李乾陽 袁帥杰 楊錦 王勇 馬祖海 陳宇? 周新星?

1) (湖南師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,量子效應(yīng)及其應(yīng)用協(xié)同創(chuàng)新中心,低維量子結(jié)構(gòu)與調(diào)控教育部重點實驗室,長沙 410081)

2) (深圳大學(xué)微納光電子學(xué)研究院,二維材料光電科技國際合作聯(lián)合實驗室,深圳 510086)

磁光克爾效應(yīng)是指處于磁場中的光束在磁體表面發(fā)生反射時,反射光的偏振面相對入射光發(fā)生旋轉(zhuǎn)的物理現(xiàn)象,它反映了磁化強度對磁性材料光學(xué)性質(zhì)的影響.磁性介質(zhì)的磁光克爾效應(yīng)則由含磁光常數(shù)的介電張量表征,因此對磁光常數(shù)進行精確測量具有重要的科學(xué)意義.光子自旋霍爾效應(yīng)表現(xiàn)為光束在折射率不同的介質(zhì)界面上傳輸時由于自旋-軌道相互作用而產(chǎn)生的光子自旋分裂現(xiàn)象.過去大多數(shù)研究利用光子自旋霍爾效應(yīng)的橫向空間位移來表征磁光常數(shù).然而,現(xiàn)有工作只考慮了單個磁場方向的磁光克爾效應(yīng),并且由于微小的自旋空間位移而需要引入復(fù)雜的弱測量技術(shù).本文從理論上全面探究了3 種磁光克爾效應(yīng)條件下的面內(nèi)自旋角位移,發(fā)現(xiàn)通過改變磁場方向和磁性材料的厚度(考慮塊狀和超薄)可以實現(xiàn)對光子自旋霍爾效應(yīng)的有效操縱.同時,該研究提出了一種直接測量磁光常數(shù)的新方法,即通過直接觀測巨大的面內(nèi)自旋角位移來表征磁光常數(shù)的振幅與相位.該方法不需要引入弱測量系統(tǒng),不僅為磁光常數(shù)的測量提供了直接有效的探針,并且擴展了自旋光子學(xué)的相關(guān)研究.

1 引 言

近年來,磁性材料由于其獨特的光學(xué)和電磁特性,在磁存儲、自旋電子學(xué)和微電磁傳感器等諸多應(yīng)用中表現(xiàn)出良好性能[1?4].隨著磁性材料應(yīng)用多樣化的發(fā)展,對磁性測量技術(shù)的需求也在迅速增長.磁光克爾效應(yīng)[5]正是磁性材料磁性測量的基礎(chǔ)之一,具體表現(xiàn)為線偏振光在磁性材料表面反射時偏振面發(fā)生旋轉(zhuǎn),其旋轉(zhuǎn)角度?？梢杂脕肀碚髌浯艌龌虼判?磁光克爾效應(yīng)因其靈敏度高、非接觸和原位測量等優(yōu)點而被廣泛使用[6?11].作為磁光克爾效應(yīng)產(chǎn)生的重要物理原因,磁光常數(shù)的準確測量和表征具有重要的科學(xué)意義和應(yīng)用價值.

最近,有學(xué)者提出光子自旋霍爾效應(yīng)可應(yīng)用于磁性材料的研究[12?18].通過測量光子自旋霍爾效應(yīng)的橫向空間位移代替磁光克爾旋轉(zhuǎn)角來表征磁光常數(shù)的大小[19?21],并通過測量克爾旋轉(zhuǎn)角[20]的方法驗證了該方法的合理性和可行性.其中,光子自旋霍爾效應(yīng)是指線偏振光在兩種不同折射率的介質(zhì)表面上反射與折射時,左旋和右旋圓偏振光發(fā)生相對于原點的自旋相關(guān)分裂的物理現(xiàn)象[22],其物理機制取決于光子自旋-軌道相互作用[23?26].眾多研究[27?30]表明其引起的自旋分裂與介質(zhì)的參數(shù)以及入射光的偏振態(tài)都直接相關(guān).此外,光子自旋霍爾效應(yīng)在納米光子器件[31]、光學(xué)傳感[32,33]、精密計量[34,35]、量子信息處理[23]和等離子體[36]等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用.由于光子自旋霍爾效應(yīng)對介質(zhì)物理參數(shù)的變化具有非常敏感的特性和其自旋可操縱性,也常被應(yīng)用于不同材料領(lǐng)域的研究(包括晶體材料[37,38]、拓撲絕緣體[39,40]和石墨烯[41?43])和介質(zhì)物理參數(shù)的精確測量(例如確定金屬納米薄膜的厚度[44],檢測石墨烯的層數(shù)[45]和費米能級[46],以及測量原子級薄晶體光導(dǎo)率[47]).利用光子自旋霍爾效應(yīng)對于材料的物理參數(shù)極為敏感的特性,而磁性材料中磁光常數(shù)正是磁光克爾效應(yīng)產(chǎn)生的重要物理原因,正好可以將兩者相結(jié)合作為研究基礎(chǔ).盡管過去光子自旋霍爾效已被用于測量磁性材料的磁光常數(shù),但存在一定的局限性[19?21]: 1)大部分工作只考慮單一磁場方向的磁光克爾效應(yīng),且只考慮單個模型厚度的磁性材料(超薄或塊狀),因此在研究磁性材料的磁光常數(shù)時并不具備一般性;2)需要結(jié)合復(fù)雜的弱測量技術(shù),無法實現(xiàn)自旋位移的直接觀測.

基于上述問題,本文建立了不同厚度(塊狀和超薄)磁性材料的光束傳播模型,同時研究了3 種磁光克爾效應(yīng)(極向、縱向和橫向)下光子自旋霍爾效應(yīng)的面內(nèi)自旋角位移.在這些情況下產(chǎn)生的角位移隨著傳播距離的增大而增大,并且表現(xiàn)出非常大的位移值,這有利于直接觀測.研究發(fā)現(xiàn)當受磁場影響的磁光常數(shù)發(fā)生變化時,不同磁光克爾效應(yīng)情況下,面內(nèi)角位移會對應(yīng)產(chǎn)生不同的變化趨勢.因此,建立了位移與磁光常數(shù)的定量關(guān)系,通過測量平面內(nèi)角位移的大小來檢測磁光常數(shù)的振幅和相位.此外,面內(nèi)角位移對于磁光常數(shù)變化的敏感程度也不相同,需要對3 種磁光克爾效應(yīng)和不同的磁性材料厚度進行綜合分析討論.與以往的研究相比,此文不僅考慮了3 種磁光克爾效應(yīng)情況和不同厚度的磁性材料,還通過測量與橫向空間位移(納米量級)相比更大的面內(nèi)角位移(毫米量級)來直接表征磁光常數(shù).這對于磁光常數(shù)的研究是綜合全面的,且平面內(nèi)角位移可以直接被觀察,而不需要引入復(fù)雜的弱測量技術(shù),這減少了一些不可避免的測量誤差.此外,光子的自旋積累也可以通過改變磁場來調(diào)節(jié),這為操縱光子自旋霍爾效應(yīng)提供了新的自由度,也為檢測磁性材料的磁化強度提供了新的方法.最后,本研究擴展了光子自旋霍爾效應(yīng)與磁光效應(yīng)相結(jié)合的研究領(lǐng)域.

2 理論研究和方法

首先,分析磁光克爾效應(yīng)產(chǎn)生的原因: 從宏觀上看,磁性材料被磁化后會導(dǎo)致其介電張量中出現(xiàn)不對稱的非對角元素,從而使其光學(xué)性質(zhì)發(fā)生變化.因此,光和磁性材料之間的相互作用可以由下式帶有磁光常數(shù)的介電張量來表示[13,48]:

其中Q=i(εxy/εxx),Q表示為磁光常數(shù)[19,21],其表達式為Q=Q0exp(?iq),Q0為磁光常數(shù)的振幅,q為相位.mx,my,mz分別是磁化矢量M的方向余弦.該方程表明磁性材料的磁光常數(shù)與磁光克爾效應(yīng)直接相關(guān),過去的研究也證實了磁化強度對磁光常數(shù)有直接影響[20].

基于磁性材料(鐵)是否發(fā)生多重散射和材料厚度的影響,建立了塊狀鐵和超薄鐵的光束傳播模型,出于理論實驗考慮,需要將超薄鐵附加到較厚的玻璃表面.理論模型如圖1 所示.

圖1 中的磁化矢量M的方向決定了3 種不同的磁光克爾效應(yīng),包括極向克爾效應(yīng)(磁場矢量垂直于磁性介質(zhì)表面)、橫向克爾效應(yīng)(磁場矢量垂直于入射光的入射面)和縱向克爾效應(yīng)(磁場矢量平行于入射光的入射面).同時考慮到任意偏振光下左右旋分量產(chǎn)生非對稱角位移,故只提取了右旋圓偏振光作為研究對象.根據(jù)以往的研究,本文的模型沿用鐵作為磁性材料,其折射率為n=2.88+i3.05.由于磁性材料磁光常數(shù)不會隨著磁場強度的增大而無限增大,而是存在一個穩(wěn)定的飽和值,并且厚度在塊狀和超薄的情況下有所不同.對于塊狀鐵[13]和超薄鐵[18],其飽和磁光常數(shù)分別為Q=0.0215 exp[?i0.073] 和Q=0.0088 exp[?i0.1452] . 接下來,在已建立的光束傳播模型上推導(dǎo)帶有Q的角位移表達式.首先,分析入射光和反射光在傳播過程中的電場,入射光為有限角譜的高斯光束,其電場可表示為

圖1 磁性材料表面的光子自旋霍爾效應(yīng) (a),(b)高斯光束在塊狀鐵(空氣-鐵)和超薄鐵(空氣-鐵-玻璃)上的反射示意圖;(c),(d)右旋圓偏振分量(RCP)所產(chǎn)生的角位移 = 示意圖.塊狀鐵的厚度大于450 nm,超薄鐵厚度 d 滿足2π d|n1|λ ?1Fig.1.The photonic spin Hall effect on the surface of magnetic materials: (a),(b) Schematic diagram of Gaussian beam on bulk Fe(air-Fe) and ultrathin Fe (air-Fe-glass);(c),(d) schematic diagram of angular shifts = induced by right-handed circularly-polarized component (RCP).The thickness of bulk Fe is greater than 450 nm,which is considered an infinite thickness,and the thickness of ultrathin Fe satisfies 2 π d|n1|λ ?1 .

其中w0是束腰(w0=19.68 nm ),kix和kiy是入射光的面內(nèi)和橫向波矢分量.當光束在界面反射時,磁場產(chǎn)生的磁光克爾效應(yīng)會導(dǎo)致其偏振態(tài)發(fā)生變化.根據(jù),反射光束的電場表達式可以從傳輸模型中的反射矩陣MR和入射光束的電場中獲得.其線偏振光的偏振態(tài)通常用瓊斯矩陣 [ cosβ,sinβ]T來表示,其中β為光束偏振角.最后,反射光束[21,49]可以表示為

其中kry表示反射光的橫向波矢量,k表示真空波矢量,rpp,rps,rss,rsp為磁性材料的菲涅爾系數(shù)分量(以rps為例,表示為入射s 偏振光電場與反射p 偏振光電場之比).這些系數(shù)的表達式可以將反射光電場與磁光常數(shù)Q聯(lián)系起來.對于可以忽略多次反射的塊狀磁性材料,其菲涅爾系數(shù)可以表示為[50]

式中,n0和n1分別代表空氣和磁性介質(zhì)的折射率,θi代表光的入射角,θ1代表折射角.另一方面,對于厚度滿足 2 πd|n1|λ ?1 的超薄磁性材料,必須考慮多次反射,此時菲涅爾系數(shù)可表示為[50]

其中n0,n1,ns和θ1,θ2分別表示空氣、超薄磁性材料和非磁性材料的折射率及折射角.同時,非零菲涅爾系數(shù)rps和rsp是產(chǎn)生磁光克爾效應(yīng)的內(nèi)在原因,這與磁光常數(shù)密切相關(guān).由于光子自旋霍爾效應(yīng)中的光束在自旋-軌道相互作用下會分裂為左旋和右旋圓偏振光,得到反射光的電場后,其反射的左旋和右旋圓偏振光束分別表示為

最后,為了獲得角位移計算的準確結(jié)果,需要考慮面內(nèi)波矢量的影響,對其中菲涅爾系數(shù)需要進行泰勒展開.以入射波為s 偏振光,反射波為p 偏振光為例,即rps=rps(θi)+(?rps/?θi)(kix/k) .綜上所述,光子平面內(nèi)的角位移與磁光常數(shù)的關(guān)系可由下式得到:

式中Z表示光束反射后的傳播距離(Z=250 nm),偏振算子σ=±1 分別表示為左旋圓偏振光(+)和右旋圓偏振光(–),和分別表示為平面內(nèi)角位移和橫向角位移.通過磁光克爾效應(yīng)和光子自旋霍爾效應(yīng)之間的聯(lián)系,可以利用面內(nèi)角位移來表征磁性材料的磁光常數(shù)及其變化.最后,將所有公式結(jié)合即可獲得平面內(nèi)角位移的精確表達式:

式中,r1,r3,r5,r7和r2,r4,r6,r8分別對應(yīng)于rpp,rps,rss,rsp的實數(shù)和虛數(shù),ρ,?分別為rpp對入射角偏導(dǎo)的實部和虛部,γ,δ分別為rps對入射角偏導(dǎo)的實部和虛部,∈,ξ分別是rss對入射角偏導(dǎo)的實部和虛部,ι,κ分別為rsp對入射角偏導(dǎo)的實部和虛部.從(15)式可以看出,角位移與偏振角β存在依賴關(guān)系.

3 結(jié)果分析

為了探索角位移較大且對磁光常數(shù)變化敏感的范圍,在磁光常數(shù)飽和的3 種磁光克爾效應(yīng)情況下,用具有一定偏振角范圍內(nèi)的偏振光探測了面內(nèi)角位移的大小和變化情況.結(jié)果表明,特定的入射角和偏振角范圍內(nèi)塊狀鐵和超薄鐵模型中顯示出的面內(nèi)角位移值均非常巨大.從圖2 可以看出,Δbulk和Δultrathin在特定的入射角和偏振角下產(chǎn)生了非常大的角位移(高達1.2 mm).此外,入射角在一定變化范圍內(nèi)會經(jīng)過類布儒斯特角(反射接近為零),在其附近會產(chǎn)生較大角位移并且伴隨符號的反轉(zhuǎn),所以會出現(xiàn)角位移為零的現(xiàn)象.塊狀模型中的類布儒斯特角為 7 6.1?,超薄模型中的類布儒斯特角為 6 0.5?,其定義為菲涅爾系數(shù)rpp為零時的入射角.其中圖2(a)和(c)為極向克爾效應(yīng),圖2(b)和(d)為橫向克爾效應(yīng).可見,光子面內(nèi)角位移在塊狀鐵和超薄鐵的磁光常數(shù)飽和的情況下表現(xiàn)相似.此外,縱向克爾效應(yīng)的情況與上述兩種磁光克爾效應(yīng)相似,因此本文并未給出具體結(jié)果.

分別研究磁光常數(shù)的振幅和相位對光子面內(nèi)角位移的影響.為了探究面內(nèi)角位移對磁光常數(shù)振幅變化的敏感程度,固定磁光常數(shù)的相位并改變振幅.由于塊狀鐵和超薄鐵的飽和磁化磁光常數(shù)不同,因此將塊狀鐵的振幅從 0 增大到飽和值 0.0215,超薄鐵從 0 增大到飽和值 0.0088,相位設(shè)定分別為0.073 和 0.1452 .在特定入射角下,通過改變一定范圍內(nèi)的偏振角可以得到角位移與振幅的顯著變化關(guān)系,相較于圖2 來說更能呈現(xiàn)出角位移與偏振角的依賴關(guān)系.由圖3 可知,在偏振角為 2 4.2?附近塊狀鐵表面和在偏振角為 1.4?附近的超薄鐵表面的面內(nèi)角位移都具有最顯著的變化.同時,塊狀鐵在極向克爾效應(yīng)和橫向克爾效應(yīng)下,面內(nèi)角位移隨著振幅的增大而逐漸減小,并且在不同克爾效應(yīng)下隨著振幅的增大具有不同的減小程度.而超薄鐵產(chǎn)生的光子面內(nèi)角位移隨振幅的增大在極向克爾效應(yīng)下變化最為明顯,且角位移隨振幅的增大而減小.由于磁光常數(shù)會從零增大至飽和狀態(tài),在此區(qū)間內(nèi)角位移與磁光常數(shù)振幅呈現(xiàn)出反比關(guān)系,當磁光常數(shù)達到飽和時,角位移則會處于穩(wěn)定的狀態(tài).相反,在圖3(d)和(h)中,在橫向克爾效應(yīng)下,超薄鐵產(chǎn)生的面內(nèi)角位移不會隨著的振幅的增大而變化.其原因是在超薄鐵的光子自旋霍爾效應(yīng)中,橫向克爾效應(yīng)情況下的菲涅爾系數(shù)rps和rsp為零,且rpp和rss不包含磁光常數(shù)((9)和(11)式可知).而在縱向克爾效應(yīng)的情況下,塊狀鐵和超薄鐵的面內(nèi)角位移與極向克爾效應(yīng)類似,但其對于振幅的敏感程度也不同.可以看出,在不同磁光克爾效應(yīng)的情況下,面內(nèi)角位移對于磁光常數(shù)振幅的增大具有不同的變化趨勢.

值得注意的是右旋偏振光的電場分布圖[見圖3(e)—(h)中的插圖],它直接展示了右旋圓偏振光在分裂后的自旋偏移.其中橫向(水平方向)移動表示為平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角的移動,縱向(垂直方向)移動表示為橫向旋轉(zhuǎn)角的移動.圖2(e1)和2(f1) 分別為磁光常數(shù)振幅為 0 時,塊狀鐵在極向和橫向克爾效應(yīng)下產(chǎn)生的單個圓偏振光分量的電場分布,其角偏移非常明顯(Δ=0.445 mm).圖2(e2)和(f2)則顯示了振幅增至飽和后(Q0=0.0215)的電場分布,其極向克爾效應(yīng)下的面內(nèi)角位移偏移減小至0.170 mm,其橫向克爾效應(yīng)下的面內(nèi)角位移減小至–0.368 mm,可知其方向發(fā)生逆轉(zhuǎn).圖2(g1)和(h1)分別為磁光常數(shù)振幅為 0 時,超薄鐵在極向和橫向克爾效應(yīng)下產(chǎn)生的單個圓偏振光分量的電場分布,其角偏移同樣非常明顯(Δ=0.317 mm).圖2(g2)和(h2)則顯示了振幅增至飽和(Q0=0.0088)后的電場分布,其極向克爾效應(yīng)下的面內(nèi)角位移減小至0.059 mm,而在橫向克爾效應(yīng)下,無論振幅如何變化,電場分布都不會產(chǎn)生任何影響.因此,有了如此之大且變化明顯的電場分布,則更容易得到角位移與磁光常數(shù)振幅之間精確的定量關(guān)系.與之前微小的橫向自旋空間移研究相比,其左右旋轉(zhuǎn)圓偏振分量的電場分布疊加在一起,無法區(qū)分而必須使用弱測量技術(shù).而基于上述單圓偏振光電場分布,本文所提出的方法可以直接提取單個圓偏振分量,并利用探測器進行直接觀測.

為了研究面內(nèi)角位移對磁光常數(shù)相位的敏感程度,固定磁光常數(shù)的振幅并改變相位.塊狀鐵的振幅固定為 0.0215 ,相位從 0 增至飽和值 0.073 .超薄鐵的振幅固定為 0.0088 ,相位從 0 增大到 0.1452 .在圖4 中,塊狀鐵和超薄鐵的光子自旋霍爾效應(yīng)的面內(nèi)角位移對相位的敏感范圍與圖3 中不同磁光克爾效應(yīng)情況的特定范圍相同.在不同的磁光克爾效應(yīng)下,塊狀鐵和超薄鐵產(chǎn)生的面內(nèi)角位移對于磁光常數(shù)相位的增大也是具有不同的變化趨勢.可以看出,面內(nèi)角位移隨相位的增大而變化的趨勢與振幅相比有顯著差異,角位移隨相位的增大而增大,在一定范圍內(nèi)位移的變化很小.這是因為磁光克爾效應(yīng)中的磁化矢量(即外部磁場的影響)主要影響了材料磁光常數(shù)的振幅,而對相位的影響很小[19].根據(jù)圖3 和圖4 中的不同厚度的磁性材料和不同磁光克爾效應(yīng)下的面內(nèi)角位移隨振幅和相位相應(yīng)變化的結(jié)果,可知: 由于外磁場的強弱主要影響磁光常數(shù)振幅的變化[19],因此振幅變化對面內(nèi)角位移的影響也尤為明顯,而相位的變化對面內(nèi)角位移的影響雖然不如振幅變化那么明顯,但也存在一定的關(guān)聯(lián).

圖4 面內(nèi)角位移對磁光常數(shù)相位q (從0 增大到相應(yīng)的飽和值)的敏感程度 (a)—(d)顯示了在極向和橫向克爾效應(yīng)下塊狀鐵和超薄鐵的面內(nèi)角位移變化;(e)—(h)描述了在對應(yīng)于左圖的不同相位q 的角位移曲線Fig.4.Sensitivity of in-plane angular displacement on the magneto-optical constant phases q (increasing from 0 to the corresponding saturation value): (a)–(d) The variation of angular shifts of bulk Fe and ultrathin Fe under the Polar and Transverse Kerr effects;(e)–(h) the angular shift curves corresponding to their left panels at different phases q.

4 結(jié) 論

本文從理論上研究了3 種磁光克爾效應(yīng)情況下塊狀鐵和超薄鐵中的光子自旋霍爾效應(yīng),并進一步討論了光子面內(nèi)角位移與磁光常數(shù)振幅、相位之間定量關(guān)系.研究發(fā)現(xiàn),不同磁光常數(shù)下的面內(nèi)角位移具有不同的變化趨勢,并且可以通過測量角位移來間接表征磁光常數(shù)的振幅和相位.進一步研究表明,角位移對3 種不同的磁光克爾效應(yīng)有著不同程度的敏感性,可以根據(jù)面內(nèi)角位移隨磁光常數(shù)的變化趨勢來判斷不同種類的磁光克爾效應(yīng).本文還首次揭示了在橫向克爾效應(yīng)下超薄鐵的面內(nèi)角位移不隨磁光常數(shù)(振幅和相位)的變化而變化的物理機制.此外,角位移對于振幅的變化相比相位更敏感,塊狀鐵中的角位移敏感程度比超薄鐵大.該發(fā)現(xiàn)提供了一種控制磁性材料中不對稱自旋光子堆疊的方法,從而可實現(xiàn)磁性材料中的光子自旋操縱,在設(shè)計基于光子自旋的納米光子學(xué)器件與精密測量方面具有重要的理論指導(dǎo)意義.