岳雨霏 王旭紅 周臘吾 唐 欣 王 文 劉東奇 王偉平

（長(zhǎng)沙理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410114）

“電機(jī)學(xué)”作為電氣工程專(zhuān)業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，是“電路理論”“電磁場(chǎng)”“大學(xué)物理”等理論課程在電氣領(lǐng)域得以應(yīng)用的集大成者，也是“電力系統(tǒng)分析”“繼電保護(hù)”“電力電子技術(shù)”等專(zhuān)業(yè)核心課程的鋪路石[1]?！半姍C(jī)學(xué)”課程涉及范圍廣、內(nèi)容多，且電機(jī)中所蘊(yùn)含的物理場(chǎng)耦合作用復(fù)雜，同時(shí)與工程應(yīng)用實(shí)踐結(jié)合緊密，因而學(xué)生在聽(tīng)課過(guò)程中感覺(jué)難度頗大，高校教師在講授該門(mén)課程時(shí)需要較強(qiáng)的授課技巧，這對(duì)教師來(lái)說(shuō)是一項(xiàng)嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。

針對(duì)“電機(jī)學(xué)”課程在授課時(shí)存在的難度和問(wèn)題，國(guó)內(nèi)高校教師兵出奇招，從不同角度出發(fā)，采用多種形式對(duì)該門(mén)課程的教學(xué)方式進(jìn)行探索和改進(jìn)。付興賀等（2021）從對(duì)稱(chēng)美學(xué)的視角出發(fā)，對(duì)電機(jī)的物理模型、微分方程、機(jī)電控制結(jié)構(gòu)圖等原理所存在的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行解讀，并分析電機(jī)模型的對(duì)稱(chēng)特征，增加了電機(jī)學(xué)理論的藝術(shù)氣息[2]。肖冬亞等（2021）從改進(jìn)傳統(tǒng)教學(xué)法的思路著手，將翻轉(zhuǎn)課堂聯(lián)合問(wèn)題導(dǎo)向，提高學(xué)生在學(xué)習(xí)電機(jī)理論知識(shí)過(guò)程中的主動(dòng)性和參與度，從而提升教學(xué)效率[3]?；趯W(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)這一理念，李建文等（2021）將課程思政元素融入電機(jī)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，遵循“構(gòu)建知識(shí)體系→探究現(xiàn)象本質(zhì)→制訂實(shí)驗(yàn)方案→提煉科學(xué)問(wèn)題”的教學(xué)思路和目標(biāo)，將“發(fā)掘科學(xué)規(guī)律→培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)意識(shí)→鍛煉合作協(xié)同能力→樹(shù)立科學(xué)探索精神和愛(ài)國(guó)主義情懷”的思政教育融入這一目標(biāo)中，幫助學(xué)生樹(shù)立正確的科學(xué)觀和世界觀[4]。王明杰等（2021）則從理論與實(shí)踐相融合的角度，將實(shí)習(xí)實(shí)訓(xùn)與電機(jī)理論知識(shí)有機(jī)結(jié)合，并實(shí)踐認(rèn)知，在課堂上引入工程問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考；同時(shí)開(kāi)啟課外討論小組，培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)軟件編程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣[5]。

上述思路分別從“電機(jī)學(xué)”課程的理論研究和教學(xué)方法等方面進(jìn)行了探索和改進(jìn)。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生普遍存在基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)的問(wèn)題，迫切需要較為詳細(xì)和邏輯清晰的電機(jī)理論的闡述，而上述方法必須建立在學(xué)生對(duì)理論掌握程度較高的基礎(chǔ)上才能順利實(shí)施，因此，亟須探索一種結(jié)合所學(xué)知識(shí)的類(lèi)比方法?！半娐防碚摗迸c“電機(jī)學(xué)”同為電氣工程專(zhuān)業(yè)的基礎(chǔ)課，通常在本科一、二年級(jí)開(kāi)設(shè)，為“電機(jī)學(xué)”提供良好的理論鋪墊，同時(shí)，“電路理論”課程與“電機(jī)學(xué)”課程開(kāi)課時(shí)間十分接近，因而學(xué)生在開(kāi)始接觸電機(jī)學(xué)時(shí)已具備較好的電路理論基礎(chǔ)。為此，本文提出將“電路理論”與“電機(jī)學(xué)”的知識(shí)體系進(jìn)行類(lèi)比的教學(xué)研究思路。田社平等（2021）指出電路理論可應(yīng)用于非電學(xué)科，通過(guò)分析電路定理、向量法和互易定理在機(jī)械力學(xué)中的類(lèi)比應(yīng)用，證明了電路理論具有廣闊的應(yīng)用前景[6]。李濤等（2021）利用電路理論分析城市景觀生態(tài)安全格局的構(gòu)建方法，更體現(xiàn)了電路學(xué)知識(shí)與不同研究領(lǐng)域的兼容性[7]。

本文從電路定理出發(fā)，通過(guò)分析一階電路全響應(yīng)機(jī)理、電路的歐姆定律和基爾霍夫定律的建模本質(zhì)，以及電路疊加定理的深層含義，提煉出類(lèi)似電路定理所蘊(yùn)含的一般規(guī)律和共性問(wèn)題，總結(jié)電路定理所涉及的物理場(chǎng)廣義模型，并提取共性特征。基于這一模型和關(guān)鍵特征，分析電機(jī)學(xué)中的溫度場(chǎng)和磁場(chǎng)建模思路和研究方法，簡(jiǎn)化電機(jī)中抽象的物理現(xiàn)象，深度解讀物理場(chǎng)中復(fù)雜的耦合關(guān)系，以期增強(qiáng)學(xué)生在已知問(wèn)題基礎(chǔ)上對(duì)新問(wèn)題的領(lǐng)悟能力，使學(xué)生的知識(shí)遷移能力得到提升，從而進(jìn)一步提高“電機(jī)學(xué)”的教學(xué)效率。

1 一階電路全響應(yīng)模型與電機(jī)的發(fā)熱和冷卻建模的共性問(wèn)題

1.1 直流激勵(lì)下的一階電路全響應(yīng)模型

圖1中，（a）為直流激勵(lì)下的一階電路，假設(shè)電容電壓uC初始值為U0，閉合開(kāi)關(guān)S，根據(jù)基爾霍夫電壓定律（Kirchhoff’s voltage law,KVL）可得：

式（1）中，uR=iR，電流i由電容決定，可表示為i=CduC/dt，代入式（1）可得一階電路微分方程為

根據(jù)電路學(xué)理論，求解方程（2）可得一階電路電容電壓在t≥0時(shí)的全響應(yīng)表達(dá)式為：

式（3）中，T0=RC，為電路時(shí)間常數(shù)。

由式（3）可知，在一階電路全響應(yīng)uC中，第一項(xiàng)為方程特解，與圖1（a）中直流激勵(lì)源變化規(guī)律相同，表示穩(wěn)態(tài)分量；第二項(xiàng)為方程通解，不受激勵(lì)源影響，隨時(shí)間衰減，表示瞬態(tài)分量。綜合一階電路研究思路，

圖1 一階電路模型和電機(jī)傳熱等效模型

令某一物理場(chǎng)系統(tǒng)中待分析的物理量初始值為f（0+），穩(wěn)態(tài)解為f(∞)，利用三要素法提煉得到該系統(tǒng)全響應(yīng)f(t)表示為：

利用式（4）可得到物理場(chǎng)變量的最終狀態(tài)，若要分析變量的狀態(tài)變化過(guò)程，則將式（4）變換得到全響應(yīng)的狀態(tài)表達(dá)式為：

1.2 電機(jī)發(fā)熱和冷卻模型

基于公式（4）和（5）的物理場(chǎng)全響應(yīng)表達(dá)式，推導(dǎo)電機(jī)發(fā)熱和冷卻過(guò)程的數(shù)學(xué)模型?？紤]到電機(jī)內(nèi)部發(fā)熱和傳熱過(guò)程本質(zhì)上屬于溫度場(chǎng)問(wèn)題，因而將電機(jī)視為表面溫度和散熱能力均勻分布的質(zhì)等溫體。首先，根據(jù)能量守恒定律和圖1（a）的電路模型，建立圖1（b）所示電機(jī)傳熱等效模型。

假設(shè)等溫體質(zhì)量為m，初始溫升為τ0，閉合開(kāi)關(guān)S，單位時(shí)間產(chǎn)熱Q，散熱Qs，物體內(nèi)能增加量為ΔQ，根據(jù)熱力學(xué)定律和圖1（b）可得：

式（6）中，ΔQ=mγ，γ由物體單位時(shí)間內(nèi)的溫升決定，表示為γ=cdτ/dt（c為比熱容量），散熱Qs=λAτ，代入式（6）可得等溫體熱能微分方程為：

由式（2）和（3）可知，方程（7）中溫升的穩(wěn)態(tài)解τ∞和時(shí)間常數(shù)T可分別表示為：

則式（4）中的三要素在等溫體熱能模型中分別代表f(∞)=τ∞，f(0+)=τ0，T0=T，因此電機(jī)溫升τ(t)的全響應(yīng)表達(dá)式為：

由式（9）可知，電機(jī)發(fā)熱過(guò)程中，隨著時(shí)間延長(zhǎng)，溫升最終會(huì)穩(wěn)定至τ∞。將式（9）根據(jù)式（5）進(jìn)行變換，可得溫升變化過(guò) 程表達(dá)式為：

式（10）中，電機(jī)發(fā)熱階段，從環(huán)境溫度開(kāi)始上升，初始溫升τ0=0，溫升達(dá)τ∞時(shí)發(fā)熱過(guò)程達(dá)到平衡狀態(tài)，產(chǎn)熱和散熱穩(wěn)定進(jìn)行，表示溫升的零狀態(tài)響應(yīng)，則電機(jī)發(fā)熱函數(shù)可寫(xiě)作

當(dāng)處于冷卻階段時(shí)，電機(jī)內(nèi)部不再產(chǎn)生熱量，即Q=0，則τ∞=0，溫升最終降至初始溫升τ0，電機(jī)溫度與環(huán)境溫度相同，表示溫升的零輸入響應(yīng)，因而電機(jī)冷卻函數(shù)可表示為：

通過(guò)對(duì)一階電路全響應(yīng)模型進(jìn)行規(guī)律總結(jié)，可提煉得到任一物理場(chǎng)的全響應(yīng)廣義模型，筆者利用該模型對(duì)電機(jī)發(fā)熱和冷卻過(guò)程的溫升情況進(jìn)行建模分析，證明了該全響應(yīng)廣義模型同樣適用于電機(jī)內(nèi)部溫度場(chǎng)分析。教師在講解電機(jī)熱模型時(shí)，可首先指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“電路理論”中一階電路全響應(yīng)數(shù)學(xué)解析式的推導(dǎo)過(guò)程，然后將電機(jī)熱模型與一階電路等效模型進(jìn)行類(lèi)比分析，指出二者之間的相似處，并從電路全響應(yīng)建模過(guò)程提取共性特征，基于該特征推導(dǎo)電機(jī)熱模型，進(jìn)而得到電機(jī)發(fā)熱和冷卻模型，幫助學(xué)生深刻理解電機(jī)傳熱和散熱的物理過(guò)程。

2 電路與電機(jī)磁路的歐姆定律與基爾霍夫模型的共性問(wèn)題

2.1 歐姆定律

圖2（a）中，在電路兩端施加電壓源u，則回路中電流i與u的參考方向一致，在任何時(shí)刻u和i遵從歐姆定律，R為等效電阻，其表達(dá)式為

圖2 電路與磁路歐姆定律等效電路

對(duì)于電路歐姆定律所涉及的基本模型，可解讀為，在一個(gè)二端口閉合回路中，在回路一側(cè)兩端施加一激勵(lì)源，則產(chǎn)生流通閉合路徑的物理量，該物理量與激勵(lì)源取關(guān)聯(lián)參考方向，則任何時(shí)刻，二者都滿(mǎn)足確定的比例關(guān)系。由此，磁路歐姆定律的建模思路可理解為，在一個(gè)閉合單孔鐵芯磁路中，在一側(cè)兩端施加磁勢(shì)源F（由N匝通入電流i的線(xiàn)圈產(chǎn)生，即F=N i），則在鐵芯中產(chǎn)生流通整個(gè)磁路的磁通Φ，如圖2（b）所示，Φ與i的方向滿(mǎn)足右手螺旋定則，則F和Φ遵循如下比例關(guān)系：

式（14）中，Rm為鐵芯磁路的磁阻。

2.2 電路KCL與磁路基爾霍夫第一定律的類(lèi)比

圖3（a）表示電路基爾霍夫電流定律（Kirchhoff’s current law,KCL）原理，即流入結(jié)點(diǎn)與流出結(jié)點(diǎn)的電流量相等，如式（15）所示。電路KCL本質(zhì)模型可解讀為，在帶有支路的回路中，取支路結(jié)點(diǎn)或截面，通過(guò)該點(diǎn)或面的物理量代數(shù)和為0。在磁場(chǎng)中，區(qū)別于電流，磁通以面積作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，因而磁路基爾霍夫第一定律的建模思路可定義為，在帶有支路的鐵芯磁路中，如圖3（b）所示，取支路截面，通過(guò)該截面的磁通量代數(shù)和為0，如式（16）所示。

圖3 電路KCL與磁路基爾霍夫第一定律等效電路

2.3 電路KVL與磁路基爾霍夫第二定律的類(lèi)比

圖4（a）為電路KVL原理，即閉合電路回路內(nèi)電壓代數(shù)和為0，如式（17）所示。電路KVL本質(zhì)模型可解讀為，在閉合回路中，沿回路內(nèi)規(guī)定正方向繞行一周的物理量代數(shù)和為0。則磁路基爾霍夫第二定律建模思路為，如圖4（b）所示任一閉合磁路內(nèi)，磁動(dòng)勢(shì)代數(shù)和為0，磁路①的基爾霍夫第二定律方程如式（18）所示。

圖4 電路KVL與磁路基爾霍夫第二定律等效電路

在講解電機(jī)磁路三大定律時(shí)，教師應(yīng)首先幫助學(xué)生回顧電路三大定律，引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)電路定律平衡方程的列寫(xiě)規(guī)律，強(qiáng)調(diào)各定律對(duì)應(yīng)電氣量所處的物理環(huán)境（節(jié)點(diǎn)或回路），然后以電路定律作為類(lèi)比對(duì)象，依次列寫(xiě)磁路定律平衡方程，并總結(jié)電路和磁路方程的共同點(diǎn)，提高學(xué)生對(duì)磁路知識(shí)的理解和掌握能力。

3 電路疊加定理與電機(jī)dq軸電樞反應(yīng)建模的共性問(wèn)題

3.1 電路疊加定理

圖5（a）所示電路包含兩個(gè)激勵(lì)源——獨(dú)立電壓源us和獨(dú)立電流源is，疊加定理要求分別分析us和is單獨(dú)作用時(shí)的電路響應(yīng)，如圖5（b）和（c）所示，再疊加可得式（19）所示全響應(yīng)i2和u1。因此，疊加定理本質(zhì)可解讀為，當(dāng)物理場(chǎng)中存在多個(gè)激勵(lì)源共同作用于某系統(tǒng)時(shí)，可分析各激勵(lì)源獨(dú)立作用下電路的響應(yīng)情況，當(dāng)一個(gè)激勵(lì)源作用時(shí)，其他激勵(lì)源賦值0，最后將各獨(dú)立源響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行疊加，得到系統(tǒng)全響應(yīng)。

圖5 電路疊加定理

3.2 根據(jù)疊加定理分析電機(jī)電樞反應(yīng)

直流電機(jī)穩(wěn)態(tài)過(guò)程可近似看作線(xiàn)性模型，當(dāng)電刷偏離中性線(xiàn)時(shí)，電機(jī)的電樞反應(yīng)可等效為交軸、直軸反應(yīng)效果的疊加，如圖6所示。圖6（a）通過(guò)作物理中性線(xiàn)ab關(guān)于幾何中性線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的輔助線(xiàn)a' b'，將電刷偏離時(shí)的電樞電路分解為圖6（b）和圖6（c）所示等效電路的疊加形式。圖6（b）的上下對(duì)稱(chēng)電路可得到交軸磁勢(shì)Faq的電樞反應(yīng)，圖6（c）的左右對(duì)稱(chēng)電路可得到直軸磁勢(shì)Fad的作用效果。最后綜合Faq和Fad的電樞反應(yīng)作用。

圖6 直流電機(jī)電樞反應(yīng)疊加原理

在論述電機(jī)電樞反應(yīng)原理過(guò)程中，應(yīng)引入疊加的概念，首先講解電路疊加定理的推導(dǎo)思路是將多激勵(lì)源電路進(jìn)行分解，分別分析獨(dú)立激勵(lì)源作用下的電路響應(yīng)，再進(jìn)行線(xiàn)性疊加。在此思路的基礎(chǔ)上，指出電路疊加定理雖然僅用于線(xiàn)性齊次系統(tǒng)，但這種先分解后疊加的思想依然可應(yīng)用于電樞反應(yīng)原理分析。然后類(lèi)比這種數(shù)學(xué)思想對(duì)同時(shí)存在交、直軸電樞反映的情況進(jìn)行描述，并對(duì)如何判斷兩種電樞反應(yīng)的磁勢(shì)方向和作用分別進(jìn)行講解，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)“電機(jī)學(xué)”課程的研究興趣。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)“電機(jī)學(xué)”和“電路理論”課程所涉及的物理場(chǎng)建模和電路定理所存在的共性問(wèn)題進(jìn)行了討論和分析。首先，通過(guò)提煉電路建模過(guò)程的規(guī)律性結(jié)論和共性問(wèn)題，總結(jié)得到適用于物理場(chǎng)子系統(tǒng)的廣義建模方法，并提取模型關(guān)鍵特征。然后，將該建模思路遷移到電機(jī)物理場(chǎng)建模理論中，推導(dǎo)得到電機(jī)發(fā)熱和冷卻模型、磁路歐姆定律和基爾霍夫定律以及電機(jī)磁場(chǎng)的dq軸電樞反應(yīng)分析模型。由推導(dǎo)解析式可知，利用該建模思路得到的電機(jī)物理場(chǎng)模型與電機(jī)教材理論模型一致，證明了本文對(duì)電路定理和電機(jī)物理場(chǎng)共性特征提取的正確性。這種研究思路有利于培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力，同時(shí)能夠顯著提高教師教學(xué)的趣味性，調(diào)動(dòng)學(xué)生聽(tīng)課積極性，是一種增強(qiáng)“電機(jī)學(xué)”課程教—研—學(xué)過(guò)程有效性的新機(jī)制。