鑑美玉 柳曉鳴

(大連海事大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 遼寧 大連 116026)

0 引 言

多目標(biāo)跟蹤(Multiple Target Tracking，MTT)包括處理從多個(gè)目標(biāo)獲得的量測(cè)集以及估計(jì)目標(biāo)的當(dāng)前狀態(tài)[1-3]。解決MTT的難點(diǎn)在于目標(biāo)和量測(cè)之間未知的對(duì)應(yīng)關(guān)系。已有的MTT方法有聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)(Joint Probabilistic Data Association，JPDA)濾波器、多假設(shè)跟蹤器(Multiple Hypothesis Tracker，MHT)和基于隨機(jī)有限集(Random Finite Sets，RFS)的算法[4]。Mahler基于RFS理論提出了概率假設(shè)密度(Probability Hypothesis Density，PHD)濾波器，PHD在現(xiàn)階段依舊被應(yīng)用在目標(biāo)跟蹤研究中[5]，接著Vo等提出了基數(shù)概率假設(shè)密度(Cardinalised Probability Hypothesis Density，CPHD)濾波器，如文獻(xiàn)[6]應(yīng)用和高斯概率假設(shè)密度(Gaussian Mixture Probability Hypothesis Density，GM-PHD)濾波器[7-8]。

研究發(fā)現(xiàn)，PHD濾波器可以處理目標(biāo)的新生、存活和死亡。但是對(duì)于新生目標(biāo)的處理必須要求新生目標(biāo)強(qiáng)度已知，在處理問題時(shí)往往假設(shè)其已從量測(cè)中獲得并已知。PHD濾波器缺少在本質(zhì)上檢測(cè)新生目標(biāo)的功能，而新生目標(biāo)的檢測(cè)是多目標(biāo)跟蹤中重要部分。針對(duì)新生目標(biāo)跟蹤問題，García-Fernández等[9]提出泊松多伯努利混合(Poisson Multi-Bernoulli Mixture，PMBM)濾波器，并利用文獻(xiàn)[10]中的概率生成函數(shù)(Probability Generating Functionals，PGFS)和函數(shù)導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)出了基于共軛先驗(yàn)性質(zhì)的PMBM濾波器。本文將其應(yīng)用于新生目標(biāo)跟蹤研究中。

在MTT濾波中，考慮共軛先驗(yàn)是有優(yōu)勢(shì)的，在共軛先驗(yàn)中，后驗(yàn)分布可以明確地寫成單目標(biāo)貝葉斯更新的形式。PMBM濾波器的共軛先驗(yàn)由泊松過程和多伯努利混合(Multi-Bernoulli Mixture，MBM)的并集構(gòu)成。泊松部分表示在無雜波下從未檢測(cè)到的目標(biāo)(新生目標(biāo))，MBM部分表示至少檢測(cè)過一次的目標(biāo)(生存目標(biāo))。全局?jǐn)?shù)據(jù)關(guān)聯(lián)就是單目標(biāo)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)，每一個(gè)目標(biāo)量測(cè)都只對(duì)應(yīng)于一個(gè)目標(biāo)，并且指定了目標(biāo)基數(shù)上的分布而不是唯一基數(shù)。

本文提出一種基于PMBM濾波器的新生目標(biāo)跟蹤方法。針對(duì)多目標(biāo)無虛警研究，不需要假設(shè)新生目標(biāo)先驗(yàn)信息已知，僅根據(jù)量測(cè)信息來構(gòu)建新生目標(biāo)的強(qiáng)度信息。跟蹤的簡(jiǎn)要流程為根據(jù)量測(cè)信息將泊松過程的量測(cè)構(gòu)建為新生目標(biāo)，將符合MBM的量測(cè)建立存活目標(biāo)，并將兩者分別進(jìn)行預(yù)測(cè)、更新和修剪。并將本文算法與傳統(tǒng)GM-PHD算法進(jìn)行對(duì)比。

1 泊松多伯努利混合模型

1.1 泊松多伯努利RFS模型

基于RFS的方法中，目標(biāo)狀態(tài)和觀測(cè)值以有限集的形式表示。系統(tǒng)在k時(shí)刻的狀態(tài)被建模為一個(gè)集合Xk，在k時(shí)刻得到的一組測(cè)量值記作Zk，包括雜波、目標(biāo)產(chǎn)生的量測(cè)和未知的量測(cè)來源。到時(shí)刻為止接收到的所有測(cè)量集的序列記作[4]。

強(qiáng)度函數(shù)為λ(x)的非齊次泊松點(diǎn)過程(Poisson Point Process，PPP)的RFS密度函數(shù)為[12]:

(1)

式中：x為單個(gè)目標(biāo)的狀態(tài)；X為多個(gè)目標(biāo)的狀態(tài)；|X|為集基數(shù)表示泊松分布；x∈X為獨(dú)立同分布。泊松過程常用于未標(biāo)記的RFS濾波器中的雜波和新生目標(biāo)建模。

存在概率r和存在概率密度函數(shù)f(x)的伯努利過程的RFS密度函數(shù)為：

(2)

式中：|X|為集基數(shù)服從參數(shù)為r的伯努利分布。標(biāo)記的伯努利隨機(jī)有限集X是一個(gè)伯努利隨機(jī)有限集X和標(biāo)簽l的增廣組成對(duì)應(yīng)于非空的伯努利分量x，X={(x,l)}或X=?。伯努利過程可以獲得目標(biāo)存在和狀態(tài)的不確定性，它也被用于標(biāo)記RFS濾波器來模擬新生目標(biāo)。

(3)

1.2 貝葉斯濾波器遞歸

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，可以用基數(shù)分布c(n)和聯(lián)合條件狀態(tài)分布fn(x1,x2,…,xn|n)表示為:

(4)

式中：xi是x的第i個(gè)分量。并且?guī)?biāo)簽的RFS和不帶標(biāo)簽的RFS具有一樣的基數(shù)分布。

在式(4)所示的k時(shí)刻的多目標(biāo)分布，在給定k′時(shí)刻的所有量測(cè)條件下，k時(shí)刻的狀態(tài)集合的似然函數(shù)為fk|k′(Xk|Zk′)，fk(Zk|XK)為k時(shí)刻量測(cè)的似然函數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[4]，貝葉斯濾波器的狀態(tài)更新似然函數(shù)為:

fk|k(Xk|Zk)∝fk(Zk|Xk)fk|k-1(Xk|Zk-1)

(5)

式中：∝表示約等于。

貝葉斯濾波器狀態(tài)預(yù)測(cè)似然函數(shù)表示為：

(6)

貝葉斯濾波器的積分集合為：

xn})d(x1,x2,…,xn)

(7)

1.3 標(biāo)準(zhǔn)化點(diǎn)目標(biāo)轉(zhuǎn)換和量測(cè)模型

解決基于RFS的MTT問題的動(dòng)態(tài)點(diǎn)目標(biāo)轉(zhuǎn)換模型有以下假設(shè)[12]：

新生目標(biāo)根據(jù)PPP過程建立，獨(dú)立于生存目標(biāo)。在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)目標(biāo)保持生存概率Ps(x)。目標(biāo)下一時(shí)刻的狀態(tài)只取決于當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)。目標(biāo)運(yùn)動(dòng)遵循獨(dú)立同分布馬爾可夫過程，其狀態(tài)轉(zhuǎn)換密度為fk|k-1(xk|xk-1)。

多目標(biāo)模型的轉(zhuǎn)移概率

(8)

建立量測(cè)模型有以下假設(shè)：

每個(gè)目標(biāo)生成的量測(cè)只對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的目標(biāo)，單目標(biāo)量測(cè)似然函數(shù)為fk(zk|xk)。在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)中可能檢測(cè)到目標(biāo)也可能檢測(cè)不到，目標(biāo)檢測(cè)概率為Pd(x)。該傳感器可以接收非目標(biāo)(雜波)的測(cè)量(虛警)。在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，雜波服從PPP強(qiáng)度為λc(z)，獨(dú)立于目標(biāo)和目標(biāo)生成的量測(cè)。

多目標(biāo)量測(cè)模型的似然函數(shù)可以用卷積形式表示[12]：

(9)

式中：Tk是k時(shí)刻目標(biāo)生成量測(cè)；Ck是k時(shí)刻雜波量測(cè)。

1.4 泊松多伯努利混合濾波器

根據(jù)文獻(xiàn)[10]，MTT的PMBM過程的RFS密度函數(shù)是獨(dú)立PPP和MBM分量的線性組合，其形式可表示為：

(10)

(11)

每個(gè)數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)假設(shè)都是由單個(gè)目標(biāo)假設(shè){h1,h2,…,hN}對(duì)應(yīng)每個(gè)目標(biāo)。假設(shè)存在但從未被檢測(cè)到的目標(biāo)被視為未知目標(biāo)，用PPP分布表示。

在預(yù)測(cè)步驟中，描述已有軌跡的MBM和描述未知目標(biāo)的PPP分別被單獨(dú)預(yù)測(cè)。通過建立泊松出生模型，可以將新生目標(biāo)的PPP合并到預(yù)測(cè)的PPP中。在更新步驟中，PPP和MBM是獨(dú)立更新的。為每一次量測(cè)建立兩個(gè)單目標(biāo)假設(shè)，然后通過漏檢概率更新PPP強(qiáng)度。

2 線性高斯PMBM濾波算法

2.1 背景假設(shè)研究

在文獻(xiàn)[9]的共軛先驗(yàn)概率中，MBM有一個(gè)指標(biāo)j。j對(duì)應(yīng)一個(gè)全局假設(shè)，表示測(cè)量值與潛在目標(biāo)之間可能存在的關(guān)聯(lián)。全局假設(shè)可以用單目標(biāo)假設(shè)來表示。單目標(biāo)假設(shè)對(duì)應(yīng)于每個(gè)可能探測(cè)到目標(biāo)相關(guān)的一系列測(cè)量。給定一個(gè)單目標(biāo)假設(shè)，這個(gè)可能被探測(cè)到的目標(biāo)遵循伯努利分布。因此，每次測(cè)量都開始于一個(gè)新的單目標(biāo)假設(shè)[13]。在接下來的時(shí)間步長(zhǎng)中通過將以前的單目標(biāo)假設(shè)與當(dāng)前的測(cè)量值或誤檢值聯(lián)系起來去創(chuàng)建新的單目標(biāo)假設(shè)。在沒有不相關(guān)的量測(cè)并且一個(gè)量測(cè)只能分配給一個(gè)單一的目標(biāo)假設(shè)下即全局假設(shè)是這些單目標(biāo)的集合。

目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)選擇式(11)的MBM全局假設(shè)中最大的權(quán)重，則獲得的指標(biāo)為：

(12)

式中：j*的伯努利分量均值的存在概率大于閾值Γ。

2.2 預(yù) 測(cè)

假設(shè)在前一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的后驗(yàn)中，泊松分量強(qiáng)度的后驗(yàn)高斯混合密度為：

(13)

(14)

(15)

式中：FT為F的轉(zhuǎn)置。

2.3 更 新

(16)

從共軛先驗(yàn)更新中得到三種不同類型的更新：未檢測(cè)到目標(biāo)的更新(泊松分量)，第一次檢測(cè)到的潛在目標(biāo)更新和已檢測(cè)到的目標(biāo)更新。泊松部分的更新比較容易。將未檢測(cè)目標(biāo)的更新強(qiáng)度式(16)乘以1-pd。

(1) 第一次檢測(cè)到的潛在目標(biāo)更新(新生目標(biāo))。首先遍歷所有的泊松先驗(yàn)，并對(duì)量測(cè)值上執(zhí)行橢球形門控如文獻(xiàn)[9]選擇，以降低計(jì)算復(fù)雜度。對(duì)于那些可以根據(jù)門控輸出新軌跡的量測(cè)，我們執(zhí)行貝葉斯更新。z為量測(cè)，并給出了rp(z)存在的伯努利分量和目標(biāo)狀態(tài)密度函數(shù)pp(x|z)如：

rp(z)=e(z)/ρp(z)

(17)

pp(x|z)=p(z|x)μ(x)/e(z)

(18)

其中：

(19)

ρp(z)=e(z)+c(z)

(20)

式中：c(·)為雜波量測(cè)；e(z)為存在量測(cè)。為了降低計(jì)算復(fù)雜度，將式(19)中的高斯混合函數(shù)近似為高斯函數(shù)，并進(jìn)行矩陣匹配。確定新創(chuàng)建的MBM的假設(shè)權(quán)值，ρp(z)是假設(shè)權(quán)值wj,i首次在全局假設(shè)j下檢測(cè)到潛在目標(biāo)測(cè)量z。如果全局假設(shè)j不考慮這個(gè)可能被探測(cè)到的目標(biāo)wj,i=1，則將其存在概率設(shè)為0。

(2) 已檢測(cè)到的目標(biāo)更新(生存目標(biāo))。通過式(11)的遍歷創(chuàng)建單一目標(biāo)的假設(shè)，rj,i為全局假設(shè)為j的第i個(gè)目標(biāo)的生存概率，wj,i為全局假設(shè)為j的第i個(gè)目標(biāo)的權(quán)重?？傻靡褭z測(cè)到的目標(biāo)的高斯概率假設(shè)密度為：

(21)

2.4 基于k-Best方法全局假設(shè)的選擇

對(duì)于每一個(gè)全局假設(shè)j在前一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)中，必須通過所有可能的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)假設(shè)，從而產(chǎn)生更新的全局假設(shè)。這種全局假設(shè)的大量增加是共軛先驗(yàn)計(jì)算的瓶頸。然而，基于標(biāo)記RFS和MHT的文獻(xiàn)，通過使用Murty算法[15]修剪假設(shè)的數(shù)量來近似這一更新。通過該算法，可以在不評(píng)估所有新生成的全局假設(shè)的情況下，為給定的全局假設(shè)j選擇權(quán)值最高的k個(gè)新的全局假設(shè)。對(duì)于全局假設(shè)j，所有的量測(cè)(不包括門限濾除量測(cè))必須與全局假設(shè)j中的現(xiàn)有軌跡相關(guān)聯(lián)或與一個(gè)新軌跡相關(guān)聯(lián)，并且沒有未分配的測(cè)量。然后利用共軛先驗(yàn)的更新權(quán)值構(gòu)造相應(yīng)的代價(jià)矩陣。假設(shè)通過門限后在全局假設(shè)j中有n0個(gè)舊軌跡，m個(gè)量測(cè)z1,z2,…,zm。代價(jià)矩陣為：

C=-[ln(Wot,Wnt)]

(22)

式中：Wnt=diag(ρp(z1),ρp(z2),…,ρp(zm))，Wnt表示潛在檢測(cè)目標(biāo)的權(quán)值矩陣；Wot∈Rm×nj表示生存目標(biāo)的權(quán)值矩陣，nj為全局假設(shè)j中前一時(shí)刻潛在檢測(cè)到的目標(biāo)個(gè)數(shù)。Wot中的p、i表示第i個(gè)目標(biāo)相關(guān)聯(lián)的第p個(gè)量測(cè)。Wot為:

(23)

2.5 線性高斯PMBM算法流程

步驟1根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻量測(cè)集Z和前一時(shí)刻PMBM后驗(yàn)參數(shù)得到當(dāng)前時(shí)刻PMBM后驗(yàn)參數(shù)。

步驟2進(jìn)行多目標(biāo)預(yù)測(cè)。

步驟3進(jìn)行多目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更新。

步驟4修剪。剪去權(quán)值低于閾值的成分來修剪泊松部分。保持Nh最大的全局假設(shè)來修剪全局假設(shè)。刪除存在概率低于閾值或不出現(xiàn)在修剪后的全局假設(shè)中的伯努利分量。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

圖1 目標(biāo)真實(shí)軌跡

(a) RMS GOSPA誤差

(b) RMS GOSPA 位置誤差

(c) RMS GOSPA 虛假目標(biāo)誤差

(d) RMS GOSPA 漏檢目標(biāo)誤差圖2 GOSPA均方根四種誤差算法對(duì)比

表1給出了兩種算法GOSPA四種參數(shù)的對(duì)比。在本文算法GOSPA的誤差均方根減少47%，位置誤差均方根減少24%，錯(cuò)檢目標(biāo)誤差均方根減少32%和漏檢誤差均方根減少57%。仿真結(jié)果顯示，本文算法不僅跟蹤精度有所提高，而且還分別針對(duì)不同誤差進(jìn)行對(duì)比，可以進(jìn)一步研究更好改進(jìn)途徑。

表1 GOSPA均方根誤差算法對(duì)比

表2給出了兩種算法時(shí)間上的對(duì)比。從平均每次運(yùn)行時(shí)間可看出，本文算法時(shí)間消耗為傳統(tǒng)GM-PHD的4.55倍。GM-PHD需要新生目標(biāo)的先驗(yàn)信息，不需要重新去構(gòu)造出新生目標(biāo)的強(qiáng)度，從而在時(shí)間上應(yīng)用減少。但是需要先驗(yàn)信息的假設(shè)是不合理的，嚴(yán)重依賴先驗(yàn)信息，容易產(chǎn)生較大誤差，從而限制了其應(yīng)用。本文算法以時(shí)間消耗為代價(jià)提高了目標(biāo)的跟蹤性能。本文應(yīng)用MATLAB仿真沒有進(jìn)行算法優(yōu)化，下一步以計(jì)算機(jī)的并行處理此方面進(jìn)行時(shí)間改進(jìn)途徑。

表2 兩種算法運(yùn)行時(shí)間對(duì)比 單位:s

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)GM-PHD濾波算法需要先驗(yàn)的新生目標(biāo)強(qiáng)度，提出基于PMBM濾波算法。該算法由泊松過程和多伯努利混合形式的并集組成，將當(dāng)前時(shí)刻量測(cè)劃分為新生目標(biāo)量測(cè)和存活目標(biāo)量測(cè)，并且分別進(jìn)行線性高斯形式的泊松強(qiáng)度的新生目標(biāo)和多伯努利混合分布的生存目標(biāo)預(yù)測(cè)、更新和修剪。從實(shí)驗(yàn)仿真效果來看，本文算法可以在新生目標(biāo)未知的情況下有效地進(jìn)行跟蹤，其跟蹤精度、誤差優(yōu)于傳統(tǒng)的GM-PHD濾波算法。接下來可以用該算法去解決航跡初始建立問題和形成問題。