黃紅成

數(shù)學(xué)核心知識是具有較強(qiáng)解釋能力、生長能力和遷移能力的數(shù)學(xué)知識，通常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算規(guī)律及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法等，其中扮演知識框架承重點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn)、發(fā)生點(diǎn)和連接點(diǎn)等角色的即為數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識。由于這些核心知識是高度概括、合理簡化和科學(xué)遴選的結(jié)果，所以教師教學(xué)時需要著眼總體進(jìn)行長程設(shè)計(jì)，采用凸顯式的教學(xué)方法來挖掘其內(nèi)涵，以顯現(xiàn)其地位和價值。

一、長程設(shè)計(jì)、凸顯式教學(xué)與數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識

長程設(shè)計(jì)也可以稱為整體設(shè)計(jì)、總體設(shè)計(jì)等，可以看作各個階段設(shè)計(jì)的集中和不同過程設(shè)計(jì)的整合。對數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識來說，長程設(shè)計(jì)是指依據(jù)知識之間存在的內(nèi)在邏輯關(guān)系和學(xué)生的階段認(rèn)知特征設(shè)計(jì)的長線教學(xué)過程。長程設(shè)計(jì)關(guān)注落實(shí)過程中知識教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的階段性，也注重知識教學(xué)前后或整體的一致性，是教學(xué)目標(biāo)階段性和一致性的統(tǒng)一。

凸顯即清楚地顯露。凸顯式教學(xué)是一種將知識的表征、內(nèi)涵等予以直觀呈現(xiàn)，以突出知識的本質(zhì)和內(nèi)涵，并能讓學(xué)生掌握和領(lǐng)悟的教學(xué)方式。凸顯式教學(xué)的表現(xiàn)形式多樣，聚焦核心問題、放大教學(xué)環(huán)節(jié)、拉長教學(xué)過程等是其主要形式。數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識多表現(xiàn)為抽象、濃縮或簡化后的知識、概念、思想、方法等，在數(shù)學(xué)知識序列中發(fā)揮著貫通前后、承上啟下等作用，通常需要以文字、圖形、符號、式子等形式將其凸顯出來，以引起學(xué)生的重視。

概言之，數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識的教學(xué)，不僅需要長程設(shè)計(jì)、整體設(shè)計(jì)和階段設(shè)計(jì)、過程設(shè)計(jì)，也需要在起始階段或獨(dú)立教學(xué)中通過拉長教學(xué)過程、增設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)、凸顯知識本質(zhì)等，著力于起始階段教學(xué)目標(biāo)的設(shè)置和達(dá)成，講求起始教學(xué)的階段性和整體設(shè)計(jì)的一致性，為促進(jìn)學(xué)生的知識生長、能力孕育、思維進(jìn)階等提供可能和支撐。

二、基于長程設(shè)計(jì)的小學(xué)數(shù)學(xué)各領(lǐng)域起點(diǎn)型核心知識的凸顯式教學(xué)

1.在圖形教學(xué)的概念分析中開展凸顯式教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識的主要表現(xiàn)形式之一，也是圖形教學(xué)中最常見的內(nèi)容，是學(xué)生判斷和解決問題的重要依據(jù)，對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)認(rèn)知和數(shù)學(xué)理解具有一定的支撐作用。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中采用凸顯式的教學(xué)方式，是提高數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識教學(xué)實(shí)效的一條重要路徑。

以“高”這一概念的教學(xué)為例。學(xué)生通常認(rèn)為“高”是垂直方向點(diǎn)（或面）到點(diǎn)（或面）之間的距離，這與圖形中的“高”可以看作一條特殊位置的線段（即“兩個特定點(diǎn)之間的距離”）有一定差異。蘇教版教材首次揭示“高”的概念是在四下《認(rèn)識三角形》這節(jié)課中，借助人字梁讓學(xué)生結(jié)合已有知識經(jīng)驗(yàn)判斷和認(rèn)識“高”。學(xué)生根據(jù)人字梁中高的“樣子”概括出高的定義——“從三角形的一個頂點(diǎn)到對邊的垂直線段是三角形的高”。如此操作，學(xué)生對高的理解仍然不夠深入。教師教學(xué)時可以增設(shè)以下類似環(huán)節(jié)：（1）動態(tài)演示。先將人字梁抽象成三角形并引出高（保留高），然后將三角形旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中采用定格的方式讓學(xué)生積累“頂點(diǎn)和底邊發(fā)生變化，高的位置也會發(fā)生變化”等認(rèn)識。（2）對應(yīng)“點(diǎn)”“邊”。讓學(xué)生找出對應(yīng)的頂點(diǎn)和高，依次出示圖1和圖2，讓學(xué)生知道“每個頂點(diǎn)都有固定的底邊，每條底邊也有對應(yīng)的頂點(diǎn)”。（3）變式教學(xué)。只改變底邊的長度或只移動頂點(diǎn)的位置，讓學(xué)生知道“底邊位置確定了，頂點(diǎn)的位置不同，高往往不同”“底邊的長度不同，但是頂點(diǎn)的位置不變，高可能相同”等。

（圖1）

（圖2）

上述教學(xué)中的每個環(huán)節(jié)都針對高的內(nèi)涵而設(shè)計(jì)，前兩個環(huán)節(jié)是讓學(xué)生學(xué)會判斷高，不僅為學(xué)生畫高打下了堅(jiān)實(shí)的認(rèn)知基礎(chǔ)，也為他們后續(xù)學(xué)習(xí)立體圖形中的高作好了鋪墊；第三個環(huán)節(jié)有助于強(qiáng)化高的表象，豐富學(xué)生對高的外延的認(rèn)知。這樣，既能凸顯高的本質(zhì)（兩個特定點(diǎn)之間的距離），也為學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中自覺運(yùn)用已有知識來同化或順應(yīng)其他圖形中“高”的意義打下了基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識的內(nèi)涵和本質(zhì)在長程學(xué)習(xí)中的一致性。

2.在運(yùn)算教學(xué)的意義認(rèn)知中開展凸顯式教學(xué)

運(yùn)算的意義是數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識的重要組成部分，是運(yùn)算教學(xué)的核心內(nèi)容，教師教學(xué)時需要讓學(xué)生準(zhǔn)確把握運(yùn)算意義的內(nèi)涵，展現(xiàn)數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識的順應(yīng)、同化、遷移等作用，凸顯式教學(xué)有利于上述諸多教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。

以“除法的意義”的教學(xué)為例。長線審視，小學(xué)層面關(guān)于除法的教學(xué)與應(yīng)用大致可分為三個階段——除法意義的教學(xué)和整數(shù)范圍內(nèi)除法的應(yīng)用、小數(shù)除法的意義及應(yīng)用、分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）除法的意義及應(yīng)用。其中，真正有助于學(xué)生建立除法意義的是整數(shù)階段的教學(xué)，后面兩個階段多為引導(dǎo)學(xué)生借助對乘法和除法之間的關(guān)系以及問題解決經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識來學(xué)習(xí)除法問題。在教學(xué)中，學(xué)生在整數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于除法意義的認(rèn)識比較清晰，當(dāng)教學(xué)對象擴(kuò)展到小數(shù)和分?jǐn)?shù)領(lǐng)域，他們對除法的理解和應(yīng)用經(jīng)常出現(xiàn)困難，在解決類似“1.5千克小麥可以磨1.2千克面粉，照這樣計(jì)算，磨1千克面粉需要多少千克小麥？”的問題時，往往會顯現(xiàn)出對除法意義認(rèn)知的混亂。為此，教師教學(xué)“平均分”之后，可以結(jié)合教材編擬的“6個小朋友坐纜車，每車坐2人，要坐（ ）車”等問題，讓學(xué)生用小棒代替小朋友來表示題意，再根據(jù)題意理解除法算式的意義，然后進(jìn)行如下即時練習(xí)：一是根據(jù)前面“平均分”的學(xué)習(xí)素材和問題，思考“6÷2”可以表示怎樣的問題并舉例說明，讓學(xué)生將內(nèi)化的除法意義進(jìn)行外顯，豐富他們關(guān)于除法意義的數(shù)學(xué)表象和認(rèn)知，為其運(yùn)用除法意義進(jìn)行判斷或解決問題建立認(rèn)識支撐；二是比一比平均分的對象的個數(shù)和平均分的份數(shù)、每份的個數(shù)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的起始階段認(rèn)識到“平均分的對象的個數(shù)不少于平均分的份數(shù)或每份的個數(shù)”，關(guān)注除法各部分之間的大小關(guān)系，從不同維度感受和認(rèn)識除法算式，強(qiáng)化其對除法意義的認(rèn)識。

3.在統(tǒng)計(jì)教學(xué)的引入環(huán)節(jié)開展凸顯式教學(xué)

統(tǒng)計(jì)教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，學(xué)生數(shù)據(jù)意識的形成與發(fā)展是統(tǒng)計(jì)教學(xué)的核心問題，需要教師精心創(chuàng)設(shè)凸顯數(shù)據(jù)分析的教學(xué)情境，促進(jìn)學(xué)生理解統(tǒng)計(jì)知識的作用。

以“分段整理”的引入為例?！胺侄握怼笔窃趯W(xué)生學(xué)習(xí)了簡單數(shù)據(jù)或?qū)ο蟮恼砗徒y(tǒng)計(jì)方法之后，對數(shù)據(jù)區(qū)間較大的統(tǒng)計(jì)對象進(jìn)行的分析和整理，通常置于復(fù)式統(tǒng)計(jì)圖的教學(xué)之前，因而這節(jié)課可以看成數(shù)據(jù)意識培養(yǎng)的起始課題。如果依照教材按部就班地出示原始數(shù)據(jù)后直接進(jìn)行統(tǒng)計(jì)方法的教學(xué)，學(xué)生雖然可以掌握整理的方法，但對于“為什么要分段整理？”“為什么這樣分段？”等問題往往會一頭霧水，難以感受到分段整理的意義，也難以形成數(shù)據(jù)意識。教師教學(xué)時不妨設(shè)置如下兩個問題——（1）出示學(xué)校鼓號隊(duì)員集體照，提問：學(xué)校準(zhǔn)備給24名鼓號隊(duì)員購買服裝，需要考慮哪些問題？依據(jù)什么來購買服裝？交流時，基于學(xué)生的回答明確“根據(jù)隊(duì)員的身高來購買比較合適”和“根據(jù)隊(duì)員的身高來確定服裝的型號”；（2）出示鼓號隊(duì)員的身高數(shù)據(jù)，追問：鼓號隊(duì)有24名隊(duì)員，他們的身高有高有矮，是不是需要給每個隊(duì)員確定一種型號呢？由于問題不切實(shí)際，所以學(xué)生紛紛回答“不可能”?！凹热徊荒芤粋€身高定一種型號，那么該怎樣來確定型號呢？”學(xué)生能夠根據(jù)生活實(shí)際想出“將130幾厘米、140幾厘米、150幾厘米等分別定為一種型號”的方法，然后再進(jìn)行數(shù)據(jù)整理。上述情境中，學(xué)生在考慮購買服裝的相關(guān)因素時，需要結(jié)合生活實(shí)際進(jìn)行分析，認(rèn)識到不同的身高需要購買不同型號的服裝，并且“不可能有一種身高就來確定一種型號”，進(jìn)而產(chǎn)生對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行“分類和整理”的需要，使得分段整理的出現(xiàn)顯得順理成章?？梢哉f，上述凸顯式教學(xué)既啟發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)了學(xué)生的問題解決能力，又有助于學(xué)生數(shù)據(jù)意識的發(fā)展。

4.在“綜合與實(shí)踐”教學(xué)中就推理能力培養(yǎng)開展凸顯式教學(xué)

“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域涵蓋的數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識較多，涉及各種思維方式、思想方法等的教學(xué)和運(yùn)用。分析現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材，數(shù)學(xué)核心知識的運(yùn)用顯得單一而突出，每個課題都可以看作教學(xué)數(shù)學(xué)核心知識的起點(diǎn)課題，因而在“綜合與實(shí)踐”教學(xué)中，需要格外重視數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識的凸顯與教學(xué)。

以推理為例，其廣泛應(yīng)用于問題解決和規(guī)律探索的教學(xué)環(huán)節(jié)。在“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域，著力培養(yǎng)學(xué)生推理能力的課題，首屬蘇教版四下的《一億有多大》。教材的編排突出了推理的思維和方法，讓學(xué)生通過說一說、數(shù)一數(shù)、量一量、稱一稱等四個不同類型的實(shí)踐活動，根據(jù)數(shù)100本練習(xí)本的時間、10枚1元硬幣摞在一起的高度、100粒大米的質(zhì)量來推測“一億的大小”?？芍^素材豐富、類型多樣，可以讓學(xué)生對“一億”的認(rèn)知豐富而立體，但正因?yàn)槎鄻?，分別從時間、長度和質(zhì)量等維度來幫助學(xué)生建立“一億”的大小概念，三者之間沒有交叉與聯(lián)系，也使得學(xué)生對這些知識的掌握顯得過于獨(dú)立，難有深度的認(rèn)知和多維的建構(gòu)。因此，教師教學(xué)時可以合理挑選一個活動環(huán)節(jié)來培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。譬如，根據(jù)10枚1元硬幣摞在一起大約高2厘米，讓學(xué)生依次推算100枚、1000枚、10000枚、100000枚……100000000枚1元硬幣摞在一起的高度，然后給予學(xué)生充足的時間來思考、交流200枚、3000枚、40000枚、500000枚等數(shù)量的1元硬幣摞在一起的高度。而后隱去一些數(shù)量的高度，突出教材中這些數(shù)量的1元硬幣摞在一起的高度（如圖3），最后將這樣的推理經(jīng)驗(yàn)付諸其他活動的學(xué)習(xí)或問題的解決上。不難看出，這種補(bǔ)充教學(xué)環(huán)節(jié)的凸顯式教學(xué)，在數(shù)量依次乘10或翻倍的過程中，學(xué)生可以根據(jù)數(shù)量變化準(zhǔn)確地推算出高度的變化，減輕了推算的難度，積累了推理經(jīng)驗(yàn)。在聯(lián)系實(shí)際判斷問題時，學(xué)生需要根據(jù)推算結(jié)果進(jìn)行正確的判斷，大大豐富了學(xué)生解決問題的方法。簡化數(shù)量的過程，其實(shí)也是凸顯核心數(shù)據(jù)的過程，是提升學(xué)生推理能力的過程。

（圖3）

總之，數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識的教學(xué)應(yīng)該著力于學(xué)生的知識生長、數(shù)學(xué)理解甚至素養(yǎng)形成而展開。教師通過采用凸顯式教學(xué)方式來開放教學(xué)時空、增設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)、拉長教學(xué)過程等，有助于學(xué)生在掌握起點(diǎn)型核心知識的基礎(chǔ)上，真正實(shí)現(xiàn)知識生長、思維進(jìn)階、能力發(fā)展和素養(yǎng)提升。