楊 宇 倪 雪 榮傳振 朱 瑩 陳 亮

（陸軍工程大學(xué) 通信工程學(xué)院 江蘇南京 210007）

“信號(hào)與系統(tǒng)”是電氣電子信息類本科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)字信號(hào)處理、通信原理等后續(xù)課程的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程。此課程中，相關(guān)理論包含大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算[1]和豐富的工程應(yīng)用，借助MATLAB/Simulink軟件仿真可以完成復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算與分析，得到可視化的仿真結(jié)果，使得許多抽象的理論得以形象模擬，輔助完成教學(xué)中知識(shí)難點(diǎn)的解釋[2]，有助于加強(qiáng)對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)理論的理解與應(yīng)用。

MATLAB（Matrix Laboratory，MATLAB）是由Math-Works公司推出的一款具有較強(qiáng)功能性和應(yīng)用性的仿真軟件。目前，其已成為信號(hào)處理、圖像處理、通信原理、自動(dòng)控制等課程的常用仿真平臺(tái)。而Simulink是集成在MATLAB中的一種可視化軟件，主要采用圖形化模塊對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模擬與仿真，具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程清晰、仿真精細(xì)、顯示直觀、貼近實(shí)際、效率高等優(yōu)點(diǎn)，可實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析，故而被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)、信號(hào)處理、自動(dòng)控制的建模和仿真[3]。

本文選取“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中的信號(hào)相加運(yùn)算和線性時(shí)不變系統(tǒng)性質(zhì)兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，通過MATLAB Simulink 2018b對(duì)其進(jìn)行仿真，直觀的仿真結(jié)果便于學(xué)生理解和掌握抽象的概念，同時(shí)也拓展了其知識(shí)。

一、線性時(shí)不變系統(tǒng)性質(zhì)的仿真

線性時(shí)不變（Linear and time invariant，LTI）系統(tǒng)具有線性和時(shí)不變性。這一特性既是教學(xué)過程中的一個(gè)重點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)。在講授這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，除了理論講解，還要通過Simulink對(duì)RLC串聯(lián)電路的LTI性進(jìn)行仿真，使學(xué)生對(duì)此性質(zhì)有了直觀印象，更有助于對(duì)其進(jìn)行掌握和理解。

線性時(shí)不變系統(tǒng)主要有線性和時(shí)不變性，其線性包括齊次性和疊加性。設(shè)f（t）表示激勵(lì)，y（t）表示響應(yīng)，“→”表示系統(tǒng)的作用，則齊次性和疊加性可描述為：

齊次性：若f（t）→y（t），則kf（t）→ky（t），k為實(shí)常數(shù)。

疊加性：若f1（t）→y1（t），f2（t）→y2（t），則f1（t）+f2（t）→y1（t）+y2（t）。

綜上所述，線性性質(zhì)又可以表示為：

若f1（t）→y1（t），f2（t）→y2（t），則k1f1（t）+k2f2（t）→k1y1（t）+k2y2（t），k1和k2為實(shí)常數(shù)。

線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)不變性，可描述為：

若f（t）→y（t），則f（t-t0）→y（t-t0），t0為延時(shí)時(shí)間。

RLC串聯(lián)電路是由電容、電感、電阻和獨(dú)立電壓源串聯(lián)組成的電路，如圖1所示，其多應(yīng)用于電子諧波振蕩器、帶通或帶阻濾波器等電路中。本節(jié)通過Simulink仿真零狀態(tài)條件下RLC串聯(lián)電路的線性和時(shí)不變性。

圖1 RLC串聯(lián)電路

假設(shè)圖1電路中的開關(guān)在t＜0 false時(shí)一直處于斷開狀態(tài)，且電容和電感均無初始儲(chǔ)能，其中電阻R=5Ω，電容C=0.5F，電感L=1H。電壓源us（t）為輸入，電流i（t）為輸出。在t=0時(shí)開關(guān)閉合，則t＞0時(shí)，電路的數(shù)學(xué)模型為：

根據(jù)式（1），可建立此RLC電路的Simulink仿真模型，進(jìn)而建立驗(yàn)證RLC串聯(lián)電路線性時(shí)不變性的仿真模型，如圖2所示。在此模型中，通過step模塊生成單位階躍信號(hào)u（t）與u（t-6）分別作為兩個(gè)子系統(tǒng)的輸入，再利用Gain模塊和Add模塊生成2u（t）+4u（t-6）輸入到第三個(gè)子系統(tǒng)中，最后調(diào)用Scope模塊顯示三個(gè)子系統(tǒng)的輸入和輸出波形。

圖2 RLC串聯(lián)回路LTI性仿真模型

運(yùn)行此模型后，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 RLC串聯(lián)電路LTI性仿真結(jié)果

圖3（a）和（b）是信號(hào)u（t）和u（t-6）的波形，圖3（d）和（e）是它們分別通過系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)，可以看出u（t-6）的響應(yīng)是將u（t）的響應(yīng)右移了6個(gè)單位，此仿真結(jié)果顯示了圖1電路具有時(shí)不變性。圖3（c）和（f）分別是信號(hào)2u（t）+4u（t-6）及其通過系統(tǒng)響應(yīng)的波形，可以看出響應(yīng)波形是將u（t）響應(yīng)的幅度放大2倍，再與u（t-6）響應(yīng)的幅度放大4倍后相加，故該電路具有線性。

二、信號(hào)相加運(yùn)算的仿真

信號(hào)的相加運(yùn)算是信號(hào)基本運(yùn)算之一。本節(jié)利用信號(hào)的相加，通過Simulink仿真雙音多頻信號(hào)的編碼，拓展學(xué)生對(duì)基本運(yùn)算的理解和認(rèn)識(shí)。

信號(hào)的相加是指兩信號(hào)在相同時(shí)刻的值相加，進(jìn)而得到一個(gè)新的信號(hào)。設(shè)兩個(gè)信號(hào)分別為f1（t）和f2（t），它們相加的結(jié)果為y（t），則相加可表示為：

雙音多頻（Dual-tone multifrequency，DTMF）是由貝爾實(shí)驗(yàn)室開發(fā)的一種用高低兩個(gè)頻率的信號(hào)合成電話撥號(hào)音的信令表示方法。DTMF是從高頻組（1209Hz、1336Hz、1447H）和低頻組（697Hz、770Hz、852Hz、941Hz）各選取一個(gè)頻率，可生成12種組合，表示12個(gè)電話按鍵信號(hào)。比如按鍵1的電話撥號(hào)音是由頻率為1209Hz與697Hz的兩個(gè)信號(hào)合成，而按鍵9的電話撥號(hào)音是由頻率為1447Hz與852Hz的兩個(gè)信號(hào)合成。

其中，f1和f2分別表示低頻和高頻，K1和K2分別表示低頻信號(hào)幅度和高頻信號(hào)幅度，且，頻率f1和f2的誤差要小于1.5%。根據(jù)式（2）選擇高頻正弦信號(hào)與低頻正弦信號(hào)相加，即可生成DTMF信號(hào)。本文利用Simulink生成DTMF信號(hào)的仿真模型時(shí)，通過正弦信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生低頻組信號(hào)和高頻組信號(hào)，從高頻組與低頻組中各選取一個(gè)信號(hào)，再利用加法器將兩者相加即可生成DTMF信號(hào)，最后利用Scope和spectrump analyzer分別顯示信號(hào)時(shí)域波形和振幅譜。圖4給出了產(chǎn)生“#”鍵DTMF信號(hào)的仿真模型，即選擇低頻組941Hz與高頻組1447Hz的正弦信號(hào)輸入加法器疊加，并根據(jù)式（2）在正弦信號(hào)發(fā)生器模塊中設(shè)置941Hz信號(hào)的幅度K1=4，1447Hz信號(hào)的幅度K2=5。

圖4 Simulink合成DTMF信號(hào)仿真模型

運(yùn)行Simulink仿真模型后，仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。仿真結(jié)果顯示，生成的DTMF信號(hào)時(shí)域波形和頻譜分別為輸入高頻和低頻信號(hào)的時(shí)域波形疊加和頻譜疊加，分別如圖5第3幅圖和圖6第3幅圖所示。

圖5 Simulink生成“#”DTMF信號(hào)波形

圖6 Simulink生成“#”DTMF信號(hào)頻譜

通過切換圖4中高頻組與低頻組的開關(guān)，選取不同的高低頻率組合，即可獲得其他按鍵的信號(hào)波形和頻譜。此仿真直觀地從時(shí)域和頻域展示了信號(hào)相加運(yùn)算的應(yīng)用。

結(jié)語(yǔ)

本文通過Simulink利用信號(hào)相加運(yùn)算仿真了DTMF信號(hào)的生成，利用RLC串聯(lián)電路的s域模型驗(yàn)證了其線性和時(shí)不變性。Simulink仿真的引入，將晦澀的理論知識(shí)具體化、形象化，在提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性的同時(shí)，加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握，更提高了學(xué)生的動(dòng)手能力和獨(dú)立解決問題的能力，達(dá)到了提高教學(xué)效果和學(xué)生學(xué)習(xí)效率的目的。