趙艷濤，陳耀，賈俊杰

（航天科工防御技術(shù)研究試驗(yàn)中心，北京 100854）

前言

模態(tài)試驗(yàn)與模態(tài)仿真是相輔相成的。建立的有限元模型后是否能夠開展應(yīng)用，需要對(duì)有限元模型進(jìn)行校準(zhǔn)，模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果作為依據(jù)，通過修正有限元模型使模態(tài)仿真結(jié)果和模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果一致。本文采用錘擊法模態(tài)試驗(yàn)獲取夾具、產(chǎn)品及組合體的各階振型、模態(tài)頻率等指標(biāo)，作為修正有限元模型的依據(jù)，夾具、產(chǎn)品以及組合體分別依據(jù)模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行有限元模型修正，經(jīng)過修正后的有限元模型可以用來搭建虛擬振動(dòng)系統(tǒng)。

1 模態(tài)分析的基本理論[1-3]

對(duì)于一個(gè)結(jié)構(gòu)來說，模態(tài)頻率、模態(tài)阻尼都是結(jié)構(gòu)的本構(gòu)特征，從數(shù)值上講是常值。模態(tài)分析就是對(duì)結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)譜中所有共振點(diǎn)模態(tài)進(jìn)行識(shí)別從而得出結(jié)構(gòu)特性。試驗(yàn)?zāi)B(tài)通過對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)測(cè)試和信號(hào)分析，來確定結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。

在有限元法中，當(dāng)把結(jié)構(gòu)離散化為各種單元，組裝得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：

[M]—系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；

[C]—系統(tǒng)的阻尼矩陣；

[K]—系統(tǒng)的剛度矩陣；

這是1個(gè)互相耦合的方程組，通過坐標(biāo)變換將這個(gè)耦合的方程組變成一組正交的新的坐標(biāo)系，即模態(tài)坐標(biāo)，將復(fù)雜的多自由度系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一系列單自由度系統(tǒng)。這個(gè)模態(tài)坐標(biāo)中的固有頻率、阻尼、質(zhì)量、剛度等稱為模態(tài)參數(shù)，各階固有頻率下的模型各部位的位移即為模態(tài)振型。

假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，對(duì)方程兩邊進(jìn)行傅氏變換：

反映了i點(diǎn)激勵(lì)到j(luò)點(diǎn)響應(yīng)之間的傳遞關(guān)系函數(shù)。反映了i點(diǎn)激勵(lì)對(duì)j點(diǎn)響應(yīng)的貢獻(xiàn)，即i點(diǎn)激勵(lì)（其余部位激勵(lì)力為零）時(shí)，j點(diǎn)響應(yīng)與i點(diǎn)激振力之比。

解微分矩陣方程（1），得到其特征值和特征向量便得到系統(tǒng)的固有頻率ωr和振型φr，振型具有正交性，同M、C、K均為實(shí)對(duì)稱陣，故而可以利用φr組成矩陣Φ=[φ1，φ2，φ3…φN]，對(duì)M、C、K進(jìn)行對(duì)角化，得：

式中：

ωr—模態(tài)頻率；

φr—模態(tài)振型；

mr—模態(tài)質(zhì)量；

cr—模態(tài)阻尼；

kr—模態(tài)剛度，代入（4）中得到模態(tài)參數(shù)表示的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣。

可以看出，多自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)是系統(tǒng)各階特征值和特征向量的線性疊加。所以對(duì)線性系統(tǒng)來說，可以通過模態(tài)疊加的方法求得計(jì)算系統(tǒng)的響應(yīng)。頻率響應(yīng)矩陣的任意一行或任意一列包含模態(tài)參數(shù)的足夠信息。

完成模態(tài)試驗(yàn)并進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識(shí)后應(yīng)該驗(yàn)證模態(tài)試驗(yàn)的質(zhì)量，通?？刹捎媚B(tài)置信矩陣（Modal Assurance Criterion, MAC）來判斷模態(tài)振型的正交性。如果模態(tài)試驗(yàn)質(zhì)量較好，那么模態(tài)置信矩陣的主對(duì)角元素應(yīng)該為1，非對(duì)角元素為0[4]。

2 模態(tài)試驗(yàn)的基本流程

模態(tài)試驗(yàn)假設(shè)一個(gè)結(jié)構(gòu)的模態(tài)可以在除節(jié)點(diǎn)外的任何一點(diǎn)激勵(lì)出來，只需測(cè)頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣H(ω)的一行（多點(diǎn)激勵(lì)單點(diǎn)測(cè)量）或一列（單點(diǎn)激勵(lì)多點(diǎn)測(cè)量）就可以了。因此這里采用單點(diǎn)激勵(lì)、多點(diǎn)測(cè)量的方式。模態(tài)試驗(yàn)示意圖如圖1所示。力錘敲擊激勵(lì)點(diǎn)通過力傳感器采集激勵(lì)力信號(hào)，測(cè)點(diǎn)布置ICP傳感器采集響應(yīng)加速度信號(hào)，激勵(lì)力和響應(yīng)加速度信號(hào)進(jìn)入數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，通過模態(tài)分析軟件提取相應(yīng)的傳遞函數(shù)進(jìn)而識(shí)別出模態(tài)參數(shù)。

圖1 模態(tài)試驗(yàn)示意圖

采用橡皮繩懸掛法，在這種“自由狀態(tài)”下可以測(cè)得更真實(shí)的結(jié)構(gòu)模態(tài)。懸掛頻率低于1 Hz，夾具和產(chǎn)品的彈性振動(dòng)固有頻率在30 Hz以上，遠(yuǎn)低于被測(cè)試件的一階諧振頻率。避免了懸掛系統(tǒng)對(duì)被測(cè)試件固有特性的影響。

被測(cè)試驗(yàn)件為中小型結(jié)構(gòu)且為低阻尼結(jié)構(gòu)，因此激勵(lì)方式采用錘擊法，不會(huì)給被測(cè)結(jié)構(gòu)件附加任何質(zhì)量而影響其的動(dòng)態(tài)特性。信號(hào)處理加矩形窗。錘擊法能量小，測(cè)量信噪比低，采用5次敲擊的數(shù)據(jù)平均處理來消除噪聲的干擾，錘擊過程中避免連擊，每一次激勵(lì)的時(shí)間間隔不少于5 s。根據(jù)被測(cè)試件的質(zhì)量和剛度，選擇合適的錘頭質(zhì)量、錘頭材料，結(jié)合敲擊者的經(jīng)驗(yàn)，在整個(gè)頻段上相干越接近1越好，相干性作為判斷力錘敲擊測(cè)得的頻響函數(shù)（FRF）好壞的依據(jù)。信號(hào)采集需要選用合適的量程，使激勵(lì)和響應(yīng)在合適的范圍內(nèi)，量程過大采集信號(hào)不準(zhǔn)確，量程過小會(huì)出現(xiàn)信號(hào)截?cái)啵ＷC每一次激勵(lì)和響應(yīng)信號(hào)測(cè)試的有效性。

激勵(lì)點(diǎn)如果選擇在節(jié)點(diǎn)上就激發(fā)不出來相應(yīng)的模態(tài)，為了避免這種情況，通常要選用兩個(gè)以上激勵(lì)點(diǎn)開展模態(tài)試驗(yàn)來進(jìn)行相互備份和驗(yàn)證。測(cè)得幾個(gè)頻響函數(shù)并進(jìn)行比較，選擇曲線光滑、清晰的頻響函數(shù)，將關(guān)心頻段內(nèi)相干達(dá)到0.9以上的點(diǎn)為激勵(lì)點(diǎn)。

測(cè)點(diǎn)采用均勻分布的原則，傳感器的選擇和安裝對(duì)測(cè)量結(jié)果都具有重要的影響，傳感器要求動(dòng)態(tài)范圍寬、工作頻段寬、低頻性能好、線性度好、體積小、質(zhì)量小[5]。

3 夾具及產(chǎn)品的模態(tài)試驗(yàn)及模型校準(zhǔn)

建立有限元模型，在保證模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果可信的基礎(chǔ)上修正有限元模型，使模態(tài)仿真和模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果一致。修正模型的過程如下：在振型一致、幾何模型與實(shí)物相符的前提下調(diào)整材料參數(shù)，在參考材料基本參數(shù)的基礎(chǔ)上，首先微調(diào)密度來保證質(zhì)量與實(shí)際質(zhì)量一致，再微調(diào)彈性模量，使模態(tài)仿真結(jié)果與模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果比較接近，固有頻率最大相對(duì)誤差在5%以內(nèi)。則可認(rèn)為有限元模型是可信的。

3.1 夾具的模態(tài)試驗(yàn)及模型校準(zhǔn)

夾具為平板狀?yuàn)A具，見圖2。先開展夾具的模態(tài)試驗(yàn)，將模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果作為參照，夾具模態(tài)試驗(yàn)的MAC矩陣如圖3。在保證夾具質(zhì)量和實(shí)物一致的前提下，微調(diào)彈性模量，使夾具模態(tài)仿真結(jié)果和模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果一致,夾具模態(tài)仿真結(jié)果和模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果見表1。夾具的參數(shù)為：密度：2 707 kg/m3，彈性模量：7.1×1010Pa ， 泊松比0.33。

表1 夾具模態(tài)仿真和模態(tài)試驗(yàn)固有頻率比較

圖2 夾具

圖3 夾具模態(tài)試驗(yàn)MAC矩陣

3.2 產(chǎn)品的模態(tài)試驗(yàn)及模型校準(zhǔn)

產(chǎn)品為類圓筒狀結(jié)構(gòu)體。先開展產(chǎn)品的模態(tài)試驗(yàn)，將模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果作為參照，產(chǎn)品模態(tài)試驗(yàn)的MAC矩陣如圖4。和前文的模型修正方法相同，在保證產(chǎn)品質(zhì)量和實(shí)物一致的前提下，微調(diào)彈性模量，使產(chǎn)品模態(tài)仿真結(jié)果和模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果一致,產(chǎn)品模態(tài)仿真結(jié)果和模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果見表2。修改后產(chǎn)品的參數(shù)為：密度：2 850 kg/m3，彈性模量：7.5 e10 Pa，泊松比0.3。

圖4 夾具模態(tài)試驗(yàn)MAC矩陣圖5 組合體模態(tài)試驗(yàn)MAC矩陣

表2 產(chǎn)品模態(tài)仿真和模態(tài)試驗(yàn)固有頻率比較

3.3 組合體的模態(tài)試驗(yàn)及模型校準(zhǔn)

將模型和參數(shù)修改后的夾具和產(chǎn)品組合在一起，實(shí)物采用螺栓連接并開展模態(tài)試驗(yàn)，將模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果作為參照。在有限元軟件里將螺栓連接處采用固定約束。組合體模態(tài)試驗(yàn)的MAC矩陣如圖5，組合體模態(tài)仿真結(jié)果和模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果見表3。

表3 組合體模態(tài)仿真和模態(tài)試驗(yàn)固有頻率比較

模態(tài)試驗(yàn)和模態(tài)仿真是相輔相承的。一方面，在模態(tài)試驗(yàn)前可以開展初步開展模態(tài)仿真，在大致了解了模態(tài)振型、節(jié)點(diǎn)等信息后，可以為模態(tài)試驗(yàn)的測(cè)點(diǎn)、激振點(diǎn)的布點(diǎn)提供參考，避免激振點(diǎn)布置在節(jié)點(diǎn)，另外要布足夠的測(cè)點(diǎn)以及選擇合適的測(cè)點(diǎn)方向從而能完整表征振型。參考仿真的模態(tài)振型結(jié)果而不參考仿真的模態(tài)頻率結(jié)果，如果測(cè)點(diǎn)布置不夠，模態(tài)試驗(yàn)就不容易分辨出振型來。另一方面，模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果作為修正模態(tài)仿真結(jié)果的依據(jù)，在二者振型對(duì)應(yīng)一致的前提下修改有限元模型使二者的模態(tài)頻率也對(duì)應(yīng)一致，在建有限元模型時(shí)會(huì)對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，材料參數(shù)和實(shí)際也會(huì)存在差異，因此模態(tài)仿真結(jié)果會(huì)和模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果存在差異。根據(jù)模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果來修正有限元模型，包括適當(dāng)修改材料參數(shù)，優(yōu)化網(wǎng)格等方法來使模態(tài)仿真結(jié)果和模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果在模態(tài)頻率和模態(tài)振型都一致起來。另外模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果和模態(tài)仿真結(jié)果不是一一對(duì)應(yīng)的，往往仿真結(jié)果會(huì)比試驗(yàn)結(jié)果的模態(tài)數(shù)量多，因?yàn)槟B(tài)試驗(yàn)時(shí)布置的測(cè)點(diǎn)是有限的，特別是高頻段實(shí)際模態(tài)比較密集，很多模態(tài)識(shí)別不出來，模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果會(huì)存在較大的差異。所以在修正有限元模型的過程中，要結(jié)合振型進(jìn)行比對(duì)，對(duì)前幾階的重要模態(tài)進(jìn)行對(duì)比和修正，使仿真結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)。經(jīng)過模態(tài)試驗(yàn)修正過的有限元模型才具有工程實(shí)用價(jià)值。系統(tǒng)的響應(yīng)可以看做各階模態(tài)振型響應(yīng)的疊加[6]。

4 總結(jié)

模態(tài)試驗(yàn)是進(jìn)行有限元模型校準(zhǔn)的有效手段，建立了夾具、產(chǎn)品、組合體在自由狀態(tài)下的有限元模型，并逐級(jí)分別進(jìn)行相應(yīng)的模態(tài)試驗(yàn)，將模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果作為參照，校準(zhǔn)有限元模型，使仿真結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果的主要模態(tài)頻率誤差在5 %以內(nèi)，滿足工程上的精度要求，則可以認(rèn)為有限元模型是可信的，可以應(yīng)用于后續(xù)的虛擬試驗(yàn)。