉛塊保持靜止，上中下三塊鋼板作一定程度的扭轉(zhuǎn)振動。這些模態(tài)耦合作用的結(jié)果，一條頻率區(qū)間為55～90 Hz的振動帶隙被打開。通過計算振動傳輸曲線，其中振動衰減頻段與帶隙范圍基本吻合。

2.2 振子布置在單板上的能帶結(jié)構及傳輸曲線

由8個S型振子和下板構成了新的晶胞，其能帶結(jié)構如圖5(a)所示，其中計算用到的材料參數(shù)如表1和表2所示。為了驗證計算所得能帶結(jié)構的準確性，再將8個晶胞橫向周期排列，并且將激勵點和相應點分別放置在如圖6所示的位置，計算得到相應的振動傳輸曲線，如圖5(b)所示。

圖6 由8個晶胞周期排列而成的聲子晶體單層梁結(jié)構模型Fig.6 Structure model of phononic crystal veneer beam composed of 8 unit cells arranged periodically

從振動傳輸曲線可以看到，并未出現(xiàn)明顯的衰減頻域。為了揭示其特性，給出了與圖5(a)中標注的特征模態(tài)相對應的位移場，如圖7所示。

圖5 單層梁能帶結(jié)構圖和相應的振動傳輸曲線Fig.5 Band structure and corresponding transmission power spectrum of veneer beam

圖7 與圖5(a)中標注的特征模態(tài)相對應的位移場Fig.7 The displacement fields of eigenmodes labeled in Fig.5(a)

在局域共振型單層梁結(jié)構晶胞的能帶結(jié)構中，對于模態(tài)D1和D2，位移場主要為沿z方向的垂直振動，中間振子基本保持靜止。對于模態(tài)D3和D4，位移場為下板繞水平面內(nèi)中軸線旋轉(zhuǎn)振動，中間振子仍然基本保持靜止。其中，這4個模態(tài)中，都是振動能量集中在一側(cè)板，而中間振子和另一側(cè)板基本保持靜止。對于模態(tài)D5和D6，位移場為兩個周期的S型振子產(chǎn)生振動，下板基本保持靜止。這是因為模態(tài)D5和D6是能帶結(jié)構圖中臨界點的特征模態(tài)相對應的位移場，所以中間振子開始存在小幅度的振動。

通過以上的帶隙特性研究分析，可以知道衰減頻域并未出現(xiàn)的原因。因為激勵點和響應點都在下板時，結(jié)構中的振子并不能發(fā)揮作用，這也進一步證明振子對單層梁結(jié)構振動傳遞的影響很小?？梢?，聲子晶體中帶隙的產(chǎn)生是比較復雜的，它往往是在多種機理共同作用下產(chǎn)生的，并不是簡單的附加振子就一定能產(chǎn)生帶隙。

2.3 振子布置在雙板上的能帶結(jié)構及傳輸曲線

若將圖5所示的聲子晶體單層梁結(jié)構加以上層板，則可形成聲子晶體雙層梁結(jié)構。該雙層梁結(jié)構的晶胞能帶結(jié)構如圖8(a)所示。其中，計算用到的參數(shù)與圖5(a)所示的參數(shù)一致，具體如表1和表2所示。保持激勵點位置不變，將響應點改變至上板位置如圖9所示，得到的振動傳輸曲線如圖8(b)所示。由圖8(a)和圖8(b)可以看到，其中振動衰減頻段與帶隙范圍基本吻合。

圖8 雙層梁能帶結(jié)構圖和相應的振動傳輸曲線Fig.8 Band structure and corresponding transmission power spectrum of double-layer beam

圖9 由8個晶胞周期排列而成的聲子晶體雙層梁結(jié)構模型Fig.9 Structure model of phononic crystal double-layer beam composed of 8 unit cells arranged periodically

圖8(c)～圖8 (e)分別給出了1～3個振子的聲子晶體雙層梁結(jié)構的振動傳輸曲線，圖8(f) 給出了S型振子數(shù)量與最大衰減幅值的關系曲線。由圖中可知，一個周期振子的聲子晶體雙層梁結(jié)構振動衰減很小，隨著振子數(shù)量的增大，衰減越來越大，這點可以從振子數(shù)量與最大衰減幅值的關系曲線很直觀地看出來，驗證了吳旭東等研究結(jié)論的正確性。從圖8(b)中可以看到，聲子晶體雙層梁結(jié)構的振動傳輸曲線的衰減頻段與圖2(b)的衰減帶頻率范圍基本一致，且相對于圖2(b)來說，具有更強的衰減特性。這是由于S型振子可以打開一條頻率區(qū)間為55～90 Hz的帶隙，激勵從下板經(jīng)過振子傳遞到上板，當頻率落在振子的帶隙范圍之內(nèi)時，通過振子傳遞的振動被抑制，從而使得圖8(b)和圖2(b)這兩幅圖中的振動衰減頻帶相同。因此，該雙層梁中帶隙的打開，實質(zhì)上是S型周期振子發(fā)揮了作用。也就是因為聲子晶體梁很好地利用到S型振子的低頻禁帶特性，從而形成了具有低頻帶隙的梁結(jié)構。而我們先設計一維折疊式S型周期振子，再將振子周期貼附在雙層梁表面，相當于聲子晶體中嵌套聲子晶體。

從圖8(a)中可以看到，能帶結(jié)構沒有明顯的帶隙，然而其對應的振動傳輸曲線卻存在很寬的衰減頻域，且范圍大致與S型振子的衰減頻域范圍相對應。為了發(fā)現(xiàn)其中的帶隙特性，揭示其展示出來的現(xiàn)象，作出了相應衰減頻域的位移場，如圖10所示。

圖10 與圖8(a)中標注的特征模態(tài)相對應的位移場Fig.10 The displacement fields of eigenmodes labeled in Fig.8(a)

由圖10可以看到，在衰減頻域內(nèi)，無論這幾種模態(tài)中位移場下(上)層板如何振動，上(下)層板都保持靜止，這表明一個板的振動不會傳到另外一個板上，進而說明該結(jié)構在相應的頻域內(nèi)有良好的隔振性能。之所以能帶結(jié)構都沒有明顯的帶隙，而其對應的振動傳輸曲線卻存在很寬的衰減頻域且結(jié)構存在良好的隔振性能。是因為在衰減頻域內(nèi)，頻率落在中間振子的帶隙頻段內(nèi)，此結(jié)構中間的S型振子起到了關鍵的隔振作用，因此才會出現(xiàn)這種現(xiàn)象。在圖10中，模態(tài)F1，F(xiàn)2主要為沿z方向的垂直振動，與板中z方向振動的彎曲彈性波相互耦合，形成彎曲彈性波共振帶隙。對于模態(tài)F3和F4，位移場為上板繞水平面內(nèi)中軸線旋轉(zhuǎn)振動的模態(tài)與雙層板垂直板面彎曲振動的模態(tài)相互耦合的結(jié)果。對于模態(tài)F5，位移場為下板作沿板方向的縱向振動，上板和中間振子基本保持靜止。對于模態(tài)F6，位移場為兩個周期的S型振子產(chǎn)生振動，上下板基本保持靜止。這是因為模態(tài)F6是能帶結(jié)構圖中臨界點的特征模態(tài)相對應的位移場，所以中間振子最上方開始存在小幅度的振動，這也剛好符合單層梁結(jié)構中對應的D6模態(tài)的位移場。其中，這6個模態(tài)中，F(xiàn)1～F5都是振動能量集中在一側(cè)板，而中間振子和另一側(cè)板基本保持靜止。對于模態(tài)F6，這個模態(tài)處于振子能帶結(jié)構圖臨界點，所以中間振子最上方開始存在小幅度的振動，但振動還是不能從一側(cè)板傳遞到另一側(cè)板。

為了進一步說明該衰減特性，給出了頻率落在衰減域的有限聲子晶體雙層梁結(jié)構的振型圖，如圖11(a)所示。這里，計算所用到的模型如圖9所示，激勵點施加縱向的位移激勵并且頻率點選為f=60 Hz。由圖11(a)可以看出，當激勵施加于下板時，振動無法通過上層板傳播，而僅僅可以通過下層板傳播?？偟膩碚f，當振源和響應域分別在雙層梁結(jié)構的異側(cè)時，可以被認為是一條在相應有限結(jié)構中振動衰減的帶隙被打開。而頻率落在非衰減域的有限雙層梁結(jié)構的振型圖，如圖11(b)所示，頻率點選為f=27 Hz?？梢钥闯?，當激勵施加于下板時，振動能很好的傳遞到上層板。

圖11 頻率落在不同區(qū)域的有限聲子晶體雙層梁結(jié)構的振型圖Fig.11 Mode diagrams of finite phononic crystal double-layer beam structures with frequencies falling in different regions

2.4 各參數(shù)對聲子晶體梁結(jié)構帶隙衰減頻段的影響規(guī)律

計算用到的參數(shù)與圖8(a)所示的參數(shù)一致，具體如表1和表2所示。鉛層厚度h3、上下板厚度e、晶格常數(shù)a、振子寬度m以及橡膠層厚度h1被選取為影響參數(shù)，用來研究幾何參數(shù)對帶隙衰減頻段的起始頻率、終止頻率和帶隙衰減寬度的影響規(guī)律。

對于局域共振型聲子晶體梁結(jié)構，由圖12(a)可以看到，隨著振子寬度的增大，帶隙衰減頻段的起始頻率略微升高，而終止頻率較大程度下降，此消彼長，帶隙寬度有較大的減少。由圖12(b)可以看到，晶格常數(shù)對帶隙衰減頻段和帶隙寬度影響不大，帶隙衰減頻段的起始頻率基本不變，終止頻率有微小的提升，而帶隙寬度變化不大。而隨著鉛層厚度的增大，帶隙衰減頻段的起始頻率和終止頻率均減小，帶隙寬度有一定程度的降低，如圖12(c)所示。帶隙衰減頻段和帶隙寬度與上下板厚度之間的關系，如圖12(d)所示。隨著上下板厚度的增大，帶隙衰減頻段的起始頻率基本不變，終止頻率微小的提升，因此帶隙寬度有十分微小的幅度增大。由圖12(e)可以看到，隨著橡膠層厚度的增大，帶隙衰減頻段的起始頻率和終止頻率均減小，而終止頻率減小的幅度更大，因此帶隙寬度也較小幅度降低。

圖12 各參數(shù)對聲子晶體梁結(jié)構帶隙衰減頻段的影響規(guī)律Fig.12 The influence of various parameters on band gap attenuation frequency of phononic crystal beam structure

3 結(jié) 論

針對工程中的振動噪聲控制問題，提出了一種聲子晶體梁結(jié)構，采用有限元法計算了該結(jié)構能帶結(jié)構、特征模態(tài)所對應的位移場以及相應有限周期雙層梁結(jié)構的振動傳輸曲線，對其展現(xiàn)出的帶隙特性進行了研究。對比分析了聲子晶體單層梁結(jié)構和聲子晶體雙層梁結(jié)構的帶隙特性，研究了單/雙層梁振動的通性。并研究了各參數(shù)對聲子晶體雙層梁結(jié)構帶隙衰減頻段的影響規(guī)律。結(jié)論概括為：

(1)通過對能帶結(jié)構和傳輸曲線進行分析，一條低頻率低并且?guī)遁^寬的帶隙可以被打開。對帶隙邊界能帶的特征模態(tài)相對應的位移場進行分析，帶隙的打開可以認為是中間振子的振動模態(tài)和上下板的板振動模態(tài)相互耦合作用的結(jié)果。此結(jié)構與對應的S型振子衰減頻域大致相同，且此結(jié)構由于中間S型振子的作用，在相應頻域內(nèi)對雙層梁結(jié)構有良好的隔振性能。

(2)對比分析了聲子晶體單層梁結(jié)構和聲子晶體雙層梁結(jié)構的帶隙特性，研究了單/雙層梁結(jié)構振動的通性。對于聲子晶體雙層梁結(jié)構，在特定頻率的減振降噪有良好的作用，而聲子晶體梁單層梁結(jié)構效果甚微。

(3)研究各參數(shù)對聲子晶體梁結(jié)構帶隙衰減頻段的影響規(guī)律，可以歸納為：①通過增加振子寬度，可以提高帶隙起始頻率，降低終止頻率從而導致帶隙寬度減少；②晶格常數(shù)和上下板厚度對帶隙起始頻率，終止頻率和帶隙寬度影響不大；③通過增加橡膠層和鉛層厚度，帶隙起始頻率，終止頻率和帶隙寬度均降低，且?guī)秾挾冉档头认嗖畈淮蟆?/p>